ELEMENTY MECHANIKI TECHNICZNEJ, STATYKI I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

Transkrypt

1 D o u ż t k u w e w n ę t r z n e g o Katedra Inżnierii i Aparatur Przemsłu Spożwczego LMNTY MCHANIKI TCHNICZNJ, STATYKI I WYTRZYMAŁOŚĆ MATRIAŁÓW Ćwiczenia projektowe Opracowanie: Maciej Kabziński Kraków, 05

2 SIŁY Siłą nazwa się wielkość fizczną charakterzującą oddziałwania międz ciałami. Jednostką sił w układzie SI jest niuton [N], ponadto w wielu obszarach techniki korzsta się z jednostki kilogram-siła [kg] (inne oznaczenie: kgf), która bła jednostką podstawową ciężarowego układu jednostek. Zależności międz niutonem a kilogramem-siłą przedstawiają się następująco: kg m N 0,097 kg s kg 9,80665N Siła jest wielkością wektorową, zatem do jej opisu, oprócz podania wartości, niezbędne jest określenie kierunku i zwrotu oddziałwania. Kierunek działania sił związan jest z położeniem linii działania sił (stanowiącej przedłużenie wektora sił) względem osi układu współrzędnch. Zwrot sił jest zależn od skierowania wierzchołka wektora sił względem poszczególnch osi układu współrzędnch. I tak, sił skierowane zgodnie ze zwrotem danej osi układu współrzędnch uznajem za dodatnie, zaś te, skierowane przeciwnie za ujemne (rs. ). W zapisie wektorowm kierunek działania sił zgodn z kierunkiem osi oznacza się jako î, natomiast zgodn z kierunkiem osi jako ĵ (rs. ). Rs.. Wektorow zapis sił w układzie płaskim. Sił mogą również nie bć położone równolegle do jednej z osi układu współrzędnch. Ab opisać taką siłę, należ rozłożć ją na sił składowe. Rozkładanie sił (wznaczanie wartości sił składowch) położonch pod pewnm kątem względem osi polega na mnożeniu wartości sił przez funkcje trgonometrczne tego kąta, z wkorzstaniem twierdzenia Pitagorasa. I tak, w przpadku kątów przległch do rozpatrwanej osi wkorzstuje się cosinus kąta, natomiast dla kątów naprzeciwległch sinus, co zobrazowano na rs..

3 α α sin cos c b c a Rs.. Rozkładanie sił położonch pod kątem do osi. Kolejnm zagadnieniem jest otrzmwanie sił wpadkowej prz znanch siłach składowch (składanie sił). W tm wpadku wgodnie jest posługiwać się metodą opartą na twierdzeniu Pitagorasa do wznaczenia wartości sił, natomiast kierunek i zwrot sił znajduje się za pomocą metod równoległoboku (rs. ). Postaci wektorów sił: w w + + Np. w 0 î +0 ĵ N Wartości sił wpadkowch: cos w w α Rs.. Składanie sił ( w, w - wartość sił wpadkowej). MOMNT SIŁY Momentem sił jest ilocznem wektorowm sił i ramienia (rs. ) jej działania względem określonego punktu bądź osi: _ r M A

4 Rs.. Graficzna ilustracja momentu sił. Moment tworzą sił lub ich składowe położone prostopadle do linii oznaczonej na rs.. jako r. Sił położone równolegle do tej linii nie tworzą momentów. Jednostką momentu jest niutonometr [Nm]. Moment sił jest jednostką wektorową, zatem należ (oprócz podania wartości) określić jego zwrot. Zwrot momentu określa się za pomocą odniesienia do ruchu wskazówek zegara. Najczęściej, za moment ujemne uznaje się moment pochodzące od sił powodującch obrót ciała zgodn z ruchem wskazówek zegara, natomiast za dodatnie działające w kierunku przeciwnm. RÓWNOWAGA SIŁ W UKŁADACH PŁASKICH UKŁADY ZIŻN Układ sił, którch sił leżą w jednej płaszczźnie nazwa się układami płaskimi. Układami zbieżnmi, z kolei, nazwa się takie ciała lub zbior ciał, w którch sił działające lub ich linie oddziałwania zbiegają się w jednm punkcie. Układ sił zbieżnch pozostaje w równowadze, jeżeli suma wszstkich jest równa zero, zgodnie z zasadą bezwładności: jeżeli na ciało nie działa żadna siła, lub działające na ciało sił wzajemnie się równoważą, to ciało pozostaje w spocznku lub porusza się ruchem jednostajnm prostoliniowm, co można zapisać: 0 Przkładem układu zbieżnego może bć stalowa kula o masie m5kg, podwieszona na wiotkich linach, przedstawion na rs. 5a (lina A położona jest kątem α0 względem płaszczzn pionowej). Przkład ten zostanie rozważon dla wznaczenia napięcia w linach, powstałego wskutek działania sił zewnętrznej (sił ciężkości). Rs. 5. Sił działające na przkładow układ zbieżn kula podwieszona na linach.

5 Układ ten przedstawiono w formie uproszczonej na rs. 5b., zastępując jego element odpowiednimi siłami (tzw. uwolnienie ciała od więzów ). Masa kuli wwołuje siłę ciężkości Q, co skutkuje powstaniem sił reakcji w linach A i AC (oznaczone na rs. 5b jako sił: P i S). Równania równowagi sił tego układu dla osi i są następujące: P + S sin sα 0 S cosα Q 0 Wstępująca w powższm równaniu siła ciężkości wnosi: m Q mg 5kg 9,8 9, 05N s Następnie, na podstawie powższch równań, można znaleźć wartości sił P i S: Q S 55,6N cosα P S sinα 7,68N (Wartość sił S wznaczono przez przekształcenie równania na sumę sił dla osi, natomiast wartość sił P poprzez przekształcenie równania na sumę sił dla osi i podstawienie uprzednio wznaczonej wartości sił S do tego równania.) RÓWNOWAGA SIŁ W UKŁADACH PŁASKICH LKI Do jednch z najbardziej rozpowszechnionch płaskich układów sił należą belki proste. W skład takiego układu wchodzą belki oraz podpor. Podparcia belek (podpor) mogą mieć różną konstrukcję najczęściej spotka się rodzaje podpór: podpor przegubowe stałe oraz podpor przegubowe ruchome. Niekied stosowane są również utwierdzenia całkowite. Obciążenie belki siłami zewnętrznmi wwołuje powstanie w układzie sił reakcji. Oddziałwania te powstają w punktach, w którch dochodzi do zablokowania ruchu belki w punktach podparcia. Ilość sił reakcji zależ od rodzaju podpor. I tak, zastosowanie podpor stałej przegubowej skutkuje pojawieniem się reakcji, którą można zapisać w postaci składowej poziomej i pionowej (rs. 6a), wskutek uniemożliwienia ruchu belki w tch dwóch kierunkach. Natomiast, w przpadku podpor ruchomej przegubowej (rs. 6b), wstępuje włącznie jedna reakcja, skierowana prostopadle do płaszczzn, na której umieszczona jest podpora. rak drugiej sił reakcji jest związan z kompensacją obciążeń poprzez możliwość ruchu podpor w kierunku równoległm do płaszczzn, na której umieszczono podporę ruchomą. Rs. 6. Reakcje podpór b) podpora przegubowa stała, podpora przegubowa ruchoma. 5

6 Równowagę belek prostch opisują równania równowagi: rzutów sił dla osi, rzutów sił dla osi oraz momentów sił dla obranego punktu. Zagadnienie to zostanie omówione na przkładzie podanm poniżej. Dana jest belka (rs. 7) o długości a. elka ta podparta jest w punkcie A na podporze stałej przegubowej, natomiast w punkcie na podporze ruchomej przegubowej, położonej pod kątem α. Na przedstawion układ działają dwie znane sił zewnętrzne P i P. Rs. 7. elka obciążona siłami zewnętrznmi. W pierwszej kolejności, wgodnie jest przersować układ uwolnion od więzów, to jest pozbawion elementów podtrzmującch. W miejsce więzów należ wrsować odpowiadające im sił reakcji, co podano na rs. 8. Rs. 8. Schemat belki pozbawionej więzów, uzupełnion o sił reakcji. Następnie wznacza się równania równowagi: P R P cosα R sinα 0 P M R A A + P sinα P P sinα a P A + R a + R cosα 0 cosα a 0 Na podstawie równań równowagi można obliczć nieznane sił reakcji R A,R A,R. Wartość sił R wznaczć można z równania na sumę momentów sił względem punktu A (M A ). Następnie podstawiając do równania na sumę rzutów sił dla osi (P uzskaną wartość R można wznaczć wartość reakcji R A, a wartość sił R A podstawiając otrzmane R do równania na sumę rzutów sił dla osi (P ): 6

7 R R R A A P P P sinα a + P cosα a cosα R sinα + P a sinα R cosα P sinα + P cosα P cosα P sinα + P ( P + P ) ( P + P ) tgα sinα tgα ( P + P ) tgα cosα ZGINANI LK PROSTYCH Analiza układów belkowch pod kątem zginania stanowi jedną z podstawowch analiz wtrzmałościowch mechaniki technicznej. Składa się ona z wznaczenia równań równowagi sił (względem poszczególnch osi) i momentów działającch na belkę oraz wznaczenia wartości sił tnącch i momentów gnącch działającch w poszczególnch przedziałach (przedziałami belki są jej fragment oddzielone punktami charakterstcznmi, np. miejsca zainstalowania podpór, przegubów, działania sił, momentów itp.). Siłami tnącmi (T) nazwa się sił lub ich składowe działające prostopadle do przekroju poprzecznego belki (tj. prostopadle względem długości belki). Siłę tnącą w danm przedziale belki stanowi suma rzutów sił po jednej stronie granic przedziału. Momentem gnącm (M g ) nazwa się iloczn sił lub jej składowej i odległości od danego punktu odniesienia dążącch do wgięcia belki. Moment gnąc w dowolnm przekroju poprzecznm belki jest równ składowej stcznej wektora momentu wszstkich sił działającch po jednej stronie przekroju względem jego środka ciężkości. Analiza zginania belki prostej przedstawiona zostanie na przkładzie układu obciążonego siłą o wartości P (rs. 9). Długość belki wnosi a. Na rsunku umieszczono ponadto rzut reakcji podpór. Rs. 9. Dane do przkładu na obliczanie sił tnącch i momentów gnącch. Równania równowagi układu są następujące: P R 0 P M R A A A P + R P a + R 0 a 0 Na podstawie powższch równań obliczono wartości sił reakcji: Pa R P a RA P R P 7

8 W celu dokonania analiz, dzielim belkę na przedział. Granice przedziałów przedstawiono w kolumnie II w poniższej tabeli. Następnie określam wartość sił tnącej w przedziałach, sumując rzut sił prostopadłch do belki (kolumna III tabeli). Należ zauważć, że sił umiejscowionch w prawej granic przedziału nie uwzględnia się. Dalej, wkonuje się identfikację momentów gnącch w przedziałach, mnożąc postaci sił tnącej przez parametr długościow belki (kolumna IV tabeli). Podstawiając uzskane wżej wartości sił reakcji do równań w kolumnach III i IV tabeli uzskuje się rzeczwiste wartości sił tnącej i momentu gnącego dla belki, co zapisano w kolumnie V tabeli. Następnie przstępujem do określenia przedziałów belki, wznaczenia wartości sił tnącej oraz momentu gnącego. Działania te zostaną zapisane w poniższej tabeli. Tabela. Wartości sił tnącch i momentów gnącch w przedziałach belki. I II III IV V Nr Granice przedziału Siła tnąca T 0 a R A P a a R A P P R A Obliczenia Moment gnąc M g i T M g 0 P 0 R A P a P Pa P ( a) P P ( a) P a a P Pa P 0 Po wkonaniu obliczeń w tabeli, na jej podstawie, sporządza się wkres T() i M g () (rs. 0.), będące graficznm przedstawieniem wartości sił tnącej i momentu gnącego w odniesieniu do całej długości belki: Rs. 0. Wkres sił tnącch i momentów gnącch dla belki. 8

9 Oprócz wstępowania obciążeń w postaci sił skupionch, konstrukcje mechaniczne mogą bć obciążone w sposób ciągł. Na rs.. przedstawiono schemat belki z obciążeniem ciągłm, o wartości q, wstępującm na długości a. Równania równowagi belki są następujące: R 0 R A A q a + R 0 Rs.. elka z obciążeniem ciągłm. M A q a a + R a 0 W równaniach na sumę rzutów sił dla danej osi, obciążenia ciągłe przedstawia się jako iloczn wartości obciążenia i długości na jakiej ono wstępuje. Z kolei, w równaniu na sumę momentów sił, moment pochodząc od obciążenia ciągłego odnosi się do promienia stanowiącego centraln punkt obciążenia. Na podstawie powższch równań wznaczono wartości sił reakcji podpór: R R A Następnie, podzielono belkę na przedział i wznaczono wartości sił tnącch i momentów gnącch w punktach charakterstcznch przedziałów (tabela ). W przpadku obciążeń ciągłch, należ uwzględnić zmienność wartości sił tnącej i momentu gnącego w dowolnm punkcie przedziału. Ponadto, ab sporządzić wkres momentu gnącego, wmagana jest znajomość trzech punktów w przedziale, gdzie wstępuje obciążenie ciągłe. W opiswanm przpadku, trzecim punktem drugiego przedziału jest miejsce zerowe funkcji T(). W celu określenia położenia tego punktu, należ przrównać do zera równanie sił tnącej w tm przedziale: q a 0 R A ( ) q + 0 co, po przekształceniu, daje trzeci punkt charakterstczn - miejsce zerowe funkcji T(): 5 a 9

10 Tabela. Wartości sił tnącch i momentów gnącch w przedziałach belki obciążonej w sposób ciągł. Granice Siła tnąca Obliczenia Nr Moment gnąc M przedziału T g i T M g a 0 A a a R R A q ( a) ( a) R A R A q 0 a a 5 a a Wniki obliczeń z tabeli został przedstawione graficznie, w formie wkresu, widocznego poniżej. LITRATURA. Kurowski R., Lejko J., Szmelter J. (970): Zbiór zadań z mechaniki. Część I: Statka. Państwowe Wdawnictwo Naukowe, Warszawa.. Misiak J. (0): Mechanika techniczna. Tom I: Statka i wtrzmałość materiałów. Wdawnictwo WNT, Warszawa. Polecana witrna internetowa: Mechanika techniczna 0