P R O J E K T N R 1 WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Zawiera: Wyznaczenie wymiarów przekroju poprzecznego belki zginanej poprzecznie

Transkrypt

1 atedra Wtrzmałości Materiałów Rok akad. 005/06 Wdział Inżnierii Lądowej emestr zimow Politechniki rakowskiej P R O J E T N R 1 Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Zawiera: Wznaczenie wmiarów przekroju poprzecznego belki zginanej poprzecznie Jan Nowak Rok III tudia Zaoczne Grupa 11/A 1

2 atedra Wtrzmałości Materiałów raków, Wdział Inżnierii Lądowej Politechniki rakowskiej P R O J E T 1 Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW tud. Jan Nowak III rok tudia Zaoczne, sem. zim., rok ak. 005/06. Zaprojektować wmiar przekroju poprzecznego zginanej belki ze względu na stan graniczn nośności i użtkowania. Po zaprojektowaniu wznaczć rozkład naprężeń normalnch i stcznch w przekroju - oraz obliczć naprężenia główne i ich kierunki w punkcie tego przekroju. Otrzmane wniki sprawdzić programami komputerowmi TATYA i PRZERÓJ, załączć wdruki rezultatów obliczeń. R=05 MPa, R t =0.6 R, f dop =l ma /50, E=05 GPa α 5 kn/m 0 knm 0 kn α m 4 m 4 m m a a a 10 a a a a a a a Podpis prowadzącego ćwiczenia

3 1. Rozwiązanie belki 5 kn/m 0 knm 0 kn A B C D E V B kn 41.5 kn m 4 m 4 m m V D 1.1. Obliczenie reakcji Σ M B = 0; V D *8 0* *6*1 = 0 V D = kn Σ M D = 0; V A *8 5*6* * = 0 V B = kn prawdzenie obliczenia reakcji; Σ V = V B + V D 5*6 0 = Obliczenie wartości momentów zginającch i sił poprzecznch M A = 0, M B = -5**1 = knm, M C = -5*6* *4 = knm, M E = 0, M DE = -0* = knm, M DC = -0* + 0 = knm Q A = 0, Q BA = -5* = kn, Q BC = -5* = kn, Q C = - 5* = kn, Q ED = Q DE = kn, Q DC = = kn Miejsce wstąpienia ekstremalnego momentu w przedziale BC: 5* = 0 = 5.15 m. Wartość ekstremalnego momentu M ekstr = M(5.15) = -5*5.15 / *.15 = knm. 1.. Wkres momentów zginającch i sił poprzecznch M [knm] Q [kn] m M ma = knm, Q ma = kn

4 1.4 Results from program TATIC, version Nov :0:15 az@limba.wil.pk.edu.pl (Adam Zaborski) Data trace Points 1 (0, 0 ) [m] (, 0 ) [m] (6, 0 ) [m] 4 (10, 0 ) [m] 5 (1, 0 ) [m] Elements (from-to) (hinges) 1 (1 - ) (none) ( - ) (none) ( - 4) (none) 4 (4-5) (none) Constraints (point no) ( code) ) 4) Loading vertical force 0 kn in point 5 point moment -0 knm on element 4 (at origin) vertical load (5, 5) kn/m on element 1 vertical load (5, 5) kn/m on element Results Bearing reactions V = kn, V4 = kn, H4 = 0 Element no 1 Element no Bending moment: M( = 0) = 0 M( = ) = -50 knm Transversal force: Q( = 0) = 0 Q( = ) = -50 kn Aial force: N( = 0) = 0 N( = ) = 0 Nodal displacements: angle( = 0) = d( = 0) = 0 d( = 0) = -0 angle( = ) = 140d( = ) = 0d( = ) = 0Maimal deflection:wma( = 0) = -0 Bending moment: M( = 0) = -50 knm M( = 4) = 65 knm Metr( =.15) = 74.01, (global position: = 5.15 m = 0)Transversal force:q( = 0) = knq( = 4) = -1.5 knaial force:n( = 0) = 0N( = 4) = 0 Nodal displacements: angle( = 0) = 140 d( = 0) = 0 d( = 0) = 0 angle( = 4) = -. d( = 4) = 0 d( = 4) = Maimal deflection: wma( =.64) = Element no Element no 4 Bending moment: M( = 0) = 65 knm M( = 4) = -0 knm Transversal force: Nodal displacements: angle( = 0) = -. d( = 0) = 0d( = Bending moment: M( = 0) = -40 knm M( = ) = 0 Transversal force: Q( = 0) = -1.5 kn Q( = 4) = -1.5 kn 0) = angle( Q( = 0) = 0 kn = 4) = -11.d( Q( = ) = 0 kn Aial force: N( = 0) = 0 N( = 4) = 0 = 4) = 0d( = 4) = 0Maimal deflection:wma( = 0) = Aial force: N( = 0) = 0 N( = ) = 0 Nodal displacements:angle ( = 0) = - 11.d( = 0) = 0d( = 0) = 0angle( = ) = - 7.d( = ) = 0d( = ) = - 17.Maimal deflection:wma( = ) =

