ZADANIA - POWTÓRKA
|
|
- Filip Jarosz
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie W ramie przedstawionej na rys 5. obliczyć kąt obrotu przekroju w punkcie K oraz obrót cięciwy RS. W obliczeniach można pominąć wpływ sił normalnych i tnących. 8 kn/m R K 9 kn S k k =constans k = 8 k = 9 Rys. 5.. Schemat układu rama statycznie wyznaczalna Aby wyznaczyć wykres momentów dla obciążenia zewnętrznego należy określić wartości reakcji. 8 kn/m 9 kn H A = 6 kn A R A = kn B R B = kn H B = 3 kn
2 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA Wykres momentów od obciążenia zewnętrznego na słupie pochyłym ma kształt paraboliczny. Ekstremum momentu jest w punkcie, gdzie siłą tnąca jest równa zero. Układamy równanie tnącej: 8 knm T(x) H A = 6 kn α x R A = kn T x= cos 6 sin 8 x cos a następnie określamy współrzędną ekstremum T x=0 x=,75 wartość momentu w tym punkcie wynosi M x=,75=,5 [knm] M P [knm] x=,75 m K,5, x=,5 m 0 a) Obrót przekroju w punkcie K Aby znaleźć kąt obrotu przekroju obciążamy ramę momentem wirtualnym M = [-] w punkcie K
3 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 3 M=[-] R K A B,5 Reakcje wirtualne mają wartość: R M=[-] K H A = A R A = 9 R B = 9 B H B = Znając reakcje tworzymy wykres momentu zginającego wywołanego działaniem momentu wirtualnego w punkcie K: 3 M[-] x=,5 m
4 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 4 Obrót przekroju obliczymy z równania pracy wirtualnej: K = M M ds R R k [ knm knm mkn m m3 knm ==rad ] (5.) korzystając z metody Wereszczagina-Mohra: K =, , ,5 8 8,5 8 8,5 3, , K = K = 67 b) Obrót cięciwy RS Obciążamy układ wirtualnymi siłami skierowanymi prostopadle do cięciwy RS o wartościach jeden przez odległość pomiędzy punktami R i S. R 5 [/m] 5 5 [/m] S Najpierw wyznaczamy reakcje:
5 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 5 5 [/m] H A = 6 A R A = 9 β B R B = 9 5 [/m] β H B = 6 a potem wykres momentów gnących: M[-] x=,5 m Zgodnie z zasadą pracy wirtualnej: RS = M M ds R R k [ knm knm mkn m m3 knm ==rad ] (5.) Obrót cięciwy RS (korzystając z metody Wereszczagina-Mohra) wynosi: RS = [ ] RS = RS = 8 5
6 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 6 Znaleźć wykres momentów M n Zadanie dla belki (rys. 5.), której podpory doznają przemieszczenia. Δ = 0,05 m Φ = 0,006 rad 4,0 5,0 Rys. 5.. Schemat zadanej belki Belka jest jeden raz statycznie niewyznaczalna. Przyjmujemy następujący układ podstawowy: Δ = 0,05 m Φ = 0,006 rad X 4,0 5,0 Rys Układ podstawowy Równanie kanoniczne ma postać: X =0 Tworzymy wykresy momentów od: stanu X =
7 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 7 0 X = 4,0 5,0 4 M 4 4 Rys Stan od siły X = oraz wykres momentów M Korzystając ze wzoru: ik = S M i M k ds I stosując metodę numerycznego całkowania Wereszczagina Mohra otrzymujemy: = [ ] = 0,33 Natomiast ze wzoru: i = i R i i M i i i obliczamy = [ ,006 ]= 0,074 Podstawiając powyższe wyniki do równania kanonicznego możemy obliczyć X X = = 0,074 0,33 =0, [m ] Znając już wartość X możemy narysować wykres momentów w stanie niewyznaczalnym
8 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 8 Δ = 0,05 m Φ = 0,006 rad 0, , , ,0 5,0 M Δ (n) [knm] 0,009 0,009 Rys Schemat belki i wykres momentów w stanie niewyznaczalnym Przy sprawdzeniu kinematycznym posłużymy się wzorem: j = M n M 0 dx R i i (5.3) Przyjmujemy nowy układ podstawowy obciążony siłą wirtualną (rys. 5.6) i dla niego tworzymy wykres momentów: 0 0,5 0,5 4,0 5,0 M (0) [ - ] Rys Nowy układ podstawowy i wykres momentów M 0
9 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 9 = 4 3 0, ,009 0,006 0,5 0,05 =0, rad 0 Okazało się, że rzeczywiście uzyskaliśmy wartość bliską zeru co daje nam gwarancję poprawności rozwiązania. Zadanie 3 Wyznaczyć reakcje oraz wykresy momentów zginających i sił poprzecznych w belce obciążonej siłą P i doznającej obrotu w podporze C o kąt Φ (można skorzystać z zasady superpozycji skutków). Na podstawie uzyskanych wyników wykazać prawdziwość twierdzenia o wzajemności przemieszczeń i reakcji. Φ A P B = const. C Rys Belka statycznie niewyznaczalna Aby rozwiązać zadanie metodą sił przyjęto następujący układ podstawowy: Φ P X X Rys Układ podstawowy Równania kanoniczne dla belki dwukrotnie statycznie niewyznaczalnej przyjmuje postać: X X S =0 X X S =0 gdzie is = ip i.
