Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1

Transkrypt

1 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna Do rozwiązania zadania metodą przemieszczeń przyjmujemy układ podstawowy z zablokowanymi przemieszczeniami węzłów q z = const. P z [m] z Rys. 6.. Układ podstawowy oraz związany z nim układ równań kanonicznych {r z r z r z r P= r z r z r z r P = r z r z r z r P = (6.) Do wyznaczenia współczynników r ik i r ip potrzebne nam będą wykresy momentów w stanach jednostkowych:

2 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA z = r 5 5 r r Rys. 6.. Wykres momentów w układzie podstawowym wywołany obrotem z = r r r z = 5 Rys. 6.. Wykres momentów w układzie podstawowym wywołany obrotem z = W stanie z = trzeba najpierw znaleźć kąty obrotu cięciw prętów ψ. W tym celu tworzymy łańcuch kinematyczny. ψ ψ ψ z = [m] Rys Kąty obrotu cięciw prętów wywołane jednostkowym przesuwem z = ψ Z równań łańcucha wyznaczamy wartości kątów obrotu cięciw prętów:

3 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA = = 5= = 5 = = = = Korzystając z wyznaczonych kątów obrotu cięciw prętów obliczamy wartości przywęzłowych momentów zginających, powstałych od jednostkowego przesuwu po kierunku z z M z =M = [ ] = z M z =M = 5 [ ] = 5 z M z =M = [ ] = z M z =M = 5 [ 5 ] = 6 5 i nanosimy je na wykres:,5 5 r 6 5,5 5 r 6 5 r,5 z =,5 Rys Wykres momentów w układzie podstawowym wywołany przesuwem z = Na podstawie powyższych wykresów, z równowagi węzłów ramy, możemy wyznaczyć reakcje po kierunkach zmiennych z i z: r = 5 = 9 (6.) 5 r = 5 5 =8 5 (6.) r =r = (6.) 5

4 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA r = 5 r = = (6.5) = (6.6) 5 Korzystając z równania pracy wirtualnej, wyznaczamy wartości pozostałych współczynników macierzy sztywności (reakcje po kierunku z ): r = r = 59 (6.7) 5 r 5 5 = r = (6.8) r = Następnie wyznaczamy reakcje wywołane obciążeniem zewnętrznym. r = (6.9) 5 5 q W = q l r P 5 q r P P r P Rys Wykres momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego Z równowagi węzłów i otrzymamy wartości współczynników: r P = 5 q (6.) r P = 5 q (6.) Z równań łańcucha kinematycznego wyznaczamy wielkości przemieszczeń pod siłą P i siłą W wypadkową z obciążenia ciągłego. Wykorzystujemy wartości kątów ψ wyznaczone dla z =.

5 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 5 δ W ψ ψ ψ α z = [m] Rys Przemieszczenia pod siłami skupionymi wywołane jednostkowym przesuwem z = δ P ψ = P P = W,= W cos W = 5 6 Z równania pracy wirtualnej wyznaczamy wartość współczynnika r P: r P 5 5 q q P q l = P W r P =P 5 q (6.) 6 Po wyznaczeniu wartości wszystkich współczynników wstawiamy je do układu równań kanonicznych (6.). {9 5 z 5 z z 5 q= 5 z 8 5 z 5 z 5 q= z 5 z 59 5 z P 5 6 q = Przyjmijmy, że działająca siła skupiona P = 5 kn i obciążenie ciągłe q = 8 kn/m i dalsze obliczenia wykonamy na wartościach liczbowych obciążenia. Układ równań kanonicznych po podzieleniu przez, przyjmie wówczas postać: 6,667 {,8 z, z, z=, z,6 z,86 z = 6,667, z,86 z,96 z = 8, (6.) Po rozwiązaniu układu równań (6.) otrzymamy:

6 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6 { z=,5796 z =,877 z =,57 (6.) Teraz, korzystając z wzorów transformacyjnych, możemy wyznaczyć rzeczywiste wartości przywęzłowych momentów zginających. M = [,5796 ],57 =,89 knm M = [,5796 ],57 =,5 knm M = 5 [ ],5796,877,57 5 8=,5 knm M = 5 [ ],5796,877,57 5 8=,5 knm M = [,877 ],57 =, knm M = [,877 ],57 =,6 knm M = 5 [ 5 ],877,57 =,6 knm M = 5 [ 5 ],877,57 =,79 knm Rzeczywisty wykres momentów będzie wyglądał następująco:,89,5,79,5 M P (n) [knm],6,,6 Rys Wykres momentów zginających w układzie statycznie niewyznaczalnym

7 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 7 Zadanie Wyznaczyć wartości współczynników rik i rit dla ramy obciążonej równomiernie rozłożoną temperaturą t (rys. 6.). t 6 [m] Rys. 6.. Rama obciążona termicznie Ponieważ podpora ślizgowa w węźle nie jest pod kątem prostym do osi pręta, nie możemy wykorzystać wzorów transformacyjnych dla pręta z podporą ślizgową. Rama wymaga dodatkowego zablokowania przesuwu w tym węźle. Do wyznaczenia współczynników r ik macierzy sztywności, oraz współczynników r it wywołanych działaniem temperatury t, przyjmujemy układ podstawowy ramę z zablokowanymi przemieszczeniami (rys. 6.). z z t z 6 [m] Rys. 6.. Układ podstawowy W celu wyznaczenia współczynników r ik tworzymy wykresy momentów w poszczególnych stanach jednostkowych. Najpierw wywołany obrotem z = : r 5 z = r 5 r Rys. 6.. Stan z =

