Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Transkrypt

1 23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm], P = q. W obiczeniach pominąć wpływ siły poprzecznej T. Rys. 8.2 Rozwiązanie: Energia sprężysta przedstawionego układu zaeży od funkcji momentu zginającego (siły normane i momenty skręcające nie występują). Zgodnie z twierdzeniem Castigiano współrzędna uogóniona przemieszczenia p i odpowiadająca sie uogónionej P i, jest równa pochodnej cząstkowej energii sprężystej U danego układu wzgędem tej siły (da stałej sztywności zginania EJ). p i = δu δp = 1 i EJ Σ M δm gi gi δp d xi i i Maksymane ugięcie da beki wystąpi w punkcie przyłożenia siły P, więc siłą uogónioną odpowiadającą maksymanemu przemieszczeniu (ugięciu) będzie siła P. Funkcja momentu zginającego oraz pochodna cząstkowa momentu zginającego podług siły P (rys. 8.3) wynosi da: x stąd: M g = - Px qx2, δm g δp i = - x

2 24 Rys. 8.3 Maksymane ugięcie wynosi: p max = 1 EJ M δm g g δp dx = 1 EJ - Px qx2 (- x) dx p max = 11q2 24EJ Po wstawieniu danych z tematu zadania oraz przyjęciu, że: otrzymamy: J = πd4 64 = π(4)4 64 J = 12,56 [cm 4 ], p max = 1,82 [cm]. Zadanie Obiczyć ugięcie w punkcie A beki o sztywności EJ przedstawionej na rysunku 8.4. Wpływ sił poprzecznych na ugięcie beki pominąć. Dane: q. L. EJ. Rys. 8.4

3 25 Rozwiązanie: W ceu wyznaczenia ugięcia beki w punkcie A, przykładamy siłę fikcyjną P * = (rys. 8.5), o kierunku szukanego przemieszczenia. Funkcje wiekości sił wewnętrznych (momentów zginających) w poszczegónych przedziałach wynoszą odpowiednio: Rys. 8.5 x 1 x 2 2 M g1 = - P * x 1 q x2 1 2, M g2 = - P * x 2 q x K, 2 x 3 3 M g3 = - P * x 3 q x K P(x 3 2). Pochodne cząstkowe podług siły fikcyjnej P * wynoszą: δm g1 δp * = - x 1, δm g2 δp * = - x 2, δm g3 δp * = - x 3. Ugięcie w punkcie A wynosi więc:

4 26 p A = 1 EJ M g1 δm g1 δp * dx M g2 δm g2 δp * dx M δm g3 g3 δp * dx 3 2 Po wstawieniu odpowiednich wartości iczbowych i scałkowaniu otrzymamy: p A = 579q2 24EJ. Zadanie W jakiej odegłości a od końca pręta (rys. 8.6), naeży przyłożyć siłę aby przemieszczenie punktu A było równe zero?. Dane: P,, EJ = const. Rys. 8.6 Rozwiązanie: Aby obiczyć przemieszczenie punktu A, przykładamy w tym punkcie fikcyjną siłę P * o wartości równej zero (rys. 8.7). Wartości momentów zginających w poszczegónych przedziałach ramy wynoszą odpowiednio: x 1 a M g1 = a x 2 2 M g2 = - P(x 2 a) x 3 M g3 = - P(2 a) x 4 2

5 27 M g4 = - P(2 a x 4 ) P * x 4 Rys. 8.7 Pochodne cząstkowe podług siły fikcyjnej P * wynoszą odpowiednio: δm g1 δp * =, δm g2 δp * =, δm g3 δp * =, δm g4 δp * = - x 4, czyi ugięcie w punkcie A będzie wynosiło: p A = 1 EJ [P(2 - a - x 4 )] ( - x 4 ) dx 4 p A = P EJ 2a Ugięcie punktu A będzie równe wtedy zero, kiedy siła P będzie przyłożona w odegłości a: a = 2 3 (od swobodnego końca beki). Zadanie Zaprojektować przekrój staowej beki zamocowanej i obciążonej jak na rysunku (8.8) wiedząc, że dopuszczane maksymane ugięcie może wynosić p dop =,25 [cm].