10 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 0 Aby obliczyć współczynniki równania kanonicznego δ i ΔS tworzymy wykres momentów M od stanu X =. Wykres momentów M od stanu X = jest na całej belce równy zeru, a zatem współczynniki równania kanonicznego δ, δ, ΔS są równe zeru (ponieważ nie uwzględniamy wpływu sił normalnych i tnących). Równanie drugie będzie tożsamościowo równe zeru (nie można z niego wyliczyć niewiadomej X), zatem pominiemy je w dalszych rachunkach. Rozwiązanie tego zadania sprowadzi się do rozwiązania układu: X S =0 X = M [-],0,0 Rys Wykres momentu zginającego - stan X = Współczynnik δ jest równy: = M M ds= = (5.4) Korzystamy z zasady superpozycji skutków, dlatego najpierw rozpatrzymy układ, na który działa tylko siła P. Następnie zajmiemy się układem, który doznaje wyłącznie obrotu podpory C o kąt Φ. Pozwoli to nam wykazać prawdziwość twierdzenia o wzajemności przemieszczeń i reakcji. W pierwszym etapie rozwiążemy zadanie przedstawione na rys Wyznaczymy reakcje i wykres momentów zginających od obciążenia P. P Rys Belka statycznie niewyznaczalna obciążona siłą P W analogiczny sposób jak poprzednio (rys. 5.8) przyjmujemy układ podstawowy:
11 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA P X (P) Rys. 5.. Układ podstawowy belka podlega tylko działaniu obciążenia w postaci siły P Równanie kanoniczne w tym przypadku, choć identyczne w zapisie ma inny sens fizyczny niż poprzednio. Wielkości X i ΔP zależą tylko od obciążenia siłą P. X P P =0 (5.5) Współczynnik = został obliczony wcześniej (nie zależy on od rodzaju obciążenia zewnętrznego). Tworzymy wykres momentów M P od obciążenia zewnętrznego, w tym przypadku od siły P: P M = 3P R = P M P [knm] 3P 3P Rys. 5.. Wykres momentu zginającego - stan od obciążenia siłą P Na podstawie wykresów M i MP obliczamy współczynnik ΔP : P = M M P ds= 3 P 3 3 P 3 = 7 P (5.6) Podstawiając obliczone powyżej przemieszczenia do równania kanonicznego otrzymujemy wartość nadliczbowej X(P) w przyjętym układzie podstawowym:
12 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA X 7 P =0 X P=,5 P (5.7) Na podstawie uzyskanych wyników rysujemy wykres momentów zginających i sił poprzecznych w układzie statycznie niewyznaczalnym: M B =0 M A 3 P,5 P=0 M A =,875 P (5.8) M A =,875P P,5P R = P M P (n) [knm] 3 3 6,5P,875P T P (n) [kn] -P - -P Rys Wykres momentu zginającego i siły poprzecznej w układzie statycznie niewyznaczalnym od obciążenia siłą P Drugim etapem jest wyznaczenie reakcji i wykresów sił wewnętrznych od obrotu podpory C o kąt Ф (rys. 5.4). Φ A B C Rys Belka statycznie niewyznaczalna poddana obrotowi w punkcie C
13 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 3 Przyjęcie tego samego układu podstawowego pozwala na wykorzystanie wcześniej obliczonego współczynnika δ. Φ X (Φ) Rys Układ podstawowy podpora C ulega obrotowi o kąt Φ Równanie kanoniczne w tym przypadku zapiszemy następująco: X =0 (5.9) Ze wzoru (5.4) =. Obliczamy jako pracę reakcji na rzeczywistych przemieszczeniach: j = R ij i (5.0) Wykorzystując reakcje z rys. 5.9 otrzymujemy: = = (5.) Podstawiając wyliczone współczynniki do równania kanonicznego wyznaczamy X (Φ): X =0 (5.) X = (5.3) Obciążając układ podstawowy tylko wyznaczoną siłą nadliczbową X (Φ) tworzymy wykres momentów i sił poprzecznych (od obrotu podpory C):
14 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 4 Φ M Φ (n) [knm] Φ Φ T Φ (n) [kn] O Rys Wykres momentu zginającego i sił poprzecznych od Φ Korzystając z zasady superpozycji skutków tworzymy wykresy momentów zginających i sił poprzecznych łącząc wcześniej uzyskane funkcje (rys. 5.3 i rys. 5.6): M B =0 M A 3 P,5 P =0 M A =,875 P (5.4) M A =,875P- Φ P Φ M P+Φ (n) [knm] R B = P,5P+ Φ,5P+ Φ T P+Φ (n) [kn],875p- Φ -P - -P Rys Wykres momentu zginającego i siły poprzecznej w układzie statycznie niewyznaczalnym od obciążenia siłą P i od obrotu przekroju C Przypomnijmy twierdzenie o wzajemności przemieszczeń i reakcji.
15 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 5 Jeżeli na ustrój sprężysty w punkcie i działa siła uogólniona Pi= wywołująca w podporze k reakcję rki i niezależnie od tego, jeśli uogólnionemu przemieszczeniu jednostkowemu podpory k towarzyszy pojawienie się w punkcie i tym przemieszczenia δik, to rzut reakcji rki na kierunek przemieszczenia podpory k jest równy rzutowi przemieszczenia δik na kierunek uogólnionej siły (z przeciwnym znakiem). r ki = ik (5.5) Najpierw wyznaczamy reakcje w układzie statycznie niewyznaczalnym obciążonym siłą P (rys. 5.8). M A =,875P P,5P R B = P Rys Reakcje w układzie niewyznaczalnym od siły P Jednostkowa siła P wywołuje w podporze C moment MC=,5. Obliczamy przemieszczenie punktu i znajdującego się pod siła P od jednostkowego obrotu podpory C. Φ δ i Rys Przemieszczenie punktu i od obrotu podpory C o kąt Φ Korzystając z twierdzenia redukcyjnego mnożymy wykresy M n i M =M P (rys. 5. i rys. 5.6) i = [ =,5 (5.6) ] Dla Φ= i =,5 Na podstawie powyższych wyników można wykazać prawdziwość twierdzenia o wzajemności reakcji i przemieszczeń:
16 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 6 M C P= i,5 P=,5 (5.7) Dla Φ= i P=:,5=,5 Zadanie 4 Obliczyć pionowe przemieszczenie punktu A belki przedstawionej na rys q = 0 kn/m A 3,0 5,0 Rys Schemat belki statycznie niewyznaczalnej Belka jest jeden raz statycznie niewyznaczalna. Przyjmujemy następujący układ podstawowy: q = 0 kn/m X 8,0 Rys. 5.. Układ podstawowy Równanie kanoniczne ma postać: X P =0 Tworzymy wykresy momentów od : stanu X =
17 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA ,0 X = M [ - ] Rys. 5.. Stan od siły X = oraz wykres momentów zginających stanu P q = 0 kn/m 0 30 knm 80 kn 8,0 30 M P [knm] Rys.5.3. Stan od siły P oraz wykres momentów zginających Korzystając ze wzoru: ik = S M i M k ds Otrzymujemy: = 8 8 = P = = 853,33 Podstawiając powyższe wyniki do równania kanonicznego możemy obliczyć X X = P = 853,33 8 =06,67 [ knm]
18 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 8 Znając już wartość X możemy narysować wykres momentów w stanie niewyznaczalnym: q = 0 kn/m 06,67 knm 0 3,33 knm 3,33 80 kn 8,0 M P (n) [knm] 06,67 Rys Schemat belki i wykres momentów w stanie niewyznaczalnym Do sprawdzenia kinematycznego posłużymy się wzorem j = S M n P M 0 ds (5.8) Przyjmujemy nowy układ podstawowy obciążony siłą wirtualną (rys. 5.5) i dla niego tworzymy wykres momentów M 0 0 M (o) [ - ] 0 8,0 Rys Nowy układ podstawowy i wykres momentów = 8 8 3, , =0
19 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 9 Okazało się, że rzeczywiście uzyskaliśmy zero to oznacza, że wykres MP (n) jest poprawny. Aby obliczyć przemieszczenie w punkcie A posłużymy się twierdzeniem redukcyjnym (5.8). Przykładamy w tym punkcie pionowo siłę wirtualną i wyznaczamy dla niej wykres momentów (rys. 5.6), w układzie statycznie wyznaczalnym. A 3 0 3,0 5,0 M (0) 3 3 Rys Belka obciążona pionową siłą oraz wykres momentów od tej siły Dla ułatwienia przypominamy wykres M P (n) 3,33 8,33 M P (n) [knm] Rys Wykres momentów M P (n) 06,67 Szukane przemieszczenie ma wartość: v A = [ ,33 3 8,33 ] 3 [ 5 06, ] 5 3 =633, , [knm] Zadanie 5 Dla łuku w kształcie ćwiartki okręgu (=const) wyznaczyć przemieszczenie pionowe podpory A wywołane działaniem siły P (rys. 5.8).