8 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 8 Do wyznaczenia współczynników związanych z przesuwami posłużą nam łańcuchy kinematyczne zapisane oddzielnie dla z i z. W układzie z zablokowanym przesuwem z dokonujemy przemieszczenia z =. ψ ψ z = 6 [m] Rys. 6.. Kąty obrotu cięciw prętów wywołane jednostkowym przesuwem z = Z równań łańcucha wyznaczamy wartości kątów obrotu cięciw prętów: = = Zauważmy, że jeżeli węzeł ma unieruchomiony przesuw poziomy, równanie łańcucha w poziomie możemy rozpocząć od tego węzła: = = Natomiast przemieszczenie pionowe w węźle jest nieznane, dlatego: 6 = = 8 Następnie możemy obliczyć wartości momentów przywęzłowych podstawiając otrzymane wielkości do wzorów transformacyjnych: z M = 6 8 = 6 z M = 5 [ ] = z M z =M z =M z =M = Obliczone wartości nanosimy na wykres (rys. 6.). W ten sposób otrzymaliśmy wykres w układzie podstawowym od pierwszego przesuwu (z = ).

9 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 9 6 r r z = r Rys. 6.. Stan z = Analogicznie tworzymy łańcuch kinematyczny od przesuwu z = (przesuw z jest zablokowany). z = ψ ψ ψ 6 [m] Rys Kąty obrotu cięciw prętów wywołane jednostkowym przesuwem z = Z równań łańcucha wyznaczamy wartości kątów obrotu cięciw prętów: = = Tym razem unieruchomiony jest węzeł. = = 6 = = Następnie możemy obliczyć wartości momentów przywęzłowych od jednostkowego przesuwu: z M z =M = 5 = z M = [ ] = 8 z M = 5 = z M z =M = Obliczone wartości tworzą wykres momentów zginających w stanie z =.

10 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA z = r r 8 r Teraz wyznaczamy wartości współczynników r ik: Rys Stan z = reakcje związane z obrotem z wyznaczamy z równowagi węzła r = 5 = (6.5) r = (6.6) 6 r = 8 = 7 (6.7) reakcje związane z przesuwem z obliczamy z równania pracy wirtualnej wykorzystując kąty ψ z rysunku 6.5: r 8 = r = 7 (6.8) reakcje związane z przesuwem z uzyskujemy także z równania pracy wirtualnej, ale po podstawieniu kątów ψ związanych z tym kierunkiem (rys. 6.): r 5 5 = r = 7 (6.9) r 6 = r = 7 (6.) r = r = (6.) 6

11 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA r 6 8 = r = 9 (6.) 6 r 8 8 = r = 7 (6.) W dalszej kolejności wyznaczamy współczynniki rit, które są reakcjami powstającymi w układzie podstawowym, ogrzanym równomiernie temperaturą t (rys. 6.7). W tym celu należy stworzyć wykres momentów w konstrukcji odkształconej na skutek działania temperatury. r T r T t r T 6 [m] Rys Stan T (równomierne ogrzanie temperaturą t ) W celu wyznaczenia kątów obrotów cięciw prętów, wywołanych działaniem temperatury t, tworzymy łańcuch kinematyczny, uwzględniający wydłużenia prętów na wskutek równomiernego ogrzania konstrukcji: t t t t = =,75 t t t t t t 6 t t t = =,5 t t t t t t t 6 t t t t t = =,75 t t t Dysponując kątami ik możemy wyznaczyć wartości momentów zginających: t M t =M = 5 [,75 t t ]=,9 t t t M = [,75 t t ]=,75 t t t M =,5 t t =,5 t t a następnie narysować ich wykres. Jest to wykres momentów w układzie podstawowym od temperatury t (rys. 6.8).

12 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA,9 α t t r T r T,75 α t t r T,9 α t t,5 α t t Rys Wykres momentów od równomiernego ogrzania w układzie podstawowym Teraz możemy wyznaczyć reakcje powstałe przy równomiernym ogrzaniu ramy w układzie podstawowym: z równowagi węzła r T =,9,75 t t =,75 t t (6.) z równania pracy wirtualnej reakcje po kierunku przesuwu i, biorąc odpowiednie grupy kątów ψ (rys. 6. i rys. 6.5): r T,9 t t,9 t t,75 t t 8,5 t t = r T = 6 t t (6.5) r T,9 t t,9 t t,75 t t,5 t t = r T = t t (6.6) Wartości (6.5) do (6.6) są poszukiwanymi w zadaniu wielkościami. Aby wyznaczyć wykres momentów w układzie rzeczywistym (niewyznaczalnym) należałoby rozwiązać układ równań kanonicznych. Zadanie Dla belki o zadanych parametrach (rys. 6.9) wyznaczyć wartości współczynników rik i rip. q J J [m] Rys Belka statycznie niewyznaczalna o zmiennej sztywności

13 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Przyjmujemy układ podstawowy metody przemieszczeń. Połączenie różnych sztywności traktujemy jako dodatkowy węzeł wewnętrzny, którego swobodę przemieszczeń musimy zablokować. Układ jest zatem trzykrotnie geometrycznie niewyznaczalny. z z q J J z [m] Rys. 6.. Układ podstawowy W pierwszej kolejności wyznaczymy współczynniki macierzy sztywności r ik. Obliczamy wykresy momentów w poszczególnych stanach jednostkowych: z = r r z = r r 8 J 8 r J J J r 8 Rys. 6.. Stan z = Rys. 6.. Stan z = Do narysowania wykresu momentów związanych z przesuwem, podobnie jak w poprzednich przykładach, posłużymy się łańcuchem kinematycznym (rys. 6.). J J ψ ψ ψ z = [m] Rys. 6.. Kąty obrotu cięciw prętów wywołane jednostkowym przesuwem z = Z równań łańcucha obliczamy wartości kątów obrotu cięciw prętów: = =

14 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA = = = = i na ich podstawie wyznaczamy wartości przywęzłowych momentów zginających powstałych od jednostkowego przesuwu: z M z =M = = z M z =M = [ ] = z M z =M = Na koniec rysujemy wykres momentów wywołanych jednostkowym przesuwem z = : r r J r z = J Rys. 6.. Stan z = Z powyższych wykresów, zapisując równania równowagi w węzłach, możemy wyznaczyć wartości współczynników: r = 8 = (6.7) r = 8 8 =6 (6.8) r =r = (6.9) r = = (6.) r = (6.) Pozostałe współczynniki wyznaczymy wykorzystując równanie pracy wirtualnej: r =

15 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 5 r = (6.) r 8 = r = (6.) r 8 8 = r = (6.) Współczynniki rip znajdziemy tworząc wykres momentów od obciążenia zewnętrznego w układzie podstawowym: r P r P q W q J J r P Rys Stan P Z równowagi węzłów i otrzymamy wartości współczynników rp i rp: r P = (6.5) r P = q (6.6) Aby wyznaczyć ostatni ze współczynników, potrzebna nam będzie wartość przemieszczenia pod siłą wypadkową z obciążenia ciągłego W = q l (w środku rozpiętości przęsła -). Wykorzystamy w tym celu równanie łańcucha kinematycznego, zapisanego od węzła do punktu przyłożenia wypadkowej: W,5= W W = Wartość współczynnika r P wyznaczamy z równania pracy wirtualnej: r P q q q = r P = (6.7)

16 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6 Zadanie Korzystając z możliwych uproszczeń rozwiązać ramę z rys = const. P P [m] Rys Rama statycznie niewyznaczalna Schemat jest antysymetryczny. Dla porównania, rozwiązując zadaną ramę bez zastosowania uproszczeń SKN =, natomiast wykorzystując antysymetrię SKN takiego układu redukuje się o jeden stopień i wynosi SKN =. Przyjmijmy zatem układ podstawowy metody przemieszczeń (rys. 6.7) ograniczony do połowy ramy i zastosujmy antysymetrię rozwiązania. Pręty na osi symetrii mają sztywność zmniejszoną o połowę. P z z z Rys Układ podstawowy [m] Związany z układem podstawowym, układ równań kanonicznych ogranicza się do trzech równań: {r z r z r z r P= r z r z r z r P = r z r z r z r P = (6.8) W celu wyznaczenia współczynników r ik tworzymy wykresy momentów w poszczególnych stanach jednostkowych:

17 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 7 5 r 5 r r r r 8 r Rys Stan z = Rys Stan z = Aby wyznaczyć wartości współczynników związanych z przesuwem po kierunku trzecim, tworzymy łańcuch kinematyczny. ψ ψ ψ ψ z = [m] Narzucając jednostkowy przesuw po kierunku trzecim, zapisujemy równania łańcucha kinematycznego. = = = = 6 = = = = Dysponując kątami obrotu cięciw prętów, wyznaczamy wartości przywęzłowych momentów zginających: z M z =M = 5 [ ] = z M z =M = 6 = 9 z M z =M = =

18 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 8 z M = [ ] = z M = i rysujemy wykres momentów wywołanych jednostkowym przesuwem z = 9 r r r 9 Rys. 6.. Stan z = Na podstawie wykresów jednostkowych (rys. 6.8, rys. 6.9, rys. 6.) możemy wyznaczyć wartości współczynników r ik: z równowagi w węzłach z równania pracy wirtualnej r = 5 = 9 (6.9) 5 r = 8 9 = (6.) r =r = (6.) r = 9 = (6.) 6 r = 9 5 = (6.) 8 r = r = 577 (6.) 5 r = r = (6.5) 6

19 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 9 r 6 8 = r = 5 (6.6) 8 W dalszej kolejności wyznaczamy składniki wektora wyrazów wolnych, zależne od obciążenia zewnętrznego, w naszym przypadku od siły skupionej P. P r P r P r P Rys. 6.. Stan P Wprost z wykresu (rys. 6.) odczytujemy: r P = (6.7) r P = (6.8) Następnie z łańcucha kinematycznego wyznaczamy wielkość przemieszczenia po kierunku działania siły P: = P P = Z równania pracy wirtualnej wyznaczamy wartość współczynnika r P: r P P P = r P =P (6.9) Po wyznaczeniu współczynników rik i rip, wstawiamy je do układu równań kanonicznych i wyznaczamy wartości rzeczywistych przemieszczeń: {9 5 z z 6 z = z 9 z 5 8 z = 6 z 5 8 z z P= (6.5) Zakładając, że rama wykonana jest ze stalowych kształtowników I, których sztywność wynosi = 66 knm, natomiast działająca siła skupiona P = 5 kn, możemy wyznaczyć wartości szukanych przemieszczeń.

20 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA {566,8 z z,875 z= z 9,75 z 6,875 z =,875 z 6,875 z,5 z = 5 (6.5) Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymujemy: {z=,99 [ rad ] z =,65 [rad ] z =,887 [m] (6.5) Znając wartości przemieszczeń węzłów, wykorzystując wzory transformacyjne, możemy wyznaczyć rzeczywiste wartości przywęzłowych momentów zginających. M = 5 [,99,887 ] ] M = 5 [,99,887 = 7,9 knm =,8 knm M = [,99,65 6,887 ] =,8 knm M = [,99,65 6,887 ] =6,8 knm M = M = M = [,65,887 ] = 7,77 knm M = [,65,887 ] =,96 knm [,65,887 ] =,9 knm Jako, że rozwiązując ramę skorzystaliśmy z uproszczenia, rozwiązaliśmy połowę ramy, całkowity wykres momentów będzie antysymetryczny względem osi symetrii układu (rys. 6.). 67,8,8 6,8,9 55,5,8 7,9 7,9 [knm] Rys. 6.. Wykres momentów zginających w układzie niewyznaczalnym

