Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch 7. STATCNOŚĆ OSIOWO ŚCISKANYC ĘTÓW OSTYC 7.. Stateczność pręta zaesie inioo sprężstm. Jednm z podstaoch założeń przjętch na początku naszch rozażań bło to, że anaizoane przez nas konstrukcje znajdują się rónoadze trałej (inaczej statecznej) ae jak dotąd, prócz prostch objaśnień, nie został sformułoane żadne anaitczne arunki garantujące taką rónoagę ub jak poiem jęzku inżnierskim garantujące stateczność konstrukcji. Utrata stateczności konstrukcji jest zagadnieniem niezke ażnm i skompikoanm - i co ięcej - stanoi jedną z przczn stąpienia stanu anicznego nośności. Konieczność uzgędnienia utrat stateczności anaizie mechanicznej zachoania się konstrukcji dobitnie obrazuje następujące zadanie, którm naeż znaczć dopuszczaną sokość staoego pręta prostego o pou przeoju poprzecznego A cm, obciążonego tko ciężarem łasnm γ 78.5 kn/m, konanego ze stai o trzmałości obiczenioej prz ściskaniu c 5 Ma. Warunek stanu anicznego nośności ziązanego jednie z nie przeoczeniem trzmałości obiczenioej prz ściskaniu, daje niżej znaczoną, dopuszczaną sokość pręta 6 γ A c 5* c. 79* m. A γ 78. 5* Jest rzeczą oczistą, że nie ma możiości reaizacji konstrukcji o tch miarach z zachoaniem jej prostoinioego kształtu (jak to jest założone konanch obiczeniach) i jęzku inżnierskim poiem, że konstrukcja taka musi utracić soją stateczność. ajmiem się teraz podaniem anaitcznch arunkó zapenienia rónoagi statecznej da bardzo prostej konstrukcji, jaką jest osioo ściskan pręt przmatczn, konan z materiału o łasnościach fizcznch oeśonch praem ooke a. aczniem od prostego ideoego objaśnienia trzech postaci rónoagi jakich konstrukcja może się znajdoać. Jeżei po doonie małm cheniu z pierotnego położenia rónoagi ruch ciała jest taki, że chenia jego punktó nie są iększe tch początkoch to taką rónoagę nazam stateczną (trałą). I II s. 7. III W przecinm przpadku rónoaga jest niestateczna (nietrała, chiejna). Można jeszcze różnić szczegóne położenie rónoagi zane rónoagą obojętna której punkt ciała pozostają położeniu po cheniu. Opisaną stuację można zobrazoać traktując konstrukcję jako ciężką kukę różnch arunkach podparcia znajdującą się potencjanm pou sił (rs. 7.). ónoadze statecznej I odpoiada imum energii potencjanej układu, a rónoadze chiejnej III maksimum. W stanie rónoagi obojętnej II artość energii potencjanej prz doonie małm cheniu pozostaje stała. rzkład zięt z książki S.iechnik. Wtrzmałość Materiałó da Wdziałó Budoanch. WN 97.