20 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 0 P=8 kn A r = m B Rys Łuk kołowy statycznie niewyznaczalny Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny, zatem przyjmujemy układ podstawowy zwalniając jeden więz (rys. 5.9). P=8 kn A r = m B X Rys Układ podstawowy Układ podstawowy będzie zgodny z rzeczywistym, jeśli obrót podpory B będzie zerowy. Warunek ten wyraża równanie kanoniczne: X P =0 (5.9) Obliczenia przeprowadzimy dla współrzędnych biegunowych:
21 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA y A r sinφ r φ r cosφ B x Rys Związki pomiędzy współrzędnymi biegunowymi i kartezjańskimi Przy tak przyjętym układzie obowiązują zależności: ds r ds =tg d ds=r tg d r dφ dla małych kątów ds=r d (5.0) x=r sin (5.) Tworzymy wykres momentów M w układzie podstawowym od stanu X =: M (x)= x M [-] X = Rys Wykres momentu zginającego w układzie podstawowym - stan X =
22 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA Następnie tworzymy wykres MP w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego: P=8 kn 6 M p (x) 6 x M p [knm] 0 R B =8kN Rys Wykres momentu zginającego w układzie podstawowym stan od obciążenia zewnętrznego Równanie momentu M P(x) w przekroju o współrzędnej x: 6 8 x M p (x) M P x=6 8 x a po podstawieniu współrzędnych biegunowych M P x=6 8 r sin (5.) Obliczamy współczynniki równania kanonicznego:
23 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 3 = s M M ds= 0 rd = r = (5.3) P = s M M P ds= r sin rd = 6 r 8 r 0 sin d = 6 3 (5.4) Podstawiając otrzymane wartości do równania (5.9) otrzymujemy: X 3 6 =0 (5.5) X = 3 6 5,84 (5.6) Na podstawie uzyskanych wyników wyznaczamy wykres momentów zginających w układzie statycznie niewyznaczalnym MP (n) : 8 kn M A R B = 8kN M A = 6 5,84 = 0,8 knm X = -5,84 knm R B Rys Układ podstawowy rzeczywiste reakcje podporowe Moment rzeczywisty w układzie statycznie niewyznaczalnym opisuje zależność:
24 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 4 M P n =M P x X M x M P n =6 8 x 3 6 M P n = 3 8 x M n P = 3 8 r sin (5.7) M P (n) (x) 0,86 x M P (n) [knm] 5,84 Rys Wykres momentu zginającego w układzie statycznie niewyznaczalnym Aby wyznaczyć przemieszczenie podpory A przykładamy w tym punkcie (w układzie podstawowym) pionową siłę wirtualną i wyznaczamy dla niej wykres momentów (rys. 5.35): M A = A B R B = Rys Układ podstawowy obciążony siłą wirtualną - reakcje
25 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 5 Zależność opisująca moment zginający w układzie podstawowym od jednostkowej siły wirtualnej przyłożonej w punkcie A ma postać: M o x= x M o = r sin (5.8) M (o) (x) x M (0) 0 Rys Wykres momentu zginającego w układzie podstawowym stan od obciążenia wirtualnego Przemieszczenie pionowe punktu A obliczamy po podstawieniu (5.7) i (5.8) do wzoru: A = s M P n M o A = 0 ds= 0 M n P M o r d (5.9) 3 8 r sin r sinrd (5.30) całkę z wyrażenia (5.30) r sin r sind = r sin 6 r sin8 r sin d (5.3) obliczymy wykonując następujące podstawienia 0 sin= cos = 0 = (5.3) 0
26 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 6 0 sin = 4 sin = 4 0 (5.33) Ostatecznie otrzymujemy A = = 8 6 A = 9,5 [knm 3 ] (5.34) Dla przykładu w łuku wykonanym z Ι00 (J x = 7 cm 4, E = 05 GPa) przemieszczenie pionowe podpory A wynosi: A = 9,5 =0,07 350,55 Zadanie 6 Wyznaczyć linię wpływu reakcji podporowej M A(x) dla belki z (rys. 5.37), dla której const., oraz k =. M A (x) A B k x 6,0 Rys Schemat zadanej belki Belka jest jeden raz statycznie niewyznaczalna. Przyjmujemy następujący układ podstawowy x 6,0 Rys Układ podstawowy X
27 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 7 Równanie kanoniczne ma postać: X P =0 Tworzymy wykresy momentów dla: stanu X = x 6,0 X = M x Rys Stan od siły X = oraz wykres momentów stanu P (pamiętając, że obciążenie w postaci momentu porusza się po belce (w zależności od x)) x M P 6,0 x 6 - x Rys Stan od siły P oraz wykres momentów Korzystając ze wzoru M ik = i M k ds R R i k j S k (5.35) Otrzymujemy:
28 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 8 P = = = 6 6 x x x x = = x 6 x Podstawiając powyższe wyniki do równania kanonicznego możemy obliczyć X x X = P = 6 x 74 = x x 48 Znając już wartość X możemy napisać równanie linii wpływu momentu MA dla belki w stanie niewyznaczalnym obciążając znanymi siłami układ podstawowy (rys. 5.4). M A (x) x x x 48 6,0 Rys Schemat belki w stanie niewyznaczalnym Równanie przyjmie postać : M A x= 6 x x 48 = 3 x x (5.36) 74 Do narysowania wykresu potrzebne będą nam wartości M A dla poszczególnych położeń obciążenia. Podstawiając wartości x do równania (5.36) otrzymujemy: x=0 M A = x= M A = 0,89 x=4 M A =0,97 x=6 M A =0,459 Wykres linii wpływu M A(x) wygląda następująco:
29 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 9 M A (x) x 6,0 -,000-0,550-0,89 x x 48 lw M A (x) 0,090 0,97 0,40 0,459 Rys Wykres linii wpływu M A (x) Obliczyć linię wpływową ugięcia belki w punkcie K. Zadanie 7 x P = K 3 3 Rys Belka statycznie niewyznaczalna Belkę dzielimy na trzy przedziały dlatego, że kształt wykresu momentu rzeczywistego zależy od położenia siły P= (rys. 5.45, rys. 5.46, rys.5.47) Natomiast moment wirtualny od siły jedynkowej jest niezmienny. Wykres momentu od siły wirtualnej przyłożonej w miejscu szukanego przemieszczenia jest funkcją liniową.
