Sił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł

Transkrypt

1 echanika ogóna Wykład nr 5 Statyczna wyznaczaność układu. Siły wewnętrzne. 1 Stopień statycznej wyznaczaności Stopień zewnętrznej statycznej wyznaczaności n: Beka: n=rgrs; Rama: n=r3ogrs; rs; Kratownica: n=rrsrs ub n=pw. Oznaczenia: r iczba reakcji; g iczba przegubów pojedynczych; o iczba pó zamkniętych; rs=3 iczba równań statyki; p iczba prętów; w iczba węzłów.

2 Stopień statycznej wyznaczaności Okreśenie stopnia statycznej wyznaczaności odnośnie do reakcji: Układ jest statycznie wyznaczany, jeżei współczynnik n = 0; Układ jest statycznie niewyznaczany, jeżei współczynnik n > 0; Układ jest geometrycznie zmienny, jeżei współczynnik n < 0. 3 Sposób podparcia a statyczna wyznaczaność Nie zawsze stopień statycznej wyznaczaności n=0 gwarantuje statyczną wyznaczaność. Niewłaściwe rozmieszczenie podpór może powodować, że układ będzie geometrycznie zmienny (np. reakcje równoegłe płaszczyzna przesuwu) ub chwiowo geometrycznie zmienny (reakcje przecinające się w jednym punkcie chwiowy środek obrotu). 4

3 Układy geometrycznie zmienne (przykłady) (1) Niedostateczna iczba podpór. Beka na trzech podporach przesuwnych. Trzy niepodparte przeguby obok siebie. 5 Układy geometrycznie zmienne (przykłady) () Beka z niepodpartym przęsłem przegubowym. Trzy reakcje kratownicy przecinające się w jednym punkcie. 6

4 Siły wewnętrzne (1) amy bryłę materianą obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myśowo tę bryłę na dwie części przekrojem. 7 Siły wewnętrzne () Aby fragment bryły był w równowadze musimy zastąpić wzajemne oddziaływanie fragmentów brył przez przyłożenie w sposób ciągły do płaszczyzny układu sił. 8

5 Siły wewnętrzne (3) Siły te można zastąpić przez ich wypadkowe W i, przyłożone w dowonym punkcie przekroju.. W przypadku naszych rozważań punktem tym będzie środek przekroju. W W 9 Siły przekrojowe Wypadkową siłę W i moment można wyrazić przez ich składowe: W N T y T z W. x y z T y T z x y N z 10

6 Nazwy sił przekrojowych Wiekości te nazwano: N siła podłużna (normane) wywołuje rozciąganie ub ściskanie; T Ty, Tz (ub Qy, Qz) siły poprzeczne (tnące) wywołują ścinanie; x moment skręcający wywołuje skręcanie; y, z momenty zginające wywołują zginanie. 11 rzykład / / H A A V A H A A N N T T 1 V A

7 Siły wewnętrzne w układach płaskich definicje (1) Siła normana (osiowa, podłużna) wzajemne oddziaływanie części konstrukcji przeciwdziałające ich przesunięciu się wzdłuż osi pręta w rozważanym punkcie. H A A N N T V A T N cos 13 Siły wewnętrzne w układach płaskich definicje () Siła poprzeczna (tnąca) wzajemne oddziaływanie części konstrukcji przeciwdziałające ich przesunięciu się poprzecznie do osi pręta w rozważanym punkcie. H A A N N T V A T T sin 14

8 Siły wewnętrzne w układach płaskich definicje (3) oment zginający wzajemne oddziaływanie części konstrukcji przeciwdziałające ich wzajemnemu obrotowi w rozważanym punkcie. A H A N N T V A T / / sin 15 Siły wewnętrzne konwencja znaków Siła normana rozciągająca pręt jest dodatnia. Siła poprzeczna powodowana przez obciążenie działające po ewej stronie przekroju do góry ub po prawej stronie do dołu jest dodatnia. oment rozciągający włókna done jest dodatni. N T T N spody (włókna done) 16

9 Siły wewnętrzne wykresy (1) Kreskowanie (rzędne wykresu) naeży zaznaczać prostopade do osi pręta. Rzędne dodatnie wykresów sił normanych i tnących odkłada się zazwyczaj u góry. Wykresy sił podłużnych i poprzecznych rysujemy ze znakiem. 17 Siły wewnętrzne wykresy () Wykresy momentów nie muszą być znakowane, ae naeży zwracać uwagę, aby rzędne momentu odkładać po stronie włókien rozciąganych. Rzędne dodatnie wykresu momentów zginających odkłada się u dołu (moment dodatni, gdy rozciągane są włókna done). Wykres momentu wskazuje jak odkształci się pręt i gdzie, w poszczegónych eementach, włókna są rozciągane. 18

10 Wykresy sił wewnętrznych cos sin N [kn] T [kn] sin 19 unkty charakterystyczne, przekroje Ze wzgędu na konieczność modyfikacji równań sił wewnętrznych: w bekach i ramach końce prętów, punkty przyłożenia sił: czynnych: siła skupiona, moment skupiony, początek ub koniec obciążenia ciągłego; biernych: punkty podporowe; w ramach dodatkowo węzły (połączenia prętów o różnej krzywiźnie). 0

11 rzegub rzegub jest jedynie punktem kontronym (moment równy jest 0). Nie powoduje on konieczności wprowadzenia dodatkowego przekroju. 1 Siła skupiona H A V A x / / 1 / R B N [kn] 0 T [kn] / 4 / V A R B N N H A 0 T 1 VA T VA VA x x x 0 1 x VA x x x x x x x