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch 7.. Siła tczna agadnienie utrat stateczności ściskanego osioo pręta przmatcznego roziążem sposób podan przez L.uera 7 r. ozażm, pokazan na rs. 7., ściskan osioo siłą pręt przeguboo podpart na obu końcach, konan z materiału inioo sprężstego o modue Younga i nadajm mu s. 7. jakimś impusem poprzecznm doonie małe początkoe ugięcie płaszczźnie najmniejszej sztności zginania. Jeżei po usunięciu przczn ugięcia poróci on do sej początkoej prostoinioej postaci, oznacza to, że znajduje się rónoadze statecznej. otarzając rozumoanie raz ze ziększaniem artości sił dojdziem do stuacji, której pręt po usunięciu przczn początkoego ugięcia pozostanie zoinio (nie poróci do sej pierotnej prostoinioej form). Oznacza to, że tm razem pręt znajduje się stanie rónoagi obojętnej, a siłę, prz której to nastąpiło nazać będziem siłą tczną. Tak ięc: siła tczna to siła prz której osioo ściskan pręt znajduje się stanie rónoagi obojętnej. Wiczm tę siłę tczną. ónanie momentó zazionm pręcie prz obciążeniu siłą tczną ma postać: M, (7.) a rónanie różniczkoe jego ugiętej osi przjmuje formę: d dx M, (7.) z której otrzmujem rónanie różniczkoe iążące ugięcie z siłą tczną: d dx + x ( ) rzjmując oznaczenie: k zapiszem je postaci: d dx. (7.), (7.) + k x ( ) którego roziązaniem jest funkcja: Asin kx + B cos kx (x) J J, (7.5). (7.6) Stałe całkoania A oraz B znaczm z kinematcznch arunkó brzegoch: Y
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch ( ) oraz ( ). (7.7) iersz arunek daje B, natomiast drugi zaeżność Asin k, z której prz założeniu że A (rozażam pręt zazion, ięc rónocześnie nie może bć B i A ), dostajem: n sin k k, n,,,... Korzstając z (7.), da koejnch iczb naturanch otrzmujem: n,,, Asin x, n,,, Asin x, / / 9 n,,, Asin x, / / /..., co doodzi, że każdej artości sił tcznej odpoiada inna forma deformacji pręta, abo - inaczej - inna postać boczonego pręta, ae szstkie są sinusoidami. Jest rzeczą oczistą, że za siłę tczną uznam tę najmniejszą, odpoiadającą n. W tm miejscu arto zrócić uagę, że impus poprzeczn ołując to stępne zazienie potrzebn jest tko rozażaniach teoretcznch. W rzeczistości odstępsta od ideanch założeń, np. ideanej prostoinioości pręta, osioości przłożenia sił cz jednorodności materiału, same zasze spoodują boczenie pręta. Wniki anaiz prętó o innch arunkach podparcia pozaają napisać jednoit zór na siłę tczną, nazaną siłą tczną uera, postaci: gdzie:, (7.8) α, (7.9) nazam długością boczenioą. Wartości spółcznnika długości boczenioej α zaeżnego od arunkó podparcia podano na rs. 7.. α α α.7 α.5 α α s. 7.
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch 7.. Naprężenia tczne aes ażności zoru uera na siłę tczną jest oaniczon łasnościami fizcznmi materiału ściskanego pręta. onieaż materiał anaizoanego przez nas pręta bł z założenia materiałem inioo sprężstm to naprężenia normane pręcie nie mogą przeaczać - anic stosoaności praa ooke a (anic proporcjonaności). W ceu znaczenia zaesu stosoaności zoru (7.8) dokonam jego przekształcenia. Wpier podzieim obustronnie przez poe przeoju poprzecznego A A, A a następnie, definiując pojęcie naprężenia tcznego: σ A, (7.) i smukłości pręta: λ, (7.) i gdzie: i J / A - jest imanm promieniem bezładności przeoju poprzecznego, możem otrzmać zaeżność: σ (7.) λ której: σ oznacza naprężenie tczne uera. A Na esie zaeżności σ od λ (rs. 7.), esem funkcji ( λ) σ jest hiperboa, której zaes ażności jest oaniczon od gór, na osi rzędnch, artością. Odpoiadającą tej artości naprężeń tcznch σ, smukłość naziem smukłością aniczną i znaczm z arunku: λ λ. (7.) σ prosta Tetmajera-Jasińskiego e hiperboa uera λ λ
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch s. 7. atem zór uera jest ażn da smukłości λ i naprężenia tczne są opisane óczas przez hiperboę uera, a pręt pracuje zaesie inio sprężstm. W praktcznch zastosoaniach potrzebujem, jednak często, anaizoać utratę stateczności rónież zaesie nieinioo sprężstm i sprężsto pastcznm, da którch smukłość spełnia nieróność λ < λ. W stanach poza inioo sprężstch posługiać się będziem zaeżnościami ustaonmi empircznie, z którch najbardziej znanmi są, prosta Tetmajera-Jasińskiego oeśona zorem: T J σ a b λ, (7.) λ oraz paraboa Johnsona-Ostenfeda zdefinioana rónaniem: J O σ A B λ. (7.5) W obu poższch zaeżnościach a, b, A oraz B to stałe materiałoe. Aproksmacja zej teoretcznej prostą Tetmajera-Jasińskiego (patrz rs. 7.) zakłada, że da prętó,którch smukłość λ (prętó ępch) stan aniczn nośności osiągan jest przez upastcznienie a nie poprzez utratę stateczności i stąd stałe a i b e zorze znaczone są z arunkó : T J σ e da a e λ, T J σ da λ λ a bλ b e λ e, gdzie: e - raźna anica pastczności. atem ostatecznie naprężenie tczne edług Tetmajera-Jasińskiego można zapisać postaci zoru: σ T J e e λ. (7.6) 7.. Wmiaroanie osioo ściskanch prętó z uzgędnieniem utrat stateczności opranie zaprojektoan osioo ściskan pręt inien spełniać rónocześnie da, niezaeżne od siebie arunki stanu anicznego nośności tzn. bł trzmał i znajdoał się rónoadze statecznej. Warunki te magają ab siła obciążająca spełniała nieróności: * A c i, gdzie: A to poe przeoju poprzecznego pręta. W praktce inżnierskiej prz projektoaniu konstrukcji staoch korzstam z jednego arunku, stępującego oskich Normach Budoanch, spełniającego rónocześnie oba te teria. Warunek ten można otrzmać chodząc z nieróności zapeniającej rónoagę stateczną : ( λ) A σ. (7.7) 5
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch Utożsamiając na esie zaeżności σ ( λ) (rs. 7.) raźną anicę pastczności e z trzmałością obiczenioą prz ściskaniu ( λ) ϕ( λ) c σ b po staieniu do nieróności (7.7) dostać: ϕ ( λ) gdzie : A c ( λ) c c możem na moc definicji napisać: (7.8) σ ϕ ( λ) spółcznnik boczenio. (7.9) Współcznnik boczenio przjmuje artości ϕ ( λ), i fizcznie spełnia roę spółcznnika redukcjnego poa przeoju poprzecznego A (czi tm samm spółcznnika redukcjnego nośności obiczenioej pręta), jest funkcją smukłości oraz stałch materiałoch i przedziae λ λ nosi: ϕ, λ ( λ) c a przedziae ϕ λ < λ, prz zastosoaniu zoru Tetmajera-Jasińskiego, przjmuje postać: c ( λ) λ. c Współcznniki boczenioe, podane formie tabic oskiej Normie N-9/B- dotczącej obiczeń statcznch i projektoania konstrukcji staoch, uzgędniają jeszcze inne, dodatkoe niezke ażne da zagadnienia utrat stateczności parametr, takie jak początkoe zniekształcenia osi ub przeoju porzecznego prętó (tz. imperfekcje). Stąd artości tch spółcznnikó zaeżne są od tz. smukłości zgędnej λ λ λ p, gdzie λ p jest smukłością porónaczą: λ p, (7.).5 c oraz od technoogii tarzania (spaan, acoan) i kształtu przeoju eementu. Koncepcja spółcznnika boczenioego funkcjonuje rónież prz miaroaniu prętó ściskanch konstrukcjach drenianch. 7.5. rzkład rzkład 7.5.. Wznaczć sił tczne da ściskanch osioo prętó staoch o długości m, miarach przeoju poprzecznego *6 cm podpartch jak na rsunkach, jeśi Ma, 5Ma, 95 Ma, 5 Ga. e c a b c oziązanie 6