30 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 30 K 3 3 M K,5 Rys Wykres momentu od siły wirtualnej przyłożonej w punkcie K Wykresy momentów od siły P przyłożonej w poszczególnych przedziałach przedstawiają poniższe rysunki: dla x 0,3 x P = M 3 3 x 6 x 6 x 6 - x Rys Wykres momentów od siły P przyłożonej w przedziale x 0,3 dla x 3,6 x 0,3 P = x 3 3 M x 6 x x x Rys Wykres momentów od siły P przyłożonej w przedziale x 0,3
31 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 3 dla x 3 0, x 3 P = 3 3 x 3 M 3 6 x 3 - x 3 Rys Wykres momentów od siły P przyłożonej w przedziale x 3 0, Ugięcie belki w poszczególnych przedziałach obliczać będziemy na podstawie wzoru: v k x i = M M j dx (5.37) j Funkcja przemieszczenia będzie różna dla kolejnych przedziałów: dla x 0,3 M M x 6 x 6 x c b K 6 - x,5 3 3 Rys Zestawienie wykresów M oraz M Obliczenie wartości b oraz c
32 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 3 b = 3 b= x x 6 x 6 x 6 c = x 3 3 c= x Przy wykorzystaniu wzoru (5.37) otrzymujemy: v k x = x x 3 x 6 x 6 x 3 x 3 x 6 x 6 3 x 3 3 x 3 x 3 x 6 x x = = x 6 x x 3 x 36 4 x 6 x x x 4 x 3 x 6 x 8 3 x 3 = = x 3 6 x x 3 x 6 x x 3 x 3 x 3 x 6 x 3 x = = 6 x 3 4 x x 8 9 x x x 3 x x 8 9 x x x 3 x 3 x = = 6 x x 8 x 9 x x 3 x 3 3 x 8 x 9 x x 3 x x =3 x = = 8 x 3 3 x 8 x 6 x 6 x x = 36 x x 3 9 x 3 x 6 x x = = 6 x 3 x 9 x x 8 x 3 x = 7 x x 3 = x 7 x dla x 0,3 M M x 6 x x x K,5 3 3 Rys Zestawienie wykresów M oraz M Wykresy momentów, a co za tym idzie rozwiązania dla części pierwszej i drugiej są symetryczne (rys i rys. 5.49). Wykorzystując wzór wyprowadzony dla części pierwszej podstawiamy w miejsce x wartość (6 x)
33 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 33 v K x = 6 x [7 6 x ] = 6 x [7 36 x x ] = = 6 x 9 x x = 54 7 x 6 x 3 9 x x x = = x 3 8 x 8 x 54 dla x 3 0, x 3 M 3 d M 6 x 3 - x 3 K,5 3 3 Rys Zestawienie wykresów M 3 oraz M Obliczenie wartości d: d = 3 x 3 6 d = x 3 Przy wykorzystaniu wzoru (5.37) otrzymujemy: v K x 3 = x x 3 3 x 3 = = 3 x x 3 3 x 3 = 3 x x 3 4 = 9 x 3 4 Zestawienie wyników: dla x 0,3 v k x = x 7 x dla x 3,6 v k x = x 3 8 x 8 x 54 dla x 3 0, v k x 3 = 9 x 3 4
34 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 34 Otrzymane funkcje są prawdziwe tylko w obrębie przedziału, którego dotyczą. Funkcje w poszczególnych przedziałach nie są identyczne (dwie pierwsze to funkcje trzeciego stopnia, trzecia jest funkcją liniową). Linię wpływową ugięcia belki w punkcie K wygląda jak na poniższym rysunku: x P = K 3 3-4,50 v k x K -,5,7 3,83 4,50 3,83,7 Rys Linia wpływowa ugięcia belki w punkcie K Sprawdzenie wartości ugięcia dla x=3 Wartość normowa (znana z tablic) dla układu jak na rys. 5.5: v P l l Rys Schemat belki wolnopodpartej obciążonej siłą P w środku rozpiętości wynosi: v= Pl 3 48 Dla naszego przypadku (P=, l=6): v K = Pl 3 co pokrywa się z wartością przez nas otrzymaną. 48 = =4,5 v K x =3= 37 3 =4,5
35 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 35 Zadanie 8 a) Wyznaczyć wartości ciężarów sprężystych dla punktów 0 i belki przy podziale na cztery elementy (=const.) (rys. 5.53). b) Podać schemat belki zastępczej spełniającej warunki brzegowe zadanego układu. kn/m Rys Zadana belka ad a) Obliczenie wartości ciężarów sprężystych Wartości ciężarów sprężystych określa się na podstawie wzoru: w i = M p M i dx (5.38) Do wyznaczenia ciężarów sprężystych potrzebne będą nam wykresy momentów od zadanego obciążenia oraz od sił wirtualnych. Obciążenie wirtualne dla danego punktu musi być przyłożone w postaci par sił zastępujących jednostkowe momenty. Najpierw tworzymy wykres od obciążenia zewnętrznego (rys. 5.54). 43 knm kn/m kn 36 kn M P [knm] Rys Wykres momentów od zadanego obciążenia Następnie wykres momentów od obciążenia wirtualnego dla poszczególnych punktów (rys. 5.55, rys. 5.56). 54
36 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA M 0 [-] Rys Wykres momentów od obciążenia wirtualnego dla punktu , ,5 0,5 M [-] 6 Rys Wykres momentów od obciążenia wirtualnego dla punktu Należy zauważyć, że obciążenie wirtualne w postaci samorównoważących się momentów daje przeważnie wykres w okolicy rozpatrywanego punktu. Jednak dla punktu uzyskaliśmy wykres na całej długości belki. Podstawiając wartości z powyższych wykresów do wzoru (5.38), otrzymujemy: w = M p M w 0 = M p M 0 dx= [ ] w 0 = 499,5 dx= [ ] 3 [ ] w = 70 ad b) Schemat zastępczy dla belki z rys wygląda następująco:
37 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 37 I I I I Rys Schemat belki zastępczej Zadanie 9 Udowodnić, że w przypadku pośredniego obciążenia, funkcje linii wpływu wywołane działaniem ruchomej siły skupionej są odcinkami liniowe. Rozpatrzmy belkę wolnopodpartą obciążoną w sposób pośredni. Na belce głównej spoczywa pomost złożony z jednoprzęsłowych belek, ułożonych na podporach, przekazujących obciążenie od poruszającej się siły P= na belkę dolną. A A' x P = B C D E F α F' B' C' D' E' α m n a b c d e Rys Schemat belki obciążonej pośrednio Zauważmy, że gdy dowolna siła będzie przyłożona w punktach A, B, C, D, E lub F to cała wartość obciążenia zostanie przekazana bezpośrednio na belkę główną. Dla takich położeń siły rzędne linii wpływu dowolnej wielkości statycznej będą takie same jak w przypadku obciążenia bezpośredniego belki A'F'. Na rys dla przykładu pokazano linię wpływu momentu zginającego w przekroju α-α od siły jedynkowej poruszającej się po belce A'F'. Rzędne wykresu w punktach A', B', C', D', E' i F' są identyczne w przypadku obciążenia bezpośredniego z wartościami otrzymanymi dla obciążenia pośredniego. A' x P = B' α C' D' E' F' α a b c d e M α (B') (E') (D') M (C') M α M α α lw M α Rys Linia wpływu momentu w przekroju α-α od poruszającej się siły jedynkowej