6 28 Przyjąć, że naprężenia maksymane nie mogą przekroczyć wartości k g = 28 [Pa]. Dane: P = 1 [kn], = 2 [m], EJ = const, E = [MPa]. Rys. 8.8 Rozwiązanie: W ceu zaprojektowania przekroju beki naeży wyznaczyć rzeczywiste maksymane ugięcie wywołane obciążeniem zewnętrznym. Ugięcie to nie może przekroczyć ugięcia dopuszczanego p dop. Z charakteru obciążenia wynika, że maksymane ugięcie beki wystąpi w punkcie A. Funkcje momentów zginających w poszczegónych przedziałach (rys. 8.9) i ich pochodne cząstkowe podług siły P wynoszą: Rys. 8.9 x M g1 = - Px 1, δm g1 δp = - x 1,

7 29 x M g2 = - Px 2 P(x 2 1), δm g2 δp = - x 2. Przemieszczenie punktu A wynosi: p A = 1 EJ p A = P3 4EJ. 2 M δm g1 g1 δp dx M g2 δm g2 δp dx 2 Moment bezwładności przekroju wzgędem osi y wynosi: J y = a(2a)3 12 J y = 2 3 a4, czyi: stąd: p A = 3P3 8E a 4 p dop czyi: a 4 3P 3 8 E p dop. Naprężenia maksymane wystąpią w punkcie C i wyniosą: 3P σ max = M gmax 2 W = g 2a 3 k g, 3 a 3 9P 4k g. Po podstawieniu wartości podanych w temacie zadania otrzymamy: - z warunku na dopuszczany kąt ugięcia: a 8,81 [cm], - z warunku na dopuszczane naprężenie: a 5,44 [cm]. Ostatecznie przyjmujemy: a = 9 [cm].

8 21 Zadanie Staowa beka o przekroju prostokątnym i długości, podparta w dwóch miejscach obciążona jest w sposób równomierny obciążeniem ciągłym q (rys. 8.1). Maksymane naprężenia normane powstałe w przekroju poprzecznym wynoszą σ max = 6 [Pa], a maksymane ugięcie p max = 6. Okreśić stosunek wysokości beki h do jej długości. Rys. 8.1 Rozwiązanie: Wartości reakcji podporowych wyznaczone z równań równowagi wynoszą: R Ax = R Ay = R By = 1 2 q. Z wykresu momentu zginającego przedstawionego na rys wynika, że maksymane naprężenia wystąpią w środku beki, czyi da x = 1 2. Rys Naprężenia normane wywołane momentem zginającym wynoszą:

9 211 σ max = M gmax W g k g Wskaźnik zginania da beki o przekroju prostokątnym wynosi: czyi: W g = bh2 6 σ max = 3q2 4bh 2 σ max = 6 [Pa]. Maksymane ugięcie wyznaczymy stosując twierdzenie Castigiano (wzór 8.5): δu δp = p. Z charakteru obciążenia wynika, że maksymane ugięcie wystąpi w środku beki. Przykładamy więc w tym miejscu siłę fikcyjną P * = (rys. 8.12). Rys x Funkcje momentów zginających w poszczegónych przedziałach wynoszą: M g1 = R Ay x qx2 1 = 1 2 q P* x qx2 1 x M g2 = R By x qx2 2 = 1 2 q P* x qx2 2 Pochodne cząstkowe podług uogónionej siły P * wynoszą: δm g1 δp * = 1 2 x 1,

10 212 δm g2 δp * = 1 2 x 2. Uwzgędniając symetrię układu, czyi: oraz, że: δm g1 δp * = δm g2 δp * = δm g δp *, P * =, ugięcie w punkcie C jest równe: czyi: p c = EJ p c = 5g4 384EJ = p max M g δm g δp * dx = 2 EJ 2 1 Moment bezwładności przekroju da prostokąta wynosi: J = bh3 12, p max = 5g 4 32bh 3 E = 6 2 qx qx2 1 2 xdx Obiczamy szerokość przekroju b ze wzoru na maksymane naprężenia: b = 3q 2 6 4h 2 i podstawiając do wzoru na maksymane ugięcie otrzymamy: 6 = 5g 4 32h q h 2 Po uporządkowaniu i obiczeniu otrzymujemy: h =,375.

11 213 Przykłady (twierdzenie Menabrea-Castigiano) Zadanie Da beki dwuprzęsłowej (rys. 8.23) obciążonej na podporze A momentem skupionym K, obiczyć reakcje podporowe oraz sporządzić wykres momentów zginających. Dane: K,, EJ = const. Rys Rozwiązanie: Beka stanowi układ jednokrotnie statycznie niewyznaczany. Za wiekość hiperstatyczną przyjmujemy reakcję R A (rys. 8.24). Rys Funkcje momentów zginających w poszczegónych przedziałach mają postać:

12 214 x 1 x 2 2 M g1 = R A x 1 + K M g2 = R A x 2 + K + R B (x 2 ) Występującą w równaniach reakcję R B wyrazimy za pomocą reakcji hiperstatycznej R A (korzystając z równań równowagi): R B = - 2 R A - K, czyi równania okreśające momenty zginające mają postać: M g1 = R A + K, M g2 = 2 R A R A x 2 - Kx K. Pochodne cząstkowe podług reakcji hiperstatycznej R A wynoszą: δm g1 δr A = x 1, δm g2 δr A = 2 x 2. Wykorzystując twierdzenie Menabrea-Castigiano otrzymujemy (wzór 8.7): δu δr A = 1 EJ δm 2 g1 Mg1 δr dx 1 + δm g2 Mg2 A δr dx 2 = A Po podstawieniu wartości i scałkowaniu otrzymamy: R A = - 5K 4. Pozostałe reakcje zostały wyznaczone z równań równowagi i wynoszą: R B = 3K 2, R C = - K 4. Wykres momentów zginających przestawiony został na rysunku 8.25.

13 215 Zadanie Wyznaczyć wiekości podporowe (reakcje) da beki jak na rysunku Dane: q,, EJ = const. Rys Rys Rozwiązanie: Równania równowagi da danego układu mają postać (rys. 8.27): Y A + Y B + Y C 2 q = - Y A 2 Y B + 2 q 2 + M C = Rys. 8.27

14 216 Układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczany. Jako reakcje hiperstatyczne przyjmujemy reakcje Y A oraz Y B. Da okreśonych przedziałów zmienności obciążenia (rys. 8.27) wypisujemy funkcje sił wewnętrznych w poszczegónych przedziałach: x 1 x 2 2 M g1 = Y A x qx2 1 M g2 = Y A x qx2 2 + Y B (x 2 ) Pochodne cząstkowe podług reakcji hiperstatycznych (wiekości hiperstatyczne są od siebie niezaeżne δy A δy B =, δy B δy A = ) wynoszą: δm g1 δy A = x 1, δm g2 δy A = x 2, δm g1 δy B =, δm g2 δy B = x 2 1. Stosujemy dwukrotnie twierdzenie Menabrea-Castigiano i otrzymujemy: δu δy A = 1 EJ δm 2 g1 Mg1 δy dx 1 + δm g2 Mg2 A δy dx 2 = A δu δy B = 1 EJ δm 2 g1 Mg1 δy dx 1 + δm g2 Mg2 B δy dx 2 = B Po podstawieniu danych i scałkowaniu otrzymujemy: 8 3 Y A Y B 2 q =, 5 6 Y A Y B q =. Powyższe równania wraz z równaniami równowagi pozwaają na okreśenie wartości wiekości podporowych, które wynoszą: Y A = q, Y B = 8 7 q, Y C = q, M C = q2.

15 217 Zadanie Da beki jak na rysunku (8.28) obiczyć dopuszczane obciążenie q, stosując metodę na dopuszczane naprężenie. Dane: b, h,, k g. Rys Rozwiązanie: Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczany. Dodatkowe równanie potrzebne do rozwiązania przedstawionego układu dostarczy twierdzenie Menabrea-Castigiano. Jako wartość hiperstatyczną przyjmujemy reakcję R A (rys. 8.29). Rys x 1 Funkcje momentów zginających w poszczegónych przedziałach mają postać: M g1 = qx2 1

16 218 x 2 5 M g2 = qx2 2 + R A (x 2 ) Pochodne cząstkowe momentów zginających podług reakcji hiperstatycznej R A wynoszą: δm g1 δr A =, δm g2 δr A = x 2 - Po zastosowaniu twierdzenia Menabrea-Castigiano: otrzymamy: δu δr A = 1 EJ δu δr A = 1 EJ 5 R A = 2,66 q. δm 5 g1 Mg1 δr dx 1 + δm g2 Mg2 A δr dx 2 = A qx2 2 + R A (x 2 ) (x 2 ) dx 2 = Na rysunku (8.3) został przedstawiony wykres momentów zginających Mg. Rys. 8.3 Maksymany moment zginający (wartość bezwzgędna) wynosi: M gmax = 1,86 q 2. Wskaźnik zginania sprężystego da przekroju prostokątnego o wymiarach jak na rysunku (8.28) wynosi: W g = 2 3 bh3.