5 . Charakterstki geometrczne przekroju poprzecznego.1. Wznaczenie położenia głównch centralnch osi bezwładności przekroju poprzecznego Oś Z oś smetrii Pole powierzchni i środek ciężkości F = *a*a + 5a*17a a*15a = a 1 = *a*a*.5a = 8.000a a a a Z 7.917a z 0 = 1 /F = 8a /48a = 0.58a 0.58a Y.. Moment bezwładności względem osi zginania J = 5a*(17a) /1 - a*(15a) /1 + 40a *(0.58a) + *[a*(a) /1 + a*a*(.5a a) ] = = a 4 10 a Y 1 8.5a 9.08a.. Wskaźnik wtrzmałości W = J / z ma = /9.08a = a a a a a a a.4 Wniki z programu PRZEROJ, wersja Mar :01:9 az@limba.wil.pk.edu.pl (Adam Zaborski) Dane Punkt Punkt Element (od-do) 1 (, 0 ) 9 (, 1 ) 1 ( 1 - ) (7, 0 ) 10 (0, 1 ) ( - ) (7, 11 ) 11 (0, 11 ) ( - 4 ) 4 (9, 11 ) 1 (, 1 ) 4 ( 4-5 ) 5 (9, 1 ) 1 (, 1 ) 5 ( 5-6 ) 6 (7, 1 ) 14 (6, 1 ) 6 ( 6-7 ) 7 (7, 17 ) 15 (6, 16 ) 7 ( 7-8 ) 8 (, 17 ) 16 (, 16 ) 8 ( 8-9 ) Element (od-do) 9 ( 9-10 ) 10 ( ) 11 ( 11-1 ) 1 ( 1-1 ) 1 ( 1-14 ) 14 ( ) 15 ( ) 16 ( 16-1 ) 5

6 Wniki Pole = 48 Środek ciężkości: (4.5, 9.08 ) Centralne moment bezwładności: I = I z = 44 I z = 0 Główne centralne moment bezwładności: I 1 = I = 44 kąt = 0 [deg]. Projektowanie ze względu na stan graniczn nośności..1. Projektowanie ze względu na naprężenia normalne w przekroju poprzecznm. Największe naprężenia normalne wstąpią w przekroju maksmalnego momentu zginającego we włóknach najdalej położonch od osi obojętnej. σ ma M = W ma a 1.66 * 10 R ] W = M ma R a 74.01* * 10.. Projektowanie ze względu na naprężenia stczne w przekroju poprzecznm. Największe naprężenie stczne wstąpią w przekroju maksmalnej sił poprzecznej we włóknach na osi obojętnej (0) = 9.08a*5a*9.08a / 8.08a*a*8.08a/= a Q * ( 0) ma * 10 * a ma = Rt 1* 10 4 J * b( 0) a * a a 0.519* 10 ] 4. Wznaczenie linii ugięcia belki. 6 5 kn/m 0 knm 0 kn A B C D E w kn 41.5 kn m 4 m 4 m m 6