12 oment skupiony H A V A x 1 / / 0 / / R B / N [kn] T [kn] VA N N R B H A 0 T1 VA T 1 VA x x x 0 0 x 1 1 x VA x 1 x x 0 3 Obciążenie ciągłe równomierne H A V A / x 0 /8 R B / N [kn] T [kn] VA RB H A 0 N 0 T VA x x V A x 0 x x T T T 0 x x x x x x 0 x x

13 Obciążenie ciągłe iniowo zmienne H A V A /6 x 0 R B /3 N [kn] T [kn] VA RB H A N 0 ( x) x 1 1 x T V A ( x ) x 6 V A x x 6 x 0 x 1 T 6 T 3 1 x ( x) x 3 x x 1 x x x x 0 x Obciążenie ciągłe momentem H A x m V A N m 0 V B m H A 0 V A R B T VA m V A x m x mx mx 0 0 N [kn] m T [kn] 0 6

14 Warunki różniczkowe (1) Zaeżności różniczkowe między,, T, N i pz(x), px(x), m(x). Aby wyznaczyć te zaeżności rozważymy bekę swobodnie podpartą, obciążoną obciążeniami ciągłymi i ciągłym momentem na fragmencie beki. 7 Warunki różniczkowe () Z tej beki wycinamy fragment przedstawiony na rysunku. 8

15 Warunki różniczkowe (3) Suma rzutów wszystkich sił na oś poziomą x : X 0 N p x ( x) ( N dn ) 0 Suma rzutów wszystkich sił na oś pionową z : Z 0 T p z ( x) ( T dt ) 0 Suma momentów wszystkich sił wzgędem punktu O : o 0 T m x p x x ( ) z ( ) ( d ) 0 9 Warunki różniczkowe (4) o odrzuceniu wiekości małej w porównaniu z pozostałymi p z (x), otrzymujemy: dn p x x ( ) dt p z x ( ) d Z powyższych równań wynika, że: T m( x) d dt p z ( x) 30

16 Zaeżności między, T oraz (1) Jeżei w przedziae nie ma obciążenia ciągłego poprzecznego to wykres sił tnących jest stały, równoegły do osi pręta. / T [kn] / dt T x p( x) 0 C 1 const 31 Zaeżności między, T oraz () Jeżei w przedziae nie ma obciążenia ciągłego poprzecznego i nie występuje obciążenie ciągłe momentem to wykres momentu jest inią prostą nachyoną do pręta. d T x C1 / 4 x C1 x C 3

17 Zaeżności między, T oraz (3) Jeżei w przedziae działa stałe obciążenie ciągłe to wykres sił tnących jest nachyony do pręta, rzędne maeją wraz ze wzrostem x. / / T [kn] dt T x C 1 33 Zaeżności między, T oraz (4) Jeżei w przedziae działa stałe obciążenie ciągłe i nie ma obciążenia ciągłego momentem, to wykres momentów zginających jest paraboą drugiego stopnia. 34

18 Zaeżności między, T oraz (5) Jeżei w przedziae zeruje się równanie siły tnącej to wykres momentów osiąga ekstremum w tym punkcie. / / T [kn] / 8 35 Zaeżności między, T oraz (6) Jeżei obciążenie ciągłe jest skierowane do dołu, to wypukłość wykresu jest skierowana w dół i odwrotnie. / 8 d d p 1 x x C 1 x x C1x C 36

19 Zaeżności między, T oraz (7) Jeżei w przedziae działa obciążenie ciągłe iniowo zmienne i nie ma obciążenia ciągłego momentem to wykres sił poprzecznych jest paraboą drugiego stopnia. W punkcie, gdzie obciążenie ciągłe się zeruje paraboa jest styczna do osi do pręta. / 6 / 3 T T [kn] p x C x 1 1 C x C1x Cx C3 37 Zaeżności między, T oraz (8) Jeżei w przedziae działa obciążenie ciągłe iniowe to wykres momentów zginających jest paraboą trzeciego stopnia. 38

20 Zaeżności między, T oraz (9) Jeżei równanie sił tnących zeruje się w przedziae, to wykres momentów osiąga ekstremum w tym punkcie. / 6 / 3 T [kn] 39 Zaeżności między, T oraz (10) Jeżei obciążenie ciągłe jest skierowane do dołu, to wypukłość wykresu jest skierowana w dół i odwrotnie. px C1x C d p d 1 C1x C1x Cx 6 x C1x C x C3x C4 C x C 40 3

21 Zaeżności między, T oraz (11) Jeżei na pręcie występuje siła skupiona, to na wykresie sił poprzecznych wystąpi skok o tą wartość, a na wykresie momentów zginających wystąpi załamanie wykresu. / T [kn] / / 4 41 Zaeżności między, T oraz (1) Jeżei na pręcie występuje moment skupiony, to na wykresie momentów zginających wystąpi skok o wartość tego momentu. / / 4

22 Zaeżności między, T oraz i m (13) Jeżei w przedziae działa obciążenie ciągłe momentem to wykres momentów zginających jest iniowy (iniowo zmienny ub w szczegónym przypadku stały, gdy T=m). m m m d 0 T m( x) 43 Zaeżności między, T oraz (14) Obciążenie Wykres T Wykres Brak obc. ciągłego stały prosta Obc. ciągłe stałe prosta paraboa o Obc. ciągłe trójkątne paraboa o paraboa 3 o Siła skupiona skok załamanie oment skupiony skok Obc. ciągłe momentem prosta 44