38 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 38 Gdy siła P = znajdzie się w obrębie pojedynczego przęsła, np. przęsła BC to obciążenie od siły P będzie przekazane na belkę główną przez podpory BB' i CC' belka główna będzie obciążona tylko reakcjami R B, R C. Wartości tych reakcji zależne będą od położenia siły P na danym przęśle, czyli od odciętej r. b B r P = C R B R C Rys Siła P działająca w obrębie przęsła BC Wartości sił reakcji w podporach przęsła BC wywołanych poruszającą się siła P po przęśle BC i jednocześnie wartości sił działających na belkę główną A'F' zapiszemy w następujący sposób: R B = r b R C = r b (5.39) Pozostałe przęsła pomostu nie są obciążone i nie będą przekazywać żadnych sił na belkę główną (czyli gdy siła znajduje się na przęśle BC reakcje R A = R D = R E = R F = 0). W związku z powyższym można przyjąć schemat z rys 5.6. R B (r) R C (r) A' m α B' C' D' E' α n F' a b c d e Rys Siła P zatrzymana myślowo na jednym z przęseł Wyznaczmy teraz linię wpływu momentu zginającego w przekroju α - α odległego o m od podpory A' i o n od podpory F' przy założeniu, że siła P = stoi dokładnie w punkcie B (r = 0). R B =P= R C =0 A' m α B' C' D' E' α n F' R A' a b c d e R B' Rys Siła P przyłożona dokładnie w punkcie B
39 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 39 Zgodnie z równaniem statyki: czyli: M =0 (5.40) M =R A' m R B m a M (5.40) M =R A' m R B m a (5.4) wartość reakcji R A' (gdy siła P = stoi w punkcie B) wyliczamy z sumy momentów wszystkich sił działających na belkę A'F' względem punktu F'. Belka pozostanie w stanie równowagi gdy: czyli: M F ' =R A' mn R B bcd e (5.4) M F ' =0 (5.43) R A' = R Bbcd e mn (5.44) Podstawiając do równania (5.4) otrzymujemy wartość momentu w przekroju α α dla przypadku, gdy siła P przyłożona jest w punkcie B. M = R Bbcd e m R mn B m a (5.45) Ponieważ założyliśmy, że P = to dla sytuacji RB = P =, czyli: M B = Rozpatrzmy teraz sytuację gdy siła P = stanie w punkcie C (r = b) bcd e m m a (5.46) mn R B =0 R C =P= A' m α B' C' D' E' α n F' R A' a b c d e R B' Rys Siła P przyłożona dokładnie w punkcie C Obliczając moment względem przekroju α-α otrzymujemy:
40 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 40 Przy czym reakcja RA' gdy siła P stoi w punkcie C wynosi: R A' = Podstawiając (5.48) do wzoru (5.47) otrzymujemy równanie ogólne: M C = M C =R A' m (5.47) cd e R mn C (5.48) cd e m R mn C a dla rozważanego przypadku dla P = mamy RC = P = i dalej: M C = Obliczmy teraz Mα dla dowolnego położenia siły P na przęśle BC. cd e m (5.49) mn r R B =- R C = b r b A' m α B' C' D' E' α n F' R A' a b c d e R B' Korzystamy z równania (5.4): Rys Siła P położona w dowolnym punkcie przęsła BC M =R A' m R B m a (5.50) Aby obliczyć R A' układamy sumę momentów wszystkich sił względem punktu F'. Po przekształceniu otrzymujemy: Podstawiamy do równania (5.50): R A' = R bcd er B C cd e mn M = R Bbcd e m R ccd e m R mn mn B m a (5.5) a po uszeregowaniu i wyłączeniu R B z pierwszego i ostatniego wyrazu równania otrzymujemy M =R B[ bcd e mn m m a] c[ R cd e mn Zauważmy, że wyrażenia w nawiasach kwadratowych to odpowiednio wartość momentu w przekroju α-α dla położenia siły P w punkcie B (5.46) oraz wartość momentu dla położenia siły P = w punkcie C (5.49), m]
41 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 4 czyli: Podstawmy zgodnie z równaniem (5.39) M =R B M B C R C M po wymnożeniu: M = b r M B r b M C M =M B r b M B r b M C i po wyłączeniu r przed nawias: Zauważmy, że M C b, M B b, M B M =r M C b M B b M B to konkretne liczby, a r jest zmienną. Otrzymaliśmy więc równanie linii prostej, stąd można przyjąć, że linia wpływowa momentu w przekroju α - α przy obciążeniu pośrednim jest linią prostą. Wniosek: W celu uzyskania linii wpływowej dowolnej wielkości statycznej przy obciążeniu pośrednim, wystarczy sporządzić linię wpływową danej wielkości jak dla belki głównej (obciążenia przekazywanego bezpośrednio), znaleźć wartości wielkości statycznej w węzłach (czyli w miejscach oparcia podpór belek pomostu) i połączyć otrzymane punkty odcinkami linii prostych. Metoda ta jest pokazana na rys A A' x P = B C D E F α F' B' C' D' E' α m n a b c d e M α (B') (E') (D') M (C') M α M α α lw M α obciążenie pośrednie obciążenie bezpośrednie Rys Przebieg linii wpływy momentu zginającego w przekroju α-α dla obciążenia pośredniego
42 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 4 Zadanie 0 Dla łuku w kształcie półokręgu ( = const), obciążonego poruszającym się jednostkowym momentem skupionym, obliczyć i narysować linię wpływu momentu zginającego w przekroju α - α (rys. 5.66). x M= α α R R R Rys Łuk w kształcie półokręgu statycznie niewyznaczalny Łuk jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny, zatem przyjmujemy układ podstawowy zwalniając jeden więz (rys. 5.67). x M= α α R X = [-] Rys Układ podstawowy Układ podstawowy uzupełnia równanie kanoniczne: z którego można wyznaczyć wartość nadliczbowej siły: X P =0 (5.5) X = P Obliczenia przeprowadzimy dla współrzędnych biegunowych. W celu ułatwienia obliczeń funkcję momentu zginającego na długości łuku uzależnimy od zmiennej x ', którą wyrazimy przez zmienną biegunową, kąt (rys. 5.68). Podczas całkowania x, które określa położenie momentu skupionego M =,
43 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 43 będzie traktowane jako wartość stała, a zmienną całkowania będzie x '. y R φ R x` R sinα x Rys Związki pomiędzy współrzędnymi biegunowymi i kartezjańskimi, x '=RR sin=r sin ds=r d Aby obliczyć współczynniki równania kanonicznego i P tworzymy wykres momentów od stanu X = (rys. 5.69). x` M R X = [-] [-] oraz określamy postać funkcji momentu zginającego: Rys Wykres momentu zginającego - stan X = M x ' = x '=Rsin W przekroju α - α wartość momentu zginającego w stanie X = równa jest promieniowi okręgu. M X = =M x '=R=R Dalej tworzymy wykres momentów od obciążenia zewnętrznego, w tym przypadku od ruchomego momentu skupionego M = (rys. 5.70) oraz określamy postać funkcji momentu M P x'.
44 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 44 x M= R β Rys Wykres momentu zginającego stan P (od obciążenia ruchomym momentem jednostkowym) Funkcja momentu przyjmuje różną postać w zależności od badanego przedziału: dla x ' 0, x,, dla x ' x, R,, M P =0 M P x ' = Znając postacie wszystkich funkcji w poszczególnych przedziałach możemy obliczyć składniki równania kanonicznego: = S M M ds= = R3 P = S = R [ cos R sin R d = R3 [ cos sin M M P ds= R sin 0 R d [ d sin d ]= R [ cos d sin d sin d ]= d ]= R3 [ ] = 3 R3 R sin R d = ] = R [ cos ] Korzystając ze wzoru (5.5) wyznaczamy wartość nadliczbowej siły X. Ponieważ przemieszczenia i P są funkcjami zmiennej x ( we współrzędnych biegunowych), to również siła X jest funkcją zależną od położenia jednostkowego momentu. Czyli linią wpływu jest funkcja: Lw X = [ cos ] 3 R
45 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 45 Zgodnie z zasadą superpozycji wartość momentu w układzie niewyznaczalnym wynosi: Lw M n =Lw M 0 Lw X M X = Najpierw wyznaczamy linię wpływu momentu w układzie statycznie wyznaczalnym. Wartość momentu zginającego w przekroju α-α zależy od położenia wędrującego momentu M = (rys. 5.7) i wynosi: dla x 0, R,,0 dla x R, R, 0, M 0 = M 0 =0 M= α β α x dla 0 < x < R - π < β <0 dla R < x < R 0 < β < π x M α M α M= M α = M α =0 R R M α (x) = lw M α (0) Rys Linia wpływu M α(x) w układzie statycznie wyznaczalnym Teraz możemy zapisać równanie linii wpływu momentu zginającego w przekroju α-α dla poszczególnych
46 Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 46 przedziałów w układzie niewyznaczalnym: dla,0 dla 0, Lw M n = Lw M n = [ cos ] 3 [ cos ] 3 cos = 3 = cos 3 (5.53) (5.54) n Do narysowania wykresu potrzebne będą nam wartości M dla charakterystycznych położeń momentu jednostkowego. Podstawiając wartości β do równań (5.53) i (5.54) otrzymujemy: dla = dla = 4 M = 3 M =0,35 dla =0 L M =0,45 dla =0 P M = 0,55 dla = 4 M = 0,3 dla = M =0 Wykres linii wpływu M n w układzie statycznie niewyznaczalnym przedstawiono na rys ,55 0,3 0,35 0,45 lw M α (n) (β) 0,3(3) 0 Rys Wykres linii wpływu momentu zginającego w przekroju α-α od jednostkowego momentu
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym
Bardziej szczegółowoMETODA SIŁ KRATOWNICA
Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..
Bardziej szczegółowoLinie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej
Prof. Mieczysław Kuczma Poznań, styczeń 215 Zakład Mechaniki Budowli, PP Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej (Przykład liczbowy) Zacznijmy od zdefiniowania pojęcia linii wpływu (używa się też
Bardziej szczegółowoCzęść ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1
Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6. 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna
Bardziej szczegółowo6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy
Bardziej szczegółowo1. Obciążenie statyczne
. Obciążenie statyczne.. Obliczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności n = Σ ϕ + Σ = + = p ( ) Σ = w p + d u = 5 + 5 + 0 0 =. Schemat podstawowy metody przemieszczeń . Schemat odkształceń łańcucha
Bardziej szczegółowo1. METODA PRZEMIESZCZEŃ
.. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:
Bardziej szczegółowoPodpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są
PODPORY SPRĘŻYSTE Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich
Bardziej szczegółowo3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE
Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którą wcześniej już poznaliśmy
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:
1. Metor Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów: węzeł 1 x=[0.000][m], y=[0.000][m] węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m] węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI LINIE WPŁYWU BELKI CIĄGŁEJ
Zadanie 6 1. Narysować linie wpływu wszystkich reakcji i momentów podporowych oraz momentu i siły tnącej w przekroju - dla belki. 2. Obliczyć rzędne na wszystkich liniach wpływu w czterech punktach: 1)
Bardziej szczegółowo2kN/m Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeń dobieram wstępne przekroje prętów.
2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopień statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 3. Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.
Ewa Kloczkowska, KBI 1, rok akademicki 006/007 Ćwiczenie nr 3 Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Dla układu prętowego przedstawionego na rysunku naleŝy: 1) Obliczyć i wykonać wykresy
Bardziej szczegółowoObliczanie układów statycznie niewyznaczalnych. metodą sił
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład echaniki Budowli Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Rama Dla układu pokazanego poniŝej naleŝy: - Oblicz i wykonać
Bardziej szczegółowoMechanika i Budowa Maszyn
Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Bardziej szczegółowoNarysować wykresy momentów i sił tnących w belce jak na rysunku. 3ql
Narysować wykresy momentów i sił tnących w belce jak na rysunku. q l Określamy stopień statycznej niewyznaczalności: n s = r - 3 - p = 5-3 - 0 = 2 Przyjmujemy schemat podstawowy: X 2 X Zakładamy do obliczeń,
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] 2. Ustalenie stopnia statycznej
Bardziej szczegółowoWIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,
Bardziej szczegółowo{H B= 6 kn. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM.
Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM. Niezależnie od sposobu rozwiązywania zadania, zacząć należy od zastąpienia podpór reakcjami. Na czas obliczania reakcji można zastąpić obciążenie ciągłe
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie ramy statyczne niewyznaczalnej Metodą Sił
Rozwiązywanie ramy statyczne niewyznaczalnej Metodą Sił Polecenie: Narysuj wykres sił wewnętrznych w ramie. Zadanie rozwiąż metodą sił. PkN MkNm EJ q kn/m EJ EJ Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności
Bardziej szczegółowo13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym
Bardziej szczegółowoPrzykłady (twierdzenie A. Castigliano)
23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],
Bardziej szczegółowoPROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3
ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE A) o trzech reakcjach podporowych N=3 B) o liczbie większej niż 3 - reakcjach podporowych N>3 A) wyznaczanie reakcji z równań
Bardziej szczegółowo1. Silos Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu ...
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu... Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] Strona:1 2. Ustalenie stopnia
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl
MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : pok. 5, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady,
Bardziej szczegółowoKatedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI
Katedra Mechaniki Konstrukcji Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Politechniki Białostockiej... (imię i nazwisko)... (grupa, semestr, rok akademicki) ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR Z MECHANIKI BUDOWLI
Bardziej szczegółowoZgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeo dobieram wstępne przekroje prętów.
2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 3 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopieo statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA
POLECHNA POZNAŃSA WYDZAŁ BUDOWNCWA NŻYNER ŚRODOWSA NSYU ONSRUCJ BUDOWLANYCH ZAŁAD ECHAN BUDOWL OBLCZANE RA EODĄ PRZEESZCZEŃ WERSJA OPUEROWA Ćwiczenie projektowe nr z echani budowli Wykonał: aciej BYCZYŃS
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoUwaga: Linie wpływu w trzech prętach.
Zestaw nr 1 Imię i nazwisko zadanie 1 2 3 4 5 6 7 Razem punkty Zad.1 (5p.). Narysować wykresy linii wpływu sił wewnętrznych w przekrojach K i L oraz reakcji w podporze R. Zad.2 (5p.). Narysować i napisać
Bardziej szczegółowoSTATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:
adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 4
Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa
Bardziej szczegółowoMetody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii
Metody energetyczne Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii dv 1 N dx Ndu EA dv dv S 1 M dx M sdϕ GI 1 M gdx M gdϑ EI S Energia sprężysta układu prętowego
Bardziej szczegółowo7. WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH
7. WYZNCZNIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W ELKCH Zadanie 7.1 Dla belki jak na rysunku 7.1.1 ułożyć równania sił wewnętrznych i sporządzić ich wykresy. Dane: q, a, M =. Rys.7.1.1 Rys.7.1. W zależności od rodzaju podpór
Bardziej szczegółowoSiły wewnętrzne - związki różniczkowe
Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
Bardziej szczegółowo3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ
3. ÓWNOWG PŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Zadanie 3. elka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie zaś w punkcie spoczywa na podporze przegubowej ruchomej, rysunek 3... by belka była statycznie wyznaczalna w punkcie
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński
Wytrzymałość materiałów ćwiczenia projektowe 5. Projekt numer 5 przykład 5.. Temat projektu Na rysunku 5.a przedstawiono belkę swobodnie podpartą wykorzystywaną w projekcie numer 5 z wytrzymałości materiałów.
Bardziej szczegółowoObliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz Konsultacje: dr inż. Przemysław Litewka Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Bardziej szczegółowoRysunek Łuk trójprzegubowy, kołowy, obciążony ciężarem własnym na prawym odcinku łuku..
rzykład 10.. Łuk obciążony ciężarem przęsła. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, którego oś ma kształt części półokręgu. Łuk obciążony jest ciężarem własnym. Zakładamy, że prawe przęsło łuku jest nieporównanie
Bardziej szczegółowoMECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH
ECHANIKA I WYTRZYAŁOŚĆ ATERIAŁÓW - OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH ZAD. 1. OBLICZYĆ SIŁY TNĄCE ORAZ OENTY ZGINAJĄCE W BELCE ORAZ NARYSOWAĆ WYKRESY TYCH SIŁ Wyznaczamy siły reakcji. Obciążenie ciągłe
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17
Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1 MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17 Część 1 analiza kinematyczna układów płaskich Przeprowadzić analizę kinematyczną układu. Odpowiednią
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński
r inż. Janusz ębiński Mechanika teoretyczna zastosowanie metody prac wirtualnych 1. Metoda prac wirtualnych zadanie 1 1.1. Zadanie 1 Na rysunku 1.1 przedstawiono belkę złożoną z pionowym prętem F, na którą
Bardziej szczegółowoSPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM
LINIE WŁYWU przykład sposób kinematyczny SORZĄDZNIE LINII WŁYWU WIELKOŚCI STTYCZNYCH SOSOBEM KINEMTYCZNYM Sposób kinematyczny sporządzania linii wpływu wielkości statycznych polega na wykorzystaniu twierdzenia
Bardziej szczegółowoProjekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 1 Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej
Bardziej szczegółowoZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH
ZGINNIE PŁSKIE EEK PROSTYCH WYKRESY SIŁ POPRZECZNYCH I OENTÓW ZGINJĄCYCH Zginanie płaskie: wszystkie siły zewnętrzne czynne (obciążenia) i bierne (reakcje) leżą w jednej wspólnej płaszczyźnie przechodzącej
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.
Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład
Bardziej szczegółowoPrzykład 9.2. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w fundamencie
rzykład 9.. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w undamencie Wyznaczyć wartość krytyczną siły obciążającej głowicę słupa, dla słupa przebiegającego w sposób ciągły przez dwie kondygnacje budynku.
Bardziej szczegółowoZ1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 1 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 Z1/7.1 Zadanie 3 Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/7.1. Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych
Bardziej szczegółowoZ1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o wzajemności
Twierdzenia o wzajemności Praca - definicja Praca iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły. L S r r F( s) o ds r F( s) cos ( α ) ds F
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, email: weber@zut.edu.pl
MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 227, email: weber@zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 1989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady, PWN,
Bardziej szczegółowoZ1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1
05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 1 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 Z1/1.1 Zadanie 1 Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/1.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka
Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 6 Temat ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoPrzykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami
Przykład.. eka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Narysować wykresy sił przekrojowych da poniższej beki. α Rozwiązanie Rozwiązywanie zadania rozpocząć naeży od oznaczenia punktów charakterystycznych, składowych
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli LINIE WPŁYWOWE SIŁ W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli ĆWICZENIE nr 1 LINIE WPŁYWOWE SIŁ W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH Prowadzący: mgr inż. A. Kaczor STUDIUM ZAOCZNE, II
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium
Bardziej szczegółowoM10. Własności funkcji liniowej
M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych
ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych bez pisania funkcji Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu domniemany globalny układ współrzędnych ze zwrotem osi jak na rysunku (nawet jeśli
Bardziej szczegółowoDRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH
Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza
Bardziej szczegółowoPrzykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 1
Przykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 Schemat analizowanej ramy Analizy wpływu imperfekcji globalnych oraz lokalnych, a także efektów drugiego rzędu
Bardziej szczegółowoWyznaczenie reakcji belki statycznie niewyznaczalnej
Wyznaczenie reakcji belki statycznie niewyznaczalnej Opracował : dr inż. Konrad Konowalski Szczecin 2015 r *) opracowano na podstawie skryptu [1] 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest sprawdzenie doświadczalne
Bardziej szczegółowoPODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE
PODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE Podstawy statyki budowli: Pojęcia podstawowe Model matematyczny, w odniesieniu do konstrukcji budowlanej, opisuje ją za pomocą zmiennych. Wartości zmiennych
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoZginanie proste belek
Zginanie belki występuje w przypadku obciążenia działającego prostopadle do osi belki Zginanie proste występuje w przypadku obciążenia działającego w płaszczyźnie głównej zx Siły przekrojowe w belkach
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych
Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m
Bardziej szczegółowoBELKI GERBERA WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW. n s = R P 3 gdzie: - R liczba reakcji, - P liczba przegubów, - 3 liczba równań równowagi na płaszczyźnie.
Są to belki ciągłe przegubowe i należą do układów statycznie wyznaczalnych (zatem n s = 0). Przykładowy schemat: A ELKI GERERA V V Wyznaczenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu: n s = R P 3 gdzie:
Bardziej szczegółowoTreść ćwiczenia T6: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Instrukcja przygotowania i realizacji scenariusza dotyczącego ćwiczenia 6 z przedmiotu "Wytrzymałość materiałów", przeznaczona dla studentów II roku studiów stacjonarnych I stopnia w kierunku Energetyka
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowo1. Projekt techniczny Podciągu
1. Projekt techniczny Podciągu Podciąg jako belka teowa stanowi bezpośrednie podparcie dla żeber. Jest to główny element stropu najczęściej ślinie bądź średnio obciążony ciężarem własnym oraz reakcjami
Bardziej szczegółowoOlga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWLI 1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, ichał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 00/003 ECHANIKA UDOWLI WSTĘP. echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej, zajmujący się statyką, statecznością
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowo15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoWyznaczenie reakcji w Belkach Gerbera
Wyznaczenie reakcji w elkach erbera Sposób obliczania: by policzyć elkę erbera w najprostszy sposób dzielimy ją w przegubach uzyskując pojedyncze belki by móc policzyć konstrukcję, belki powstałe po podziale
Bardziej szczegółowoWykład nr 2: Obliczanie ramy przesuwnej metodą przemieszczeń
Mechanika Budowli 2 sem. IV N1 Wykład nr 2: Obliczanie ramy przesuwnej metodą przemieszczeń Mechanika Budowli 2 sem. IV N1 Treści Programowe: 1. Metoda przemieszczeń układy nieprzesuwne 2. Metoda przemieszczeń
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Kratownica 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Strona:1
1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek konieczny geometrycznej
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowo2ql [cm] Przykład Obliczenie wartości obciażenia granicznego układu belkowo-słupowego
Przykład 10.. Obiczenie wartości obciażenia granicznego układu bekowo-słupowego Obiczyć wartość obciążenia granicznego gr działającego na poniższy układ. 1 1 σ p = 00 MPa = m 1-1 - - 1 8 1 [cm] Do obiczeń
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoPROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Dla zadanego układu należy 1) Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W POWŁOKACH ZBIORNIKÓW OSIOWO SYMETRYCZNYCH
OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W POWŁOKACH ZBIORNIKÓW OSIOWO SYMETRYCZNYCH Sporządził: Bartosz Pregłowski Grupa : II Rok akadem: 2004/2005 OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W POWŁOKACH ZBIORNIKÓW OSIOWO SYMETRYCZNYCH
Bardziej szczegółowoZbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania
Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać
Bardziej szczegółowoSKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH
KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami
Bardziej szczegółowoZadanie: Narysuj wykres sił normalnych dla zadanej kratownicy i policz przemieszczenie poziome węzła G. Zadanie rozwiąż metodą sił.
Zadanie: Narysuj wykres sił normalnych dla zadanej kratownicy i policz przemieszczenie poziome węzła. Zadanie rozwiąż metodą sił. P= 2kN P= 2kN Stopień statycznej niewyznaczalności: n s l r l pr 2 w 6
Bardziej szczegółowoObliczanie sił wewnętrznych w powłokach zbiorników osiowo symetrycznych
Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 3 Obliczanie sił wewnętrznych w powłokach zbiorników osiowo symetrycznych Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki
Bardziej szczegółowoKrótko, co nas czeka na zajęciach. Jak realizujemy projekty. Jak je zaliczamy. Nieobecności Wykład nr 1
O czym dzisiaj Krótko, co nas czeka na zajęciach. Jak realizujemy projekty. Jak je zaliczamy. Nieobecności Wykład nr Co nas czeka na zajęciach Spis ćwiczeń projektowych: Wyznaczanie wykresów sił wewnętrznych
Bardziej szczegółowo5.1. Kratownice płaskie
.. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.
Bardziej szczegółowo1. ANALIZA BELEK I RAM PŁASKICH
5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1.1 naliza kinematyczna podstawowe definicje Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej belek i ram płaskich jest tarcza sztywna. Jest
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowo