Zginanie ze ściskaniem

Transkrypt

1 Zginanie ze ściskaniem sformułoanie probemu przkład roziązań przkład obiczenioe Sformułoanie probemu W probemach tego tpu nie można stosoać zasad zesztnienia - konstrukcję naeż rozpatrać konfiguracji odkształconej (aktuanej) której idać że działanie sił zaeż od działania obciążenia poprzecznego Innmi sło nie są to działania niezaeżne W daszm ciągu naszch rozażań zakładać będziem że oboiązują ziązki Hooke'a Stąd rónanie ugiętej osi beki: EJ ' '( M ( Moment zginając jest sumą momentu pochodzącego od zginania obciążeniem poprzecznm oraz momentu pochodzącego od sił ściskającej (z definicji moment są addtne; nie jest to superpozcja gdż sumoanie dotcz konfiguracji odkształconej): a ięc rónanie ugięcia ma postać: M ( ( + ( EJ ''( x ) ( x ) M ( x + ) a podstaiając k EJ otrzmujem niejednorodne rónanie Euera: M ''( + k ( EJ którego roziązaniem jest suma całki ogónej rónania jednorodnego i całki szczegónej rónania niejednorodnego rzkład roziązań rzkład 1 q q q

2 Całka ogóna rónania niejednorodnego róna jest sumie całki ogónej rónania jednorodnego oraz całki szczegónej rónania niejednorodnego (znaezionej metodą przeidania): q q q ( + x k Asin kx + B cos kx x Stałe A i B znajdujem z kinematcznch arunkó brzegoch: otrzmując ostatecznie ugięcie róne: ( ) ( ) q 1 cos k q q ( + x k sin k sin kx cos kx 1 x + a stosunek ugięcia do ugięcia beki jednie z obciążeniem poprzecznm nosi: q 1 cosk k k q sin + cos 1 ( ) k sin k 8 4 ( ) 5 q 84 EJ EJ odstaiając rażenie E mam: 1 cosk k k ( k) sin + cos 1 sin k ( k) 84 f ( k) gdzie k E E jest tz siłą eueroską ie jest to siła krtczna gdż nie rozażam utrat stateczności onadto e zorze jest J zamiast J min f 6 4 /e Jak idać przrost ugięć zaeż od przrostu sił ściskającej a nie zaeż od iekości obciążenia poprzecznego (starcz że istnieje) Innmi sło obecność obciążenia poprzecznego nie pła na artość krtczną sił ściskającej Moment zginając podobnie jak i ugięcia beki rośnie szbko pobiżu sił rónej sie eueroskiej Identczn nik otrzmuje się da rażenia k 1 cos q ( ) k 8 k cos

3 uzskanego po korzstaniu arunkó brzegoch () (/) (smetria roziązania) rzkład beka obciążona siłą środku Ze zgędu na smetrię ograniczam się do < x < / Da M ( x + ( rónanie Euera przjmuje postać: ''( + k ( x EJ gdzie k EJ Całka ogóna rónania niejednorodnego zaiera stałe które znaczam z arunkó brzegoch: otrzmując: () (/) k sin ( sin kx x k sin k a strzałka ugięcia stosunku do ugięcia pochodzącego jednie od obciążenia poprzecznego raża się: k tgu u tgu u f ( / ) ( u) f o 48EJ u u odobnie jak poprzednim przkładzie ugięcia beki rosną niebezpiecznie szbko pobiżu sił eueroskiej której sama artość nie zaeż od obciążenia poprzecznego (starcz że istnieje) Fakt ten uzgędniam przjmując odpoiedni spółcznnik bezpieczeństa da sił ściskającej Maksman moment zginając raża się: M tgu tgu gdzie 4 u u rzkład obiczenio k u Zaprojektoać przekrój prostokątn beki b h d d obciążonej środku przęsła 4 m siłą k ściskanej siłą 1 k jeśi R 16 Ma E Ga aprężenia normane: M tgu 6 σ x + + R W F 4 u 4d d E gdzie u L Ed 17/ E 4 d

4 Roziązując numercznie nieróność otrzmujem: d 65 m F 77 cm J 8948 cm 4 J z 7 cm 4 W 1478 cm e 11 M ez 76 k (obie sił> ) σ x 16 Ma M 164 km f 164 cm Inn sposób roziązania metodą kookacji poega na przjęciu funkcji ugięcia postaci: x ( a sin spełniającej kinematczne arunki brzegoe oraz zażądaniu zgodności roziązania aproksmoanego z roziązaniem ścisłm jednm dodatkom przekroju: środku rozpiętości beki Jest ięc: x x x ' '( asin EJ asin ( + asin a po przekształceniach da x /: oraz: a 4 EJ 1 48EJ 1 1 E 1 a ( / ) f asin / a spr 1 1 odstaiając otrzmane rażenia do zoru na naprężenia otrzmujem z roziązania numercznego: d 68 m F 794 cm J 911 cm 4 J z 78 cm 4 W 1499 cm e 11 M ez 81 k (obie sił> ) x 16 Ma M 195 km f 195 cm rzkład 4 beka obciążona siłą przęśe E c -c ( c) Tok postępoania jest podobn do tego z przkładu ie możem jednak skorzstać z arunku smetrii zadania: roziązanie znajdujem każdm przedziae osobno Rónania momentó: całki szczegóne da ugięć: a same ugięcia: c (1) c () c c M x M x ( x c) ( (1) s ( c) () c x s (

5 ( c) 1 ( A1 sin kx + B1 cos kx x c ( A sin kx + B cos kx ( o podstaieniu do arunkó brzegoch i zgodności: otrzmujem po ieu przekształceniach: Wobec tego moment zginające będą róne: 1( ) ( ) 1 ( c) ( c) 1 '( c) '( c) sin k( c) c 1 ( sin kx x k sin k L sin kcsin k( pc ( ( k sin k sin k( c) M1 ( sin kc sin kx M ( sin k( k sin k k sin k Maksmane ugięcia stąpią przekroju: a) jeśi b) jeśi c > : c < : 1 c sin k x arccos ( x < c) k sin k( c) 1 c sin k x arccos ( x > c) k sin kc aeż zaznaczć że maksman moment zginając (i maksmane naprężenia normane) niekoniecznie stąpią przekroju maksmanch ugięć por rsunek poniżej gdzie ugięcia poiększone został 5-krotnie