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch rzjmujem, że arunki podparcia obu płaszczznach są takie same, ięc boczenie stąpi płaszczźnie imanej sztności zginania i iman moment oraz promień bezładności są róne: 6 * J.5 cm, A *6 8. cm J.5, i. 866 cm. A 8. 5* Smukłość aniczna: λ. 6 6 * rzpadek a Smukłość pręta: *. λ. 96 > λ i.866 5* *.5* Oboiązuje zór uera: 68. 85 kn. rzpadek b Smukłość pręta. λ 5. 7 > λ i.866 5* *.5* Oboiązuje zór uera: 7. kn. rzpadek c Smukłość pręta.5 *. λ 57. 77 < λ i.866 Utrata stateczności stąpi zaesie poza inioo sprężstm i nie oboiązuje zór uera. rzjmując aproksmację prostą Tetmajera-Jasińskiego otrzmam: T J e 5 * σ e λ 5 57.77 6.89 Ma 9 5* T J T J A* σ 8* * 6.89* 7.5 kn. 6 Warunek trzmałości e szstkich trzech przpadkach daje dopuszczaną siłę obciążającą A c 8* *95* 5. kn. 6 rzkład 7.5.. Wznaczć siłę tczną da ściskanego osioo pręta staoego o długości m, miarach przeoju poprzecznego b h 6 cm podpartego jak na rsunku, jeśi Ma, 5 Ma, 5 Ga. e 9 9 9 6 8 8 Y h Y 7 b
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch oziązanie W płaszczźnie (, ) pręt jest jednm końcem zamocoan, a drugi koniec ma on, natomiast płaszczźnie (, Y) oba końce pręta są zamocoane. A *6 8. cm *6, J 5. cm J 5., i. 7 cm, A 8. 6* J z.5 cm J z.5, iz. 866 cm. A 8. 5* Smukłość aniczna: λ. 6. 6 * Wboczenie płaszczźnie (, ) Smukłość pręta *. λ 5. 67 > λ i.7 9 8 5* *5.* Oboiązuje zór uera 7. kn. Wboczenie płaszczźnie (, Y) Smukłość pręta.5 *. λ 57. 77 < λ i.866 z Utrata stateczności stąpi zaesie poza inioo sprężstm. rzjmując aproksmację prostą Tetmajera-Jasińskiego otrzmam: T J e 5 * σ e λ 5 57.77 6.89 Ma, 9 5* T J T J A* σ 8* * 6.89* 7.5 kn. Siła tczna da rozażanego pręta nosi 7. kn. 6 rzkład 7.5.. Wznaczć siłę tczną i spółcznnik długości boczenioej, pręta przeguboo podpartego obciążonego osioo doma siłami ściskającmi jak na rsunku. 9 6 Y J J W pierszm daniu podręcznika bł błąd roziązaniu tego przkładu. 8
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch oziązanie A (x ) δ (x ) B V A B V B eakcje zdeformoanm pręcie stanie rónoagi obojętnej ołane poprzecznm impusem znaczone z arunkó rónoagi noszą (patrz rs. żej): B, δ M A VB, δ M B VA. ónania momentó zginającch, rónania różniczkoe osi boczonego pręta oraz ogóna postać ich roziązania dóch przedziałach charakterstcznm mają formę: x x M ( x ) ( x ) + δ, M ( x ) ( x ) VB x x ( x ) M ( x ) d + VAx dx d ( x ) dx, + k V A ( x ) x ( x ) M ( x ) ( x ) d VB x dx d ( x ) dx, + k V B ( x ) x ( x ) ( x ) + A sin kx B cos k ( x ) s ( x ) + A sin kx + B cos kx s + x V A B ( x ) ( x ) x s x s V gdzie: k, k, ( ) x s i ( ) s x, całki szczegóne rónań niejednorodnch a A, B, A, i B to stałe całkoania, które naeż znaczć z kinematcznch arunkó brzegoch. Kinematczne arunki brzegoe tm zadaniu opisują zaeżności: ( ) B / ( ) B / 9
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch i rónania zdeformoanej osi pręta poszczegónch przedziałach są następujące: ( x ) δ x A sin k, ( x ) x + A sin kx + x δ. ozostałe die stałe znaczam z arunkó zszcia: ( ) ( ) δ /, ' ( ) ( ) ' /. o korzstaniu dóch pierszch, trzeci arunek daje zaeżności: δ δ A, A, (a) sin a czart rónanie: ( k ) sin( k ) δ ( k ) + k A cos( k ) δ + ka cos, które po korzstaniu (a) i reacji k k oraz podstaieniu µ k przjmuje postać tg + ( µ ) tg( µ ) µ Numerczne roziązanie rónania (b) daje nik: µ.78. A ponieaż: (b) k µ, to µ µ 6. 56 k Ten ostatni nik możem zapisać formie:, (. 9) zatem spółcznnik długości boczenioej α. 9. rzkład 7.5.. Wznaczć siłę tczną i spółcznnik długości boczenioej ściskanego osioo pręta przmatcznego obciążonego jak na rsunku.. Y J J oziązanie Moment zginając boczonm pręcie nosi: A (x) V A (x) B M B V B
