MES polega na wyznaczaniu interesujących nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leży pomiędzy tymi punktami?

Transkrypt

1 MES- 07 Interpolacja, wprowadzenie Interpolacja: po co nam to? Ptania MES polega na wznaczaniu interesującch nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leż pomiędz tmi punktami? Na razie rozpatrwaliśm najprostszą stuację niewiadoma funkcja (np. przemieszczenia, temperatura) jest w przbliżeniu zastępowana na każdm z elementów funkcją liniową. A dlaczego nie użć w tm celu bardziej dokładnej funkcji, np. kwadratowej? (Nieco uproszczona) Definicja Interpolacja pozwala wznaczć funkcję (zwkle wielomian), która przechodzi przez n podanch punktów Interpolacja jest mostem pomiędz światem matematki tradcjnej (funkcje ciągle, linii z punktów, itd.) a światem matematki komputerowej, w którm wszstko jest dskretne. Cel i środki Kied użwam interpolacji. Nie znam funkcji, mam kilka jej wartości (np. z pomiarów). Funkcja jest znana lecz jest zbt skomplikowana () = 0 ep ( t ) sin(τ )dτ dt π Współrzędne n punktów pozwalają jednoznacznie wznaczć współcznniki wielomianu stopnia n, wkres którego przechodzi przez te punkt Niestet bezpośrednie wznaczenie współcznników wielomianu a 0 + a + a a n n wmaga rozwiązania układu n równań liniowch a 0 + a + a a n n = a 0 + a + a a n n =... a 0 + a n + a n a n n n = n Nasz cel: wmślić metodę, która pozwoli zapisać wzór dla wielomianu interpolacjnego bez żadnch dodatkowch obliczeń. Pomsł: zastąpić poszukiwan wielomian sumą dwóch lub więcej innch wielomianów z łatwmi do wznaczenia współcznnikami Przkład dodawania wielomianów a + b + a + b (a + a ) + (b + b ) Wniosek: suma wielomianów stopnia n zawsze jest wielomianem stopnia nie wżej n

2 Wznaczanie sum wielomianów? Wniosek Najprościej wznaczć sumę dwóch wielomianów w punktach zerowch każdego z nich Interpolacja Lagrange a Każd wielomian na składniki 3 Wracam do interpolacji. Mam n punktów (, ), (, ),..., ( n, n ), które jednoznacznie wznaczają wielomian P() stopnia n. Punkt i, i =... n będziem nazwać węzłami interpolacji. Ten wielomian można zawsze przedstawić jako sumę n wielomianów P i (), i =... n tego samego stopnia, każd z którch ma pierwiastki we wszstkich węzłach poza i 3. Ostatnie ptanie: cz można w prost sposób zapisać równanie dla każdego z tch składników? Równanie wielomianu z pierwiastkami w i Twierdzenie Bézouta Jeżeli jest pierwiastkiem wielomianu P n () to równanie tego wielomianu można zapisać w postaci P() = ( )P n () Przkład: dwie postaci wielomianu P() = P() = ( )( )( 3) Rsunki pokazane niżej udowodniają, jak łatwo zapisać równanie dla wielomianu, jeżeli go pierwiastki są znane. Równanie takie, z dokładnością do mnożnika a, można zapisać od razu. a + b = a( + b a ) = = a( ) a( )( ) = b/a I.Rokach,

3 Wielomian Lagrange a, liniow Wzór ogóln: () = a( ) Warunek do wznaczania a: ( ) = = a( ) To daje a = i ostatecznie { 0 = () = = N (), gdzie N () = = Funkcja N () jest znaną przez nas funkcją kształtu Końcow wzór dla liniowego wielomianu Lagrange a () = + = N () + N () Teraz widzim, że wprowadzon wcześniej przez nas element skończon do modelowania prętów użwał liniow wielomian Lagrange a do interpolacji przemieszczeń pomiędz węzłami. Budujem liniow wielomian Lagrange a, krok po kroku. Struktura ogólna: () = +. Miejsca zerowe dla każdego ze składników: () = + 3. W swoim węźle f-cja kształtu = : () = + Budujem kwadratow wielomian Lagrange a i+ i+ i Wzór: () = i + i+ + i+ i i+ i+. Struktura ogólna: () = i + i+ + i+. Miejsca zerowe dla każdego ze składników: () = i ( i+ )( i+ ) +i+ ( i )( i+ ) + i+ ( i )( i+ ) ( i+ )( i+ ) 3. W swoim węźle f-cja kształtu = : () = i ( i i+ )( i i+ ) + ( i )( i+ ) i+ ( i+ i )( i+ i+ ) + ( i )( i+ ) i+ ( i+ i )( i+ i+ ) Przkład Zadanie. Wznaczć wielomian Lagrange a, któr przechodzi przez punkt (,), (,), (4,5) Rozwiązanie I.Rokach,

4 () = ( )( 4) + ( )( 4) ( )( ) + 5 ( )( 4) )( 4) )( ) () = + ( + 5( ( )( 4) ( )( 4) (4 )(4 ) ( )( 4) ( )( 4) ( )( ) () = Można pokazać, że jest to () = = ( ) + Ogóln wzór wielomianu Lagrange a n i N(, i ) i=. Interpolacja liniowa N(, i ) = i+ i i+. Interpolacja kwadratowa N(, i ) = ( i+)( i+ ) ( i i+ )( i i+ ) 3. Interpolacja stopnia n : Wzór najbardziej ogóln N(, i ) = ( )( )... ( i ) ( i+ )... ( n ) ( i )( i )... ( i i ) ( i i+ )... ( i n ) P n () = n i= i n j= j i j i j Zalet: Wgląda prosto, bardzo podoba się matematkom Wad: Raczej niepraktczn, szczególnie dla n > 3 Podsumowanie. Do wznaczania wartości niewiadomej funkcji (przemieszczeń, temperatur, itp) MES użwa interpolacji wielomianowej (nie koniecznie Lagrange a), zwkle najprostszej liniowej lub kwadratowej. Zaletą wielomianów interpolacjnch Lagrange a jest możliwość zapisania wzoru obliczeniowego od razu, bez wstępnch obliczeń. Z tego powodu funkcje kształtu oparte na tm tpie wielomianów są użwane w MES najczęściej. 3 Lokaln i globaln układ współrzędnch MES z punktu widzenia magazniera. Macierz sztwności obliczam ze wzoru k = V B T DB dv. Mam 5 elementów. Każd ma swoje własne współrzędne węzłów, swoje własne funkcje kształtu, swoją własna macierz sztwności. 3. Ale realnie tu jest 3 jednakowch pręt cienkich i grubch i tlko rodzaje macierz sztwności. Cz MES tego nie widzi? I.Rokach,

5 Globalne i lokalne podejście Podejście globalne Podejście lokalne i - 0 i Numer węzłów: i, i + Współrzędne węzłów: i, i+ Funkcje kształtu: N i (), N i+ () Numer węzłów:, Współrzędne węzłów: -, Funkcje kształtu: N () = ( ), N () = ( + ) Podstawowa zaleta podejścia lokalnego Funkcję kształtu w układzie lokalnm są identczne dla elementów tego samego tpu. Czli w naszm przpadku dla wszstkich 5 elementów lokalne funkcje kształtu są jednakowe. Kolejność operacji prz wznaczaniu macierz sztwności dla elementu liniowego Globalne podejście. Wznaczam N i (), N i+ (). Wznaczam dn i(), dn i+() d d 3. Obliczam k = B T DB dv () V Lokalne podejście. N () = ( ), N () = ( + ), dn () d. Wznaczam transformację = f() 3. We wzorze () zastępujem przez =, dn () d = są znane Z punktu widzenia programist, jest szansa, że użwając podejścia lokalnego można zdecdowanie przspieszć obliczenia macierz sztwności elementów. O ile nie będzie problemów z wznaczeniem transformacji = f() Transformacja () : N () N () i i + i i I.Rokach,

6 i+ = f() i 0 Funkcja = (), metoda ściśle MESowska Każdą funkcję f() można aproksmować liniowo za pomocą interpolacjnego wzoru f() = f N () + f N () gdzie f, f wartości f() w węzłach. Czli w ten sposób można również zapisać równanie dla () () = i N () + i+ N () Test równania () = i N () + i+ N () =, ( ) = i N ( ) + i+ N ( ) = i + i+ 0 = i = +, () = i N () + i+ N () = i 0 + i+ = i+ Zadanie domowe Sprawdź, cz (0) = ( i + i+ )/ Macierz sztwności pręta, jeszcze raz Dodatkowe wzor. Wzor na macierz sztwności zawierają pochodne funkcji kształtu po. Musim zastąpić ich wzorami na pochodne po. Pochodna funkcji złożonej: df(()) d = df(()) ( d d d df() d B = [ dn i() d, dn i+() d ) ] = [ dn () d = df() d, dn () ] d d d ( ) d d 3. Zamiana zmiennch: i+i i f() d = f(()) d d d d d = L Przkład, któr pokazuje sens ostatniego wzoru: jeżeli pewn towar w Polsce kosztuje L zł, a na Słowacji, to kurs złotówki to L/ zł za. Czli wartość pochodnej d jest kursem wmian -ow na d dla danego towaru. Jeszcze jeden przkład. W układzie stabilnm (strefa euro) wartość licencji SW jest od lat stała i wnosi W układzie realnm (czli w PL) cena tejże licencji w zł ciągle się zmienia, bo zmienn jest kurs wmian euro na zł I.Rokach,

7 Przkład: obliczanie pochodnch funkcji kształtu na dwa sposob Zadanie Wznaczć pochodne funkcji liniowch kształtu dla elementu z węzłami w p. = 4, = 6 Układ globaln W ramach ćwiczenia zapiszem każdą z funkcji kształtu jako wielomian Łagrange a: N () = ( 6)/( 4 6) = /0( 6), N () = ( ( 4))/(6 ( 4)) = /0( + 4) dn () d = 0, dn () d = 0 Układ lokaln N () = ( ), N () = dn ( + ), () d =, dn () d () = N () + N () = ( 4) /( ) + 6 /( + ) = + 5 d() ( ) d() d = 5, = d 5, dn () = dn ( ) () d() = d d d 5 = 0, = dn () d = 5 = 0. Realnie wznaczanie d() d() na piechotę bło zbędne, ponieważ mieliśm prostsz wzór d d = L = 0/ = 5. Sens fizczn wzoru = + 5 jest prost. Lokaln układ jest wnikiem przemieszczenia początku układu współrzędnch o i 5-krotnego rozciągnięcia osi Nowe wzor ma macierz sztwności i wektor obciążenia Macierz sztwności, wzór ogóln i+ k i = B T DB dv = A i B T DB d = A i V i i ( ) d = A i B T DB d d [ ( ) d ] T ( ) d d B DB d d d d Kolorem czerwonm pokazane są zmienne składniki wzorów na macierz sztwności otrzmane w globalnm i lokalnm układach współrzędnch (zakładam, że materiał jest ten sam dla wszstkich elementów). Widzim, że użwając lokaln układ współrzędnch, możem wcześniej wznaczć niezmienną część macierz sztwności dla danego tpu elementu i tm samm znacznie przśpieszć obliczenia. Macierz sztwności dla elementu liniowego [ ] / k = A i E[ / /, /] d = EA [ ] i /4 /4 L i L i /4 /4 d = EA i L i [ ] I.Rokach,

8 Sił węzłowe F i = i+ i q()n i () d = Dla równomiernego obciążenia q() = q: F i = ql i N () d = ql i q()n () d d d = L i q()n () d ( ) d = ql i Obserwacja Warto odnotować, że nawet dla najprostszego równomiernego obciążenia program musi wznaczć wartość pewnej całki, żeb obliczć wartość sił węzłowej. Jak on to robi? Szczegół już wkrótce. 4 Dodatki Pochodna złożona, sens fizczn 0 d d = () = d d d d = d d d d 0 d d Zmiana skali = d d Wkład został opracowan w LATEXe za pomocą klas BEAMER, graficznego pakietu PGF/TikZ i pakietu do tworzenia wkresów PGFPLOTS. Zanim wdrukujesz pomśl o środowisku. Jedna kartka = 00 ml wod + g drewna + r CO Before printing think about environment. One page 00 ml water + g wood + g CO I.Rokach,