7 Linię ugięcia belki wznaczm korzstając z podejścia Clebscha dzięki czemu liczba stałch całkowania zredukuje się do dwóch, niezależnie od ilości przedziałów charakterstcznch. M() = -5 / AB (-) BC + 5(-6) / CD -0(-10) (-10) DE EJw () = +5 / (-) -5(-6) / +0(-10) (-10) EJw () = C+5 / (-) / -5(-6) /6 +0(-10) (-10) / EJw() = D+ C+5 4 / (-) /6-5(-6) 4 /4 +0(-10) / (-10) /6 inematczne warunki brzegowe: 1) w() = 0 0 = D+*C+5* 4 /4 ) w(10) = 0 0 = D+10*C+5*10 4 / *(10-) /6-5*(10-6) 4 /4 C = [knm ]; D = [kNm ] Ugięcia i kąt ugięcia w punktach charakterstcznch: w A= w (0) = [knm ]/EJ ; w A = w(0) = [knm ]/EJ, w B= w () = * /6= [knm ]/EJ ; w B = w() = , w C= w (6) = *6 / *(6-) / = -. [knm ]/EJ, w C = w(6) = *6+5*6 4 / *(6-) /6 = [knm ]/EJ, w D= w (10) = *10 / *(10-) / 5*(10-6) /6 = [knm ]/EJ, w D = w(10) = *10+5*10 4 / *(10-) /6 5*(10-6) 4 /4 = w E= w (1) = *1 / *(1-) / 5*(1-6) /6 +0(1-10) *(1-10) /= -7. [knm ]/EJ, w E = w(1) = *1+5*1 4 / *(1-) /6 5*(1-6) 4 /4 + 0(1-10) / *(1-10) /6 = [knm ]/EJ Obliczenie maksmalnego ugięcia w belce. Maksmalne ugięcie wstąpi w przedziale BC w punkcie w którm zeruje się kąt ugięcia * / *(-) / = 0 = [m] *5.658 / *(5.658-) / = w ma = w(5.658) = * * / *( ) /6 = [knm ]/EJ. 7

8 w A 5 kn/m B C 0 knm 0 kn kn 41.5 kn m 4 m 4 m m D E w = ϕ = w = 0 ϕ = wma = ϕ = 0 w = ϕ = -. w = 0 ϕ = w = ϕ = m Rzędne wkresu są dzielone przez EJ 8

9 4.. Projektowanie ze względu na stan graniczn użtkowania Z w dop lma = 50 = = 0.0] w ma w dop * 10 EJ * * a 9 05* 10 * 0.0 a * 10 ].0 M α α Y 5. Przjęcie wmiarów przekroju belki. Punkt.1,., i 4. dowodzą, że o wmiarach przekroju poprzecznego decduje stan graniczn użtkowania Qα α Do wkonania przjęto a = 1.50*10 - [m]. 6. Wznaczenie rozkładu naprężeń normalnch i stcznch w przekroju α-α. 1.5 M α-α = [knm Q α-α = [kn] J = a 4 = *(0.015) 4 = = *10-8 [m 4 ] Wmiar w [cm] 6.1. Wznaczenie wartości naprężeń normalnch i stcznch M 6 α α * 10 σ = z = z = * 10 8 J * 10 z [ N / m ] Qα α * ( z ) * 10 * ( z ) ( z ) 6 = = = * 10 [ N / m ] 8 J * b( z ) * 10 * b( z ) b( z ) z = * 10 m σ = [ MPa z = * 10 m = 0 σ = [ MPa ] ( z ) = 7.5* 1.5* * 10 =.016 [ MPa ] ( z ) = 7.5* 1.5* * 10 = [ MPa ] = * 10 = * 10 ]; b( z ) = 7.5* 10 b( z ) =.0 * 10 ] ] 9