17 219 Korzystając ze wzoru: czyi: M gmax W g k g, 1,86 q bh3 k g. Stąd wyznaczamy dopuszczane obciążenie q, które wynosi: Zadanie q dop,358 bh3 2 k g. Porównać energie sprężyste pochodzące od zginania da układów jak na rysunku (8.31). Da obu beek przyjąć stałą sztywność zginania równą EJ. Rys Rozwiązanie: Energię sprężystą układu obiczymy z zaeżności: U = U N + U T + U Mg + U Ms Ponieważ obiczamy tyko energię sprężystą pochodzącą od zginania, w naszym przypadku będzie: U = U Mg = M 2 g 2EJ d. Funkcje momentów zginających da poszczegónych beek mają postać (rys. 8.32):

18 22 beka a: x M g = qx2 beka b: x M g = R B x qx2, Rys Czyi energia sprężysta da układu a (statycznie wyznaczanego, rys. 8.32a) wynosi: U (a) = U (a) = 1 2EJ M 2 g dx 1 q 2 x 4 2EJ 4. Po scałkowaniu otrzymujemy: U (a) = q2 5 4EJ. Układ drugi stanowi beka jednokrotnie statycznie niewyznaczana. Aby obiczyć jej energię sprężystą, naeży najpierw wyznaczyć wiekości podporowe. W tym ceu skorzystamy z twierdzenia Menabrea-Castigiano. Jako reakcję hiperstatyczną przyjmujemy R B. Funkcja

19 221 momentu zginającego i pochodna cząstkowa podług reakcji hiperstatycznej wynoszą (rys. 8.32b): M g = R B x qx2 δm g δr B = x Wykorzystując twierdzenie Menabrea-Castigiano otrzymamy: δu = 1 δm g Mg dx = δr B EJ δr B δu δr = 1 B EJ R B x qx2 xdx =. Po scałkowaniu i rozwiązaniu otrzymamy: R B = 3 8 q. Energia sprężysta da układu b (statycznie niewyznaczanego) wynosi: U (b) = 1 2EJ M 2 g dx U (b) = 1 2EJ 3qx 8 - qx2 2 Po uporządkowaniu i scałkowaniu otrzymamy: U (b) = q EJ.. Jak z powyższego wynika, energia układu drugiego (b) jest osiem razy mniejsza od energii układu pierwszego (a). Zadanie Jaka wartość powinna mieć siła P, aby reakcja w prawej podporze była równa zero. Schemat beki przedstawiono na rysunku Dane: q = 1 kn m, = 1 [m], EJ = const.

20 222 Rys Rozwiązanie: Beka stanowi układ jednokrotnie statycznie niewyznaczany. Jako wiekość hiperstatyczną przyjęto reakcję R C (rys. 8.34) prawej podpory, która przy danej sie P powinna być równa zero. Momenty zginające w poszczegónych przedziałach beki mają postać (rys. 8.34): Rys x 1 M g1 = R C x 1 x x 2 M g2 = R A x qx2 2, M g3 = R A x qx2 3 P x 3-2, Ponieważ występująca w równaniach rekcja R A jest wiekością niewiadomą nie hiperstatyczną, naeży ją przedstawić za pomocą reakcji hiperstatycznej R C. W tym ceu skorzystamy z równań równowagi i otrzymamy:

21 223 R A = R C P Po wstawieniu do równań sił wewnętrznych otrzymamy: M g1 = R C x 1, M g2 = R C x Px qx2 2, M g3 = R C x Px qx2 3 - P x 3-2. Pochodne cząstkowe podług reakcji hiperstatycznej wynoszą odpowiednio: δm g1 δr C = x 1 δm g2 δr C = x 2 δm g3 δr C = x 3 Wykorzystując twierdzenie Menabrea-Castigiano możemy napisać: δu δr C = 1 EJ δm 2 g1 Mg1 δr dx 1 + g2 Mg2 C δr dx 2 + g3 Mg3 C δr dx 3 C = 2 Po podstawieniu wartości, scałkowaniu i uwzgędnieniu, że R C =, otrzymujemy wartość siły P, która wynosi: P = 4 q P = 4 [kn].