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch M V x. A eakcja pionoa V A jest konsekencją utierdzenia na podporze B niku czego stępuje tam moment zginając (moment utierdzenia). atem: VA x. Koejne różniczkoania tego rónania dają: ( ) VA x, IV. To rónanie różniczkoe czartego rzędu zapiszem formie: + k IV, (a) gdzie: k. Całkę ogóną rónania (a) można zapisać postaci: C + C x + C kx C cos kx sin +. Stałe całkoania znaczam z arunkó brzegoch: C C C, + C / ( ) C, / ( ) / ( ) C + C sin k, k. / ( ) C + C k cos enego objaśnienia maga drugi kinematczn arunek brzego. Jego sens fizczn, oznaczając zeroanie się momentu zginającego punkcie A (podpora przeguboo przesuna) staje się oczist, jeśi zauażm, że: M dóch ostatnich arunkó otrzmujem rónanie: k tg k, którego najmniejsz dodatni, różn od zera pieriastek ma artość k. 9. Tak ięc:.9.96, ub inaczej:. (.699* ) (.7) Współcznnik długości boczenioej da takiego pręta nosiα. 7.
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch rzkład 7.5.5. Wznaczć siłę tczną i spółcznnik długości boczenioej ściskanego osioo pręta przmatcznego obciążonego jak na rsunku. Y J J oziązanie Moment zginając boczonm pręcie nosi: (x) M B M A (x) A B M M A. Stąd rónanie różniczkoe osi boczonego pręta ma postać: M A Tak jak poprzednim przkładzie, koejne różniczkoania tego rónania dają: ( ) x, + k IV, IV, (a) gdzie: k. Całkę ogóną rónania (a) można zapisać postaci: C + C x + C kx C cos kx sin +. Stałe całkoania znaczm z arunkó brzegoch, ae zanim je sformułujem zróćm uagę na zaeżność międz trzecią pochodną ugięcia i siłą poprzeczną. Wiem już, że: M, ięc po obustronnm różniczkoaniu otrzmam:, ae M Q, zatem Q M. Indeks prz momencie bezładności ogónm przpadku zaeżności różniczkoch międz momentem zginającm, siłą poprzeczną i odpoiednimi pochodnmi funkcji ugięcia inien bć zastąpion indeksem skazującm oś zginania. Kinematczne arunki brzegoe tm pręcie mają postać:
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch / ( ) C + C,, / ( ) C + kc C kc k, / ( ) C + kc cos k kc sin k. / ( ) k C cos k + k C sin Czart kinematczn arunek brzego mói o zeroaniu się sił poprzecznej na podporze B. odstaienie do arunku trzeciego, C kc z arunku drugiego i C C cos k sin k z arunku czartego daje zaeżność: C sin k. Stała całkoania C nie może bć róna zeru bo óczas zerują się pozostałe stałe całkoania i, co przecz założonej zoinioej formie boczonego pręta, ięc: n sin k k, n,,,... Najmniejsz pieriastek tego rónania daje siłę tczną o artości:, z której nika iż spółcznnik długości boczenioej da takiego pręta α. rzkład 7.5.6. O jaką artość T musi zrosnąć temperatura otoczenia obustronnie zamocoanego pręta staoego, o długości m i przeoju złożonego z dóch kątonikó rónoramiennch 5*5*, ab utracił on soją stateczność. Stałe materiałoe pręta noszą: moduł Younga 5 Ga, anica proporcjonaności 6 o Ma, spółcznnik rozszerzaności ciepnej inioej ε * / C. T Y Siła tczna da pręta obustronnie zamocoanego pracującego zaesie inioo sprężstm ma artość:, gdzie:. 5 m od płem podniesienia temperatur o T pręt podpart sposób niesępoan może się dłużć o εt T. onieaż pręt jest zamocoan to dłużenie redukoane jest do zera przez ściskającą siłę osioą spełniającą zaeżność: A ε T A T.
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch porónania obu tch sił otrzmam tczną artość zmian temperatur otoczenia, prz której pręt utraci są stateczność: ε T T gdzie: A T, ε λ λ. i T otrzebujem iczć iman promień bezładności przeoju. tabic profii acoanch odcztujem dane da jednego kątonika tabic profii acoanch odcztujem dane da jednego kątonika oe przeoju: A.9 cm, głóne centrane moment bezładności: η.85.5 ξ 5 miar cm J ξ 86 cm, J η 5 cm..5.85 Miniman promień bezładności: i 7 69.8 i Smukłość: 5.89 cm..5* λ.9. i 5.89 Głóne centrane osie bezładności przeoju tego pręta to jego osie smetrii. Moment bezładności zgędem tch osi mają artość: J * Jξ *86 7 cm, [ J + A(.5* ) ] J z η [ 5 +.9(.5* ) ]. 6 cm. onieaż do obiczeń przjęto siłę tczną uera, naeż spradzić cz smukłość pręta jest iększa od smukłości anicznej. λ Y 5*.58, zatem λ > λ. miana temperatur otoczenia poodująca utratę stateczności rozażanego pręta nosi: T ε T λ * 6 *.9 77.6 C.
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch Jeśi zmienione zostaną arunki podparcia pręta z zamocoanch na przeguboe, to óczas jego smukłość będzie róna: * λ 5.867, i 5.89 a tczna zmiana temperatur będzie nosić: T ε λ * T 6 * 5.867 9. C. 7.6. astosoanie metod energetcznej prz znaczaniu sił tcznej oziązanie zagadnienia utrat stateczności drogą całkoania rónania różniczkoego zoinioej postaci pręta bardziej złożonch przpadkach obciążenia cz jego geometrii, często proadzi do skompikoanch rónań różniczkoch o zmiennch spółcznnikach, którch roziązanie maga złożonch metod matematcznch i ba przczną braku zamkniętch roziązań anaitcznch. W takich przpadkach chętnie korzstam z metod energetcznch, umożiiającch szbkie otrzmanie przbiżonego roziązania. Daej omóim metodę Timoshenki - itza znaczania sił tcznej korzstującą tierdzenie o imum całkoitej energii potencjanej układu. Tierdzenie to mói, że: położeniu rónoagi stałej całkoita energia potencjana układu Π zdefinioana zorem: Π L, (7.) L z gdzie: L z - praca sił zenętrznch, L - praca sił enętrznch, osiąga imum. We spomnianej metodzie zakładam rónanie odkształconej osi pręta odpoiadające kinematcznm i statcznm arunkom brzegom: n C f m m m, (7.) i daej na podstaie założonego rónania odkształconej osi pręta obiczam pracę sił zenętrznch oraz pracę sił enętrznch, a następnie rozpisujem układ rónań Π. (7.) C m Otrzman ten sposób układ rónań (7.) jest układem rónań inioch jednorodnch ze zgędu na spółcznniki C m. przrónania do zera znacznika tego układu znaczam przbiżoną artość sił tcznej. Uzskana tą metodą siła tczna ma artość zasze iększa od dokładnej, i tm biższą dokładnej im biższą rzeczistej jest założona postać ugiętej osi pręta stanie zoinioej rónoagi. Jeżei miejsce skończonego szeregu funkcji (7.) przjmiem, że zdeformoaną oś opisuje jedna funkcja: C f, to miejsce układu rónań (7.) otrzmujem jedno rónanie z którego znaczam siłę tczną prostm zorem zaierającm pierszą i drugą pochodną funkcji f. W ceu jego proadzenia rozażm pręt pokazan niżej na rs. 5
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch du (x) u α dx Y J J raca sił enętrznch, która róna się energii sprężstej układu, prz poięciu płu sił podłużnch nosi: L U M dx. Uzgędniając, ziązek różniczko międz momentem zginającm i drugą pochodną inii '' M x, otrzmujem: ugięcia ( ) L U M dx '' '' [ ] dx C f [ ] Ab obiczć pracę sił zenętrznch potrzebujem znaczć poziome przemieszczenia u. Wiczm je jako różnicę międz długością pierotną a rzutem zdeformoanej osi pręta na oś. rsunku pokazanego żej, łato obiczm zaeżność międz doonie małm odcinkiem pręta dx i doonie małm przemieszczenie jego końca du: du dx cosα. ( ) ' onieaż kąt α jest mał to: sinα tg α α α dx. α i koejno przekształcenia dają: [ ] ' ( cosα ) sin tg α tgα Stąd całkoite przemieszczenie u nosi: C ' [ ] dx [ f ] dx ' u ( cosα ) dx, i i praca sił zenętrznch jest róna: L z C u ' [ f ] dx. Całkoita energia potencjana anaizoanego pręta jest róna: Π L L z U C '' C ' [ f ] dx f [ ] i przrónanie do zera jej pochodnej zgędem stałego spółcznnika C daje rónanie dx, 6
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch dπ d C '' ' [ f ] dx C f C [ ] dx z którego otrzmujem poszukian zór na siłę tczną:, '' [ f ] [ f ' ] dx dx. (7.) 7.6.. rzkład rzkład 7.6... Wznaczć siłę tczną i spółcznnik długości boczenioej, pręta przeguboo podpartego obciążonego osioo doma siłami ściskającmi jak na rsunku. Y J J akładam rónanie odkształconej osi pręta postaci: x C sin, (a) które spełnia kinematczne arunki brzegoe - zeroanie się ugięcia na podporach oraz statczne arunki brzegoe - zeroanie się tam momentó zginającch. u u raca sił enętrznch nosi: L '' x [ ] dx C sin dx C M U dx rzemieszczenie punktu przłożenia sił na eej podporze jest róne: ' [ ] x u dx C cos dx C, stąd całkoita praca sił zenętrznch nosi: 7
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch u L z u + C. 8 Całkoita energia potencjana anaizoanego pręta jest róna: Π L Lz C C, i przrónanie do zera jej pochodnej zgędem 8 spółcznnika C daje rónanie: d Π J C C, d C z którego znaczam poszukiane artości sił tcznej i spółcznnika długości boczenioej J J. (. 5) Siła tczna da tego pręta otrzmana metodą całkoania rónania różniczkoego (patrz przkład 7.5.) niosła 6. 56, (. 9) stąd błąd roziązania metodą energetczną nosi.67 %. oiczm pononie to zadanie prz założonm innm rónaniu odkształconej osi pręta. rzjmijm teraz rónanie formie: C, (b) x( x) które spełnia kinematczne arunki brzegoe ae nie daje zeroania się momentó zginającch na podporach bo: ' C ( x), ' ( ) C x, i druga pochodna jest różna od zera. atem rónanie (b) jest gorsze od rónania (a) i zobaczm jaki to będzie miało pł na artość sił tcznej. Koejno obiczam: ' '' C, moment zginając: M pracę sił enętrznch: L M U dx C dx C, ' przemieszczenie eej podpor: u C [ ] dx ( x) C dx, 6 8
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch pracę sił zenętrznch: całkoitą energię potencjaną pręta: ab z zeroania się jej pochodnej: u C L z u + u, C Π L Lz C, d Π 8 J C C, znaczć siłę tczną: d C 8 J J. (. ) Tm razem błąd roