Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej

Transkrypt

1 Prof. Mieczysław Kuczma Poznań, styczeń 215 Zakład Mechaniki Budowli, PP Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej (Przykład liczbowy) Zacznijmy od zdefiniowania pojęcia linii wpływu (używa się też pojęcia linii wpływowej ). Linia wpływu lw W α jest to zależność funkcyjna, która określa wartość wielkości W w ustalonym miejscu α danej konstrukcji zależnie od miejsca położenia x jednostkowego obciążenia P = 1 (lub M = 1), tzn. lw W α W α (x) (1) Przykład. Wyznaczyć linie wpływu: lw R, lw R B, lw M B, lw M α, lw T α w belce statycznie niewyznaczalnej pokazanej na rys. 1, która jest utwierdzona na prawym końcu B i podparta sprężyście na lewym końcu. Na rys. 1 b,c,d,e pokazano przyjęty układ podstawowy metody sił (UPMS), zwroty poszukiwanych wielkości, stan X 1 = 1 i odpowiadający mu wykres momentów M 1 oraz lw M α (o) w UPMS. Rysunek 1: (a) Belka 1-krotnie statycznie niewyznaczalna, n SSN = 1, o sprężyście podatnej podporze, obciążona jednostkową siłą P = 1 o zmiennym położeniu x; (b) UPMS, w którym moment na podporze B zastąpiono siłą nadliczbową X 1 (x) M B (x)

2 Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej 2 Rozwiązanie Dane: sztywność giętna belki EI = EI o = const., sztywność podpory, k = 1 1 EI o, długość belki l = 6 m, x α = 4 m, x α = l x α = 2 m. Wskutek zmiennego położenia x siły P = 1, poszukiwane wielkości w analizowanej belce zależą od x. Układ równań kanonicznych metody sił redukuje się w tym przypadku, n SSN = 1, do jednego równania δ 11 X 1 (x) + δ 1p (x) = (2) Z równania (2), uwzględniając oznaczenie (1), otrzymujemy ogólny wzór na linię wpływu siły nadliczbowej X 1 : lw X 1 X 1 (x) = δ 1p(x) δ 11 (3) Wielkość przemieszczenia δ 11 wywołanego stanem X 1 = 1, zob. rys. 1c, obliczymy wg znanego wzoru M 1 M 1 δ 11 = + RX 1=1 R X 1=1 (4) EI k Całkując sposobem Wereszczagina-Mohra, zob. wykres M 1 na rys. 1d, otrzymujemy δ 11 = 1 EI o EI 1 o = 41 18EI o (5) Przemieszczenie δ 1p (x), które jest funkcją przyłożenia x siły P = 1, obliczymy w dwojaki sposób. Sposób 1: Skorzystamy bezpośrednio ze wzoru definiującego δ 1p (x) = M 1 M (o) p EI + RX 1=1 W tym celu wykorzystamy wykresy przedstawione na rys. 2 R P (6) k Rysunek 2: Wykresy momentów gnących w UPMS: M p (o) M 1 wywołany siłą X 1 = 1 wywołany siłą P = 1, oraz

3 Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej 3 Całkę we wzorze (6) obliczymy sposobem Wereszczagina-Mohra, jak poniżej δ 1p (x) = x = 1 EI o = 1 EI o M 1 (ξ)m p (o) (x, ξ) dξ + EI [ x x x 2 3 x l + x x x 2l ) 2l ( 1 36 x x gdzie uwzględniliśmy, że x = l x. x M 1 (ξ)m p (o) (x, ξ) EI ( 2 3 x l dξ + RX 1=1 ) + R P k (7) ] 16 x l 1 (8) Sposób 2: Skorzystamy z twierdzenia Maxwella o wzajemności przemieszczeń, zgodnie z którym zachodzi równość δ 1p (x) = δ p1 (x) y(x) (1) gdzie y(x) oznacza ugięcie belki pod siłą P = 1 wywołane siłą X 1 = 1 (tutaj w UPMS). Ugięcie y(x) możemy obliczyć całkując różniczkowe równanie równowagi belki w stanie X 1 = 1. Kolejno otrzymujemy (9) EI o y = M(x) M 1 (x) = x l (11) EI o y = C x2 2l EI o y = D + Cx x3 6l Stałe całkowania C, D wyznaczymy z warunków brzegowych (podparcia) belki pokazanej na rys. 1c: x = : y = y = 5 3EI o D = 5 3 x = l = 6 : y = y B = C = Podstawiając wartości wartości D i C wg (14) i (15) oraz l = 6 do wzoru (13) otrzymujemy δ p1 (x) y(x) = 1 ( 1 EI o 36 x x + 5 ) (16) 3 czyli, zgodnie z oczekiwaniami, tę samą funkcję co dla δ 1p (x) wg wzoru (9). Teraz ze wzoru (3)mamy lw X 1 X 1 (x) = 1 82 Ponadto, dla przyjętego tu UPMS zachodzi lw M B lw X 1 = 1 82 (12) (13) (14) (15) ( x 3 26 x 6 ), dla x l = 6 (17) ( x 3 26 x 6 ), dla x l = 6 (18)

4 Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej 4 Ogólnie rzecz ujmując, gdy znamy wielkości nadliczbowe X i, i = 1... n, linię wpływu dowolonej wielkości w układzie statycznie niewyznaczalnym lw W α lw W α (n) obliczamy zgodnie ze wzorem (zasada superpozycji obowiązująca w układach liniowych): lw W α = lw W (o) α + lub wyrażając go explicite jako funkcję położenia x siły P = 1, gdzie W X i=1 α W α (x) = W (o) α (x) + n i=1 n i=1 W X i=1 α lw X i (19) W X i=1 α X i (x) (2) oznacza wartość wielkości W w miejscu α od X i = 1 w UPMS. W tym przykładzie wzór (19) dla poszukiwanych linii wpływu przyjmuje postać: Zgodnie z rys. 1 b,c,d, zachodzi lw R = lw R (o) + RX 1=1 lw X 1 (21) lw R B = lw R (o) B + RX 1=1 B lw X 1 (22) lw M α = lw M (o) α + M X 1=1 α lw X 1 (23) lw T α = lw T (o) α + T X 1=1 α lw X 1 (24) R X 1=1 = 1 6, RX 1=1 B = 1 6, M X 1=1 α = 2 3, T X 1=1 α = 1 6 (25) a linie wpływu w układzie statycznie wyznaczalnym określone są wzorami R (o) (x) = 1 x, dla x l, czyli P, B (26) l R (o) B (x) = x, dla x l, czyli P, B (27) l x α R (o) B (x), dla x x α, czyli P, α α (x) = x α R (o) (x), dla x (28) α x l, czyli P α, B M (o) α (x) = T (o) R (o) B (x), dla x < x α, czyli P, α) +R (o) (x), dla x α < x l, czyli P (α, B W szczególności dla linii wpływu reakcji na podporze w układzie rzeczywistym, lw R, zgodnie ze wzorami (21), (26), (25) 1 i (17), otrzymujemy lw R R (x) = 1 x ( x 3 26 x 6 ) 82 = 1 ( x 3 18 x ), dla x 6, czyli P, B (3) (29)

5 Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej 5 Podstawiając linie wływu wg wzorów (26) (29), współczynniki (25) i linię wpływu nadliczbowej X 1 wg (17) do formuł (21) (24), dochodzimy do końcowych wzorów na linie wpływu szukanych wielkości w układzie rzeczywistym lw R R (x) = 1 ( x 3 18 x ), dla x 6, czyli P, B (31) lw R B R B (x) = 1 ( x x + 6 ), dla x 6, czyli P, B (32) 4 ( x x 6 ), dla x 4, czyli P, α lw M α M α (x) = 4 ( x x ) (33), dla 4 x 6, czyli P α, B 1 ( x 3 18 x 6 ), dla x < 4, czyli P, α) lw T α T α (x) = 1 ( x 3 18 x ) (34), dla 4 < x 6, czyli P (α, B Wykresy linii wpływu wg wzorów (17), (31) (34) pokazują rys. 3 - rys. 7. Rysunek 3: Linia wpływu siły nadliczbowej X 1 M B, lw X 1 X 1 (x) Rysunek 4: Linia wpływu momentu zginającego w przekroju α α belki, lw M α M α (x)

6 Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej 6 Rysunek 5: Linia wpływu reakcji R na sprężyście podatnej podporze, lw R R (x) Rysunek 6: Linia wpływu reakcji R B na niepodatnej podporze B, lw R B R B (x) Rysunek 7: Linia wpływu siły tnącej w przekroju α α belki, lw T α T α (x) Uwagi i wnioski 1. Linie wpływu w układach statycznie niewyznaczalnych są funkcjami nieliniowymi, natomiast w układach statycznie wyznaczalnych są funkcjami odcinkowo-liniowymi. 2. Gdy siła P = P o zostanie przyłożona w miejscu x = x extr = m, to wywoła ekstremalny (ujemny) moment w utwierdzeniu na podporze B, który wg (18) wynosi ekstr M B = M B (x extr = 2.944) = 1.354P o (35)

7 Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej 7 3. Wskutek podatności podpory, reakcja R od siły P = 1 przyłożonej w pkt. jest mniejsza niż 1, a siła P = P o przyłożona w pkt. wywołuje ujemny moment zginający w przekroju α α belki lw R gdy P =1 w pkt. R (x=) = 432 < 1, M α(x=) = 3 41 P o (36) 4. Siła P = P o przyłożona w pkt. x = x = m nie wywołuje momentu zginającego w przekroju α α belki M α (x = 2.695) = (37) 5. Siła P = P o przyłożona w pkt. x = x α = 4 m wywołuje maksymalny moment zginający w przekroju α α belki max M α = M α (x α = 4) = P o (38) 6. Wartość wielkości W α wywołaną obciążeniem ciągłym belki q = q(x), działającym na odcinku x p x k, obliczamy całkując linię wpływu W α pomnożoną przez q (lub jak mówimy obciążoną przez q): W α = xk x p W α (x) q(x) dx (39) W szczególności, stałe obciążenie q = q o = const. rozłożone na całej długości belki wywoła w niej następujące siły i momenty: oraz R = R (x) q(x) dx = q o =6 1 ( x 3 18 x ) dx = q o (4) R B = q o, X 1 = q o, M α = 4 41 q o, T α = q o (41) Koniec przykładu