10 z = * 10 m σ = [ MPa] ( z ) = * 10 = [ MPa ] ( z ) = * 10 =.15 [ MPa] + * 4.5* 1.5* 8.16 * 10 + * 4.5* 1.5* 8.16 * 10 = 4.868* 10 = 4.868* 10 ] ; b( z ) =.0* 10 b( z ) = 9.0* 10 ] ] z =.876 * 10 m σ =.059 [ MPa ] ( z ) = 4.868* 10 = 4.78 [ MPa ] ( z ) = 4.868* 10 z = 0 σ = [ MPa] = 0 + * 4.5*.0* 4.76 * 10 + * 4.5*.0* 4.76 * 10 = 5.00 * 10 = 5.00* 10 b( z ) = 9.0* 10 b( z ) =.0* 10 ] ] ( z ) = 5.00* 10 = [ MPa] + *.876 * 1.5* 1.48 * 10 = * 10 b( z ) =.0* 10 ] z = 1.14* 10 m σ = 9.99 [ MPa] ( z ) = 7.5* 1.5* 1.874* 10 = 144.8* 10 b( z ) =.0* 10 ] = 5.8 [ MPa ] ( z ) = 7.5* 1.5* * 10 =. [ MPa ] = 144.8* 10 b( z ) = 7.5* 10 ] z = 1.64 * 10 m σ = [ MPa = 0 6. Rozkład naprężeń normalnch i stcznch w przekroju poprzecznm α α 10

11 σ [ MPa ] [ MPa] Z Y Wmiar w [cm] 6. Wniki z programu PRZEROJ, wersja Mar :01:9 az@limba.wil.pk.edu.pl (Adam Zaborski) Dane Punkt Punkt Element (od-do) 1 ( 0.00, 0 ) 9 ( 0.00, ) 1 ( 1 - ) ( 0.105, 0 ) 10 ( 0, ) ( - ) ( 0.105, ) 11 ( 0, ) ( - 4 ) 4 ( 0.15, ) 1 ( 0.00, ) 4 ( 4-5 ) 5 ( 0.15, ) 1 ( 0.045, ) 5 ( 5-6 ) 6 ( 0.105, ) 14 ( 0.090, ) 6 ( 6-7 ) 7 ( 0.105, 0.55 ) 15 ( 0.090, 0.40 ) 7 ( 7-8 ) 8 ( 0.00, 0.55 ) 16 ( 0.045, 0.40) 8 ( 8-9 ) Element (od-do) 9 ( 9-10 ) 10 ( ) 11 ( 11-1 ) 1 ( 1-1 ) 1 ( 1-14 ) 14 ( ) 15 ( ) 16 ( 16-1 ) Obciążenia: iła poprzeczna = N moment = Nm, kat = 0 [deg] 11

12 Wniki Pole = m Środek ciężkości: ( , ) m Główne centralne moment bezwładności: I 1 = I = e-05 m 4 ; I = I z = 1.55e-05 m 4 kąt = 0 [deg] Punkt Naprężenia normalne [ Pa] Punkt Naprężenia stczne [ Pa] e e e e e e e e e e e e Obliczenie naprężeń głównch i ich kierunków w punkcie przekroju α-α Tσ.059 = [ MPa] 0 1

13 σ σ σ σ min ma = ± + 15 ma tg α = 9.0 [ MPa ]; σ ma ( ) = ± + ( 14. ) min = 6.96 [ MPa] = = = α σ 9.0 ma ma = tg α min = = =.0415 α min = 6.90 σ 6.96 min Naprężenia główne i ich kierunki w punkcie przekroju poprzecznego α α o o σ ma = 9.0 o α min = o α ma = σ min =