21 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie 5 Dla belek o zadanej geometrii i obciążeniu (rys. 6. a) i b)) wyznaczyć linie wpływu kąta obrotu przekroju przy podporze środkowej. a) M = const. x [m] b) P = const. x [m] Rys. 6.. Belki obciążone poruszającymi się a) momentem, b) siłą a) Wyznaczymy linię wpływu kąta obrotu przy podporze od poruszającego się momentu skupionego. Przyjmujemy układ podstawowy: M z x [m] Rys. 6.. Układ podstawowy oraz warunki zapewniające zgodność statyczną z układem początkowym. Ponieważ belka ta jest jednokrotnie kinematycznie niewyznaczalna (SKN =), będzie to tylko jedno równanie: r =r z x r P x = (6.5) Do wyznaczenia współczynnika r potrzebny nam będzie wykres momentów w stanie z = : r Rys Stan z =

22 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zapisując równanie równowagi momentów w węźle otrzymamy wartość r: r = = (6.5) Do wyznaczenia współczynnika r P(x) potrzebny nam będzie wykres momentów od obciążenia zewnętrznego. Ponieważ tutaj obciążeniem zewnętrznym jest poruszający się moment, stan P rozdzielimy na dwa przypadki: x, - moment M porusza się po przęśle -: M r P (x) x [m] Rys Stan P ( x, ) Aby znaleźć wykres momentów na przęśle - wykorzystamy metodę sił. Za niewiadomą X przyjmiemy pionową reakcję w podporze. M r (x) P X (x) x [m] Zauważmy, że reakcja rp(x) jest w tym przypadku momentem w utwierdzeniu w węźle, zatem wyznaczymy ją zapisując równanie sumy momentów względem węzła : Niewiadomą X (x) wyznaczymy z równania: M : r P x = M X x (6.55) X x P x = (6.56) Do obliczenia współczynników δ i δ P(x) posłużą nam wykresy w poszczególnych stanach: x M X (x) x M x M - x M P (x) Rys Stan X = Rys Stan P

23 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Korzystając z twierdzenia Wereszczagina-Mohra możemy napisać: = M M dx= =6 P x = M M x P dx= [ x x M ] x M = [ x M ] x = = M 8 x (6.57) (6.58) a następnie obliczyć niewiadomą X(x): X x = P = M x 6 8 = 8 M x 6 (6.59) Podstawiając wartość nadliczbowej reakcji X(x) do równania (6.55) możemy wyznaczyć wartość rp(x): r P x = 8 M x 6 M = M 6 x (6.6) Otrzymane współczynniki (6.5 i 6.6) podstawiamy do równania kanonicznego (6.5) i wyznaczymy linię wpływu kąta obrotu przy podporze od momentu zginającego znajdującego się na przęśle -. M z x = r x P = r x 6 (6.6) po uproszczeniu: lw M =z x = M 6 x = M 8 x 6 (6.6) x,8 - moment M porusza się po przęśle -: r P (x) M x [m] Rys. 6.. Stan P ( x, 8 ) Podobnie jak poprzednio, do dalszych obliczeń wykorzystamy metodę sił i twierdzenie Wereszczagina-Mohra, z tą różnicą, że teraz utwierdzenie jest na lewym końcu pręta, a przegub na prawym:

24 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA r P (x) M x X (x) [m] Reakcja rp(x) jest momentem w utwierdzeniu w węźle, zatem wyznaczymy ją zapisując równanie sumy momentów względem węzła : M : r P x = M X x (6.6) Niewiadomą X (x) wyznaczymy z równania (6.56). Do obliczenia współczynników δ i δ P(x) posłużą nam wykresy w poszczególnych stanach: a) x - x -x X (x) M b) M x M M P (x) Rys. 6.. Stan a) X =, b) P Korzystając z twierdzenia Wereszczagina-Mohra możemy obliczyć współczynniki = M M dx= =6 (6.6) P x = M M x P dx= [ x M ] x = M x 8 x (6.65) a następnie wyznaczyć niewiadomą X (x): X x = P x = M x 8 x 6 = 8 M 8 x x (6.66) Podstawiając wartość nadliczbowej reakcji X (x) do równania (6.6) możemy wyznaczyć wartość r P(x): r P x = M 8 x x M =M x x (6.67) Znając współczynniki równania kanonicznego (6.5) wyznaczamy linię wpływu kąta obrotu przy podporze od momentu zginającego znajdującego się na przęśle -.

25 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 5 z x = r P x r = M x x (6.68) i dalej lw M =z x = M x x = M 8 x x (6.69) Na podstawie równań (6.6) i (6.69) możemy narysować linię wpływu kąta obrotu przekroju przy podporze środkowej. Zauważmy, że ze względu na antysymetrię obciążenia (moment M działa na obu przęsłach z różnymi znakami) i antysymetrię wyniku (kąt φ), w efekcie otrzymujemy wynik symetryczny, widoczny na wykresie M mnożnik 8 Rys. 6.. Linia wpływu LW φ (M) b) Ten przykład różni się od poprzedniego jedynie rodzajem obciążenia, a jak wiemy układ podstawowy i macierz sztywności nie zależą od obciążenia, dlatego tutaj posłużymy się tym samym układem podstawowym i macierzą sztywności. Różny będzie jedynie stan P i jemu przyjrzymy się dokładniej. Podobnie jak poprzednio podzielimy belkę na dwie części i rozpatrzymy je osobno: x, - siła porusza się po przęśle -: P r P (x) x [m] Rys. 6.. Stan P ( x, ) Aby znaleźć wykres momentów na przęśle - wykorzystamy metodę sił. Za niewiadomą X (x) przyjmiemy pionową reakcję w podporze. P r P (x) X (x) x [m]

26 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6 Reakcja rp(x) jest w tym przypadku również momentem w utwierdzeniu w węźle, zatem wyznaczymy ją zapisując równanie sumy momentów względem węzła : M : r P x =P x X x (6.7) Niewiadomą X (x) wyznaczymy z równania kanonicznego (6.56). Do obliczenia współczynników δ i δ P(x) posłużą nam wykresy w poszczególnych stanach: x x X (x) M P x -x P( - x) M P (x) Rys. 6.. Stan X = Rys Stan P Korzystając z twierdzenia Wereszczagina-Mohra możemy napisać: P x = M M x P dx= = M M dx= =6 [ x P x x ] = a następnie obliczyć niewiadomą X (x) z równania (6.56). X x = P x = P [ x ] x 6 6 (6.7) P [ x ] x 6 (6.7) = P 6 [ x x 6 ] (6.7) Znając wartość nadliczbowej reakcji X (x) możemy wyznaczyć wartość r P(x) z równania (6.7): r P x =P x P 6 [ x x 6 ] =P [ x 6 x x 6 ] (6.7) Linię wpływu kąta obrotu przy podporze od siły skupionej znajdującej się na przęśle - wyznaczamy z wzoru (6.5). z P[ x = r x x P = r 6 x ] x 6 (6.75) lw P =z x = P 6 x x = P 6 x 8 x (6.76)

27 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 7 x,8 - siła porusza się po przęśle -: r P (x) P x [m] Rys Stan P ( x, 8 ) Podobnie jak poprzednio, do dalszych obliczeń wykorzystamy metodę sił i twierdzenie Wereszczagina-Mohra, z tą różnicą, że teraz utwierdzenie jest na lewym końcu pręta, a przegub na prawym: r P (x) P x X (x) [m] Reakcja r P(x) jest w tym przypadku momentem w utwierdzeniu w węźle, zatem wyznaczymy ją zapisując równanie sumy momentów względem węzła : M : r P x = P x X x (6.77) Niewiadomą X (x) wyznaczymy z równania (6.56), którego współczynniki δ i δ P(x) obliczymy na podstawie wykresów momentów w poszczególnych stanach: x -x P x P - x X (x) Rys Stan X = Korzystając z twierdzenia Wereszczagina-Mohra możemy napisać: M x Rys Stan P M P (x) P x = M M x P dx= = M M dx= =6 [ x P x x ] = a następnie obliczyć niewiadomą X (x) z równania kanonicznego (6.56). (6.78) P [ x] x 6 (6.79)

28 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 8 X x = P x = P [ x 6 x] 6 = P 6 [ 6 x x ] (6.8) Znając wartość nadliczbowej reakcji X (x) możemy wyznaczyć wartość r P(x) z równania (6.77): r P x = P x P 6 [ 6 x x ] =P [ 8 x x x ] (6.8) Linię wpływu kąta obrotu przy podporze od siły skupionej znajdującej się na przęśle - wyznaczamy z wzoru (6.5). z P [ x = r x P 8 x x ] x = r (6.8) I dalej lw P =z x = P [ x 8 x x] = P 8 [ x x x ] (6.8) Na podstawie równań (6.76) i (6.8) możemy narysować linię wpływu kąta obrotu przekroju przy podporze środkowej. Tym razem, ze względu na symetryczne obciążenie i antysymetryczny wynik (kąt φ), otrzymamy ostatecznie wykres antysymetryczny mnożnik P Rys Linia wpływu LW φ (P) Zadanie 6 Wyznaczyć wartości momentów przywęzłowych Mik i Mki dla belki sprężyście podpartej wywołanych obrotem podpory w węźle i (rys. 6.5). φ i i k χ χ l Rys Belka statycznie niewyznaczalna sprężyście podparta

29 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 9 Zadanie rozwiążemy korzystając z zasady superpozycji. M ik =M ik ' M ik ' ' i ', k ' (6.8) M ki =M ki ' M ki ' ' i ', k ' (6.85) Momenty Mik' i Mki' wyznaczone są dla belki o podporach niepodatnych i wynoszą: M ik '= l i (6.86) M ki '= l i (6.87) Wyznaczając wartości dodatkowych momentów spowodowanych obecnością podpór sprężystych, należy uwzględnić kąty obrotu φi' i φk' podpór podatnych M ik ' '= l i ' k ' (6.88) M ki ' '= l i ' k ' (6.89) które są zależne od wartości momentów węzłowych i sztywności podpór i : i '= M ik (6.9) k '= M ki (6.9) Po zsumowaniu (6.86) i (6.88) oraz (6.87) i (6.89), zgodnie z zasadą superpozycji, otrzymamy: M ik = l i l i ' k ' (6.9) M ki = l i l i ' k ' (6.9) Żeby wyznaczyć zależność pomiędzy Mik i Mki dodajemy do siebie równania (6.9) i (6.9) M ik M ki = l i l i ' k ' l i l i ' k ' = M ik = M ki (6.9) Powróćmy teraz do zależności na M ik (6.9), gdzie za φ i' i φ k' wstawiamy (6.9) i (6.9) M ik = l i l M ik M ki (6.95)

30 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Następnie dokonujemy podstawienia K '= l K '= l które prowadzi do następującej postaci wzoru na M ik M ik = l i M ik K M ki K Po przekształceniach oraz podstawieniu zależności (6.9) otrzymujemy ogólny wzór M ik M ik K M ki K = l i M ik K K = l i M ik K K K K K K = l i M ik = l i K K K K K K (6.96) Na podstawie (6.9) możemy zapisać M ki = M ik = l i K K K K K K (6.97) Jeżeli przyjmiemy założenia, że i = K =K =K dostajemy szczególne, prostsze postacie wzorów (6.96) i (6.97) M ik = l M ki = l K K K K

31 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie 7 Wyznaczyć wartość siły krytycznej P = P kr oraz wzory transformacyjne dla belki obciążonej siłami ściskającymi (rys. 6.5). P i k P χ l Rys Belka statycznie niewyznaczalna Dla wyznaczenia siły krytycznej zapiszmy najpierw warunki brzegowe obejmujące przemieszczenia i siły (warunki kinematyczne i statyczne). w x= = w x=l = x= = i ' M x=l = (6.98) Warunki te są zerowe poza warunkiem na kąt obrotu podpory i (φ i'), jest różny od zera z uwagi na podatności podpory i '= M ik (6.99) Przypomnijmy postacie znanych już równań (9.5), (9.6) i (9.7), spełniających równanie różniczkowe w x =C C x C sin x C cos x (6.) x = dw x =C dx C cos x C sin x (6.) M x = d w dx = [ C sin x C cos x] (6.) Na podstawie zależności (6.) możemy wyznaczyć wartość przywęzłowego momentu M ik, M ik =M x= = [ C sin C cos ] M ik =M x= = C którą następnie podstawiamy do (6.99) i '= C (6.)

32 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Teraz możemy utworzyć układ równań opisujący warunki brzegowe {C C C sin C cos = C C = C C l C sin l C cos l= C C cos C sin = C C C C = [ C sin l C cos l ]= Zauważmy, że jest to układ równań jednorodnych. Zatem nietrywialne rozwiązanie występuje jedynie, gdy wyznacznik tego układu jest równy zeru. Zanim jednak zapiszemy ten wyznacznik, dla uproszenia obliczeń zmniejszymy liczbę niewiadomych do dwóch. Z pierwszego równania otrzymujemy zależność: C = C i wprowadzamy ją do pozostałych trzech równań { C C l C sin l C cos l= C C C = C sin l C cos l= Przekształcając ostatnie równania otrzymujemy C = C tg l co po podstawieniu do pozostałych dwóch równań {C tg l C l C sin l C tg l cos l= C C C tg l = doprowadziło do układu {C l C sin l sin l tg l = C C tg l = Rozwiązanie uzyskamy po przyrównaniu wyznacznika do zera l tg l det W =det = tg l Po rozwinięciu dostaliśmy równanie, w którym jedyną niewiadomą jest λ

33 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Jak pamiętamy, wzór opisujący współczynnik λ ma postać tg l l tg l= (6.) = N Na jego podstawie możemy wyznaczyć siłę krytyczną: P kr =N = (6.5) Wartość λ należałoby wyznaczyć z równania (6.). Niestety uzyskanie analitycznej postaci rozwiązania tego równania jest niemożliwe, ponieważ równanie to jest przestępne. Przybliżone rozwiązanie otrzymamy stosując metody numeryczne. Przejdźmy teraz do wyznaczenia wzorów transformacyjnych dla tej belki. Należy rozwiązać układ niejednorodnych równań. Zadanie polega na znalezieniu relacji pomiędzy węzłowymi przemieszczeniami, a siłami przywęzłowymi. Wyznacza się je z warunków brzegowych. W tym przypadku trzy z czterech warunków są niezerowe: w x= =v i w x=l =v k x= = i i ' M x=l = (6.6) Analogicznie do poprzedniego przypadku w warunku na kąt obrotu podpory i należy uwzględnić jeszcze dodatkowy obrót podpory φ i', który wynika z jej podatnego zamocowania. i '= M ik Tak jak poprzednio wyznaczyliśmy wartość M ik i φ i' M ik =M x= = C i '= C Tworzymy układ równań, {C C C sin C cos =vi C C l C sin l C cos l=v k C C cos C sin C = i [ C sin l C cos l ]= (6.7)

34 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA {C C =vi C C l C sin l C cos l=v k C C = i C C sin l C cos l= z którego dalej wyznacza się wartości stałych C, C, C, C. Znając te wartości można znaleźć wzory transformacyjne: M ik = C (6.8) M ki = (6.9) T ik =T ki = N C (6.) Zadanie 8 Obliczyć częstość kołową drgań własnych ω dla ramy z rys. 6.5: m =m m =m [m] Rys Zadana rama Metoda pierwsza rozwiązanie z użyciem współczynników podatności δ ik W zagadnieniu obliczania częstości drgań własnych, układów dyskretnych o wielu stopniach swobody, w którym korzystamy ze współczynników podatności, posługujemy się następującym równaniem: gdzie: w i(t) to przemieszczenie punktu i, iloczyn m j w j t jest siłą bezwładności działającą po kierunku j, n w i t = m j w j t ' ij (6.) δ'ij oznacza przemieszczenie po kierunku i wywołane jednostkową siłą po kierunku j. j= Analizowany układ ma jeden stopień swobody dynamicznej (i =, j = ).

35 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 5 m m w Rozwiązanie równania różniczkowego (6.) przewidujemy w postaci funkcji w t =A sin t, której druga pochodna wynosi: w t = A sin t. Zatem równanie (6.) przyjmie postać: A sin t = [ m m A sin t ] ' (6.) Po przekształceniach otrzymujemy: = (6.) m m ' Widać zatem, że aby wyznaczyć częstość drgań własnych przy zadanych masach, musimy znaleźć przemieszczenie po kierunku działania siły bezwładności od jednostkowego obciążenia. P = δ ' W tym celu rozwiążmy ramę metodą sił przyjmując układ podstawowy jak na rys.6.5. X X X Rys Układ podstawowy Warunki kinematycznej zgodności układu podstawowego metody sił z rzeczywistą konstrukcją zapewni układ równań kanonicznych: { X X X P= X X X P = X X X P = (6.) którego współczynniki obliczymy na podstawie wykresów jednostkowych.

36 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6 Wykres momentów od działania siły X = : Wykres momentów od działania siły X = : 8 Rys Stan X = X X Rys Stan X = Wykres momentów od działania siły X = : X Rys Stan X = Współczynniki układu równań kanonicznych metody sił są następujące: = [ ] =656 = [ 8 ] = 9 = [ 8 ] = = [ ] =5 = [ ± ] = = [ ]=

37 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 7 Stan P: P = Rys Stan P Wyrazy wolne układu równań wynoszą: P = [ 8 ] = 6 P = [ ] = P = [ ] = 8 Po wyznaczeniu współczynników układu równań kanonicznych wyznaczamy wartości nadliczbowych reakcji. Po rozwiązaniu układu równań otrzymamy: {656 X 9 X X 6 = 9 X 5 X X = X X X 8= {X =,5 X =, X =,77= (6.5) Wykres momentów zginających w zadanej ramie niewyznaczalnej od obciążenia P = jest następujący: 8 8 Rys Wykres momentów od obciążenia jednostkowego

38 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 8 W celu wyznaczenia współczynnika δ ', (czyli przemieszczenia w kierunku pionowym od siły jedynkowej działającej w kierunku pionowym), dokonujemy całkowania funkcji ciągłych obrazujących przebieg momentów od stanu P = w układzie statycznie wyznaczalnym (wykres na rys. 6.57) i przebieg momentów od obciążenia P = w układzie statycznie niewyznaczalnym (wykres na rys. 6.58). Całkowanie dokonujemy wykorzystując twierdzenie Wereszczagina Mohra. ' = [,5 ] 8 = 6 Podstawiając otrzymaną wartość do równania (6.) otrzymujemy wartość częstości kołowej drgań własnych: = 6 m = 6 m =,6 m (6.6) Metoda druga rozwiązanie z użyciem współczynników sztywności r ik Częstości drgań własnych można obliczyć także za pomocą współczynników sztywności. Rozwiązanie obiema metodami zestawiono celowo, by pokazać, że w niektórych zadaniach częstości drgań układów statycznie niewyznaczalnych łatwiej jest rozwiązać stosując współczynniki sztywności. Rozwiązanie zadania sformułowanego przez sztywność rozpoczynamy od przyjęcia układu podstawowego metody przemieszczeń: φ = constans φ u Rys Układ podstawowy metody przemieszczeń Układ równań kanonicznych metody przemieszczeń jest następujący: {r r r u R P= r r r u R P = r r r u R P = (6.7) W celu wyznaczenia współczynników rij należy znaleźć wartości momentów w poszczególnych stanach jednostkowych.

39 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 9 stan, φ =,5 Rys Stan φ = Na podstawie wykresu momentów od stanu pierwszego możemy z równowagi węzłów wyznaczyć współczynniki r i r, które wynoszą: r r Rys Wyznaczenie współczynników z równowagi węzłów i r = 7 r = stan, φ =,5 Rys Stan φ = Na podstawie wykresu momentów od stanu drugiego z równowagi węzłów możemy wyznaczyć współczynniki r i r, które wynoszą: r r Rys Wyznaczenie współczynników z równowagi węzłów i r = r =7

40 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA stan, u =. Kąty obrotu cięciw prętów wyznaczone zostały z łańcucha kinematycznego i mają następujące wartości: = = = u = Rys Stan u = Na podstawie wykresu momentów od stanu trzeciego z równowagi węzłów możemy wyznaczyć współczynniki r = r i r = r, które wynoszą: 8 r r 8 Rys Wyznaczenie współczynników z równowagi węzłów i r = 8 r = 8 Współczynnik r wyznaczymy z równania pracy wirtualnej: r 8 8 = r = 8 Pozostały do wyznaczenia wyrazy wolne układu równań kanonicznych metody przemieszczeń. R P -mu R P -mu R P Rys Stan P

41 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Należy jednak zauważyć, że jak ma to miejsce w naszym zadaniu, masa jest skupiona dokładnie w punkcie. Nie ma zatem sił bezwładności od ruchu obrotowego (J = ), a co za tym idzie: R P = J = R P = J = Niezerowa natomiast pozostaje wartość trzeciej reakcji: R P = m m u Podstawmy zatem uzyskane współczynniki do układu równań: {7 8 u = 7 8 u = u m u = (6.8) Jeżeli dodamy do siebie dwa pierwsze równania z powyższego układu równań, to otrzymamy, że = (6.9) Jeśli podstawimy to równanie do drugiego równania układu, otrzymamy zależność między φ a u: Podstawiając (6.9 i 6.) do równania trzeciego układu otrzymamy: = 9 u (6.) 8 9 u 8 9 u 8 u m ü = (6.) Przyjmując, że u = A sin t oraz ü = A sin t otrzymujemy: 66 A sin t m A sin t = 6 m A sin t = Odrzucając rozwiązanie trywialne (A = lub ω = ) mamy 6 m = = 6 m =,6 m (6.) Jak widać taka samą wartość częstości drgań własnych uzyskano mniejszym nakładem pracy wykorzystując współczynniki sztywności.

42 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie 9 Dla belki o ciągłym rozkładzie masy obliczyć częstość kołową drgań własnych ω oraz wzory transformacyjne Mik, Mki, Tik, Tki. i k l Rys Belka o ciągłym rozkładzie masy Przeanalizujmy najpierw drgania własne belki. W układzie przedstawionym na rys kąty obrotu podpór, siła poprzeczna przy podporze i oraz przemieszczenie pionowe podpory k powinny być równe zero: {T x= = x= = W x=l = x=l = {W ' ' ' x= = W ' x= = W x=l = W ' x=l = (6.) Przyjmując funkcję rozwiązującą w postaci wielomianu obliczamy pochodne po x: W x =A sin x B cos x C sinh x D cosh x (6.) W ' x = A cos x B sin x C cosh x D sinh x (6.5) W ' ' x = M = A sin x B cos x C sinh x D cosh x (6.6) W ' ' ' x = T = A cos x B sin x C cosh x D sinh x (6.7) Na tej podstawie rozpisujemy warunki brzegowe (6.), otrzymując układ równań jednorodnych { A cos B sin C cosh D sinh = A cos B sin C cosh D sinh = A sin l B cos l C sinh l D cosh l= A cos l B sin l C cosh l D sinh l= { A C= A C= A sin l B cos l C sinh l D cosh l= A cos l B sin l C cosh l D sinh l= Z pierwszych dwóch równań wprost wynika, że A=C= Rozwiązanie dwóch pozostałych równań jednorodnych

43 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA { B cos l D cosh l= B sin l D sinh l= jest niezerowe (nietrywialne) gdy wyznacznik macierzy współczynników jest równy zero: cos l cosh l W = (6.8) sin l sinh l det W = (6.9) cos l sinh l sin l cosh l= cos l cosh l tgh l tg l= (6.) Z powyższego równania (6.) powinniśmy wyliczyć nieskończenie wiele pierwiastków α (funkcje trygonometryczne są okresowe). W funkcji rozwiązującej (6.) współczynnik α zależy od rozkładu masy μ = (6.) Po przekształceniu możemy wyznaczyć wartość ω = (6.) Przejdźmy teraz do wyznaczenia wzorów transformacyjnych. Tak jak poprzednio zapisujemy warunki brzegowe (6.). Jednak tym razem poszukujemy wartości sił przywęzłowych w zależności od węzłowych przemieszczeń. Wobec tego przemieszczenia węzłowe muszą być określone: {T x= = x= = i W x=l =v k x=l = k {W ' ' ' x= = W ' x= = i (6.) W x=l =v k W ' x=l = k { A cos x B sin x C cosh x D sinh x= A cos B sin C cosh D sinh = i A sin l B cos l C sinh l D cosh l=v k A cos l B sin l C cosh l D sinh l= k Po podstawieniu (6.), (6.5) i (6.7) otrzymujemy: { A C= A C= i A sin l B cos l C sinh l D cosh l=v k A cos l B sin l C cosh l D sinh l= k

44 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Po wyznaczeniu stałych A, B, C i D możemy zapisać wzory na siły wewnętrzne wykorzystujące zależności różniczkowe (6.6) i (6.7): czyli: M = W ' ' T = M x = W ' ' ' M = A sin x B cos x C sinh x D cosh x (6.) T = A cos x B sin x C cosh x D sinh x (6.5) Otrzymujemy komplet wzorów transformacyjnych M ik =M x= = B D (6.6) M ki =M x=l = A sin l B cos l C sinh l D cosh l (6.7) T ik =T x= = A C = (6.8) T ki =T x=l = A cos l B sin l C cosh l D sinh l (6.9) Zadanie Wyznaczyć częstość kołową drgań własnych ω dla ramy o ciągłym rozkładzie masy (rys. 6.68). Rys Zadana rama Do rozwiązania tego problemu posłużymy się wzorami transformacyjnymi dotyczącymi drgań prętów o ciągłym rozkładzie masy. Wzory transformacyjne wiążą siły przywęzłowe z przemieszczeniami. W danym zadaniu należy uwzględnić zarówno drgania poprzeczne jak i podłużne obu prętów. Punktem wiążącym oba pręty jest węzeł, którego równowaga musi zostać zachowana: [m] N T T M M N Rys Równowaga węzła

45 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 5 Dla węzła nr musi zachodzić: { M = Y = X = (6.) Po rozpisaniu: {M M = N T = T N = (6.) Kolejne wartości sił wewnętrznych określają wzory transformacyjne: dla drgań poprzecznych: dla drgań podłużnych: M = [ c s r v t v ] (6.) M = [ c ' ' s' ' r ' ' v t ' ' v ] (6.) T = 6 [ t r n v m v ] (6.) T = 6 [ t ' ' r ' ' n' ' v m' ' v ] (6.5) N = EA [ a u b u ] (6.6) N = EA [ b' u a ' u ] (6.7) Po uwzględnieniu warunków brzegowych (podpory i nie przemieszczają się), czyli przyjęciu, że: φ = v = u = φ = v = u =, z układu (6.) otrzymujemy: { EA 6 [ t m v ] EA b' ' u = [ c t v ] [ c ' ' t ' ' v ] = b u 6 [ t ' ' m' ' v ] = (6.8) gdzie:

46 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6 '= = l= = cosh sin sinh cos c ' ' =c = cosh cos t ' ' =t = sin sinh cosh cos m' ' =m = sinh cos cosh sin cosh cos (6.9) (6.5) (6.5) (6.5) '= =l EA = EA (6.5) b' ' =b = cot (6.5) Należy zauważyć, że wartości współczynników c, t, m, b są takie same dla obu prętów, ponieważ pręty te mają taką samą długość, przekrój i sztywność. Po przekształceniach otrzymujemy układ równań jednorodnych. { c,5 t v = b u t,5 m v = b u t,5 m v = (6.55) Warunkiem otrzymania rozwiązania tego układu równań jest zerowanie się wyznacznika następującej macierzy: c,5 t b t,5 (6.56) A=[ b t,5 m ] Przyrównanie wyznacznika macierzy A do zera prowadzi do uzyskania równania zależnego od częstości drgań własnych ω (gdyż wielkości λ oraz η są funkcjami ω). Zatem rozwiązanie równania det A = doprowadzi do uzyskania wartości szukanych częstości drgań własnych. Z uwagi na rozbudowaną postać współczynników b, c, m, t obliczenia najlepiej przeprowadzić w sposób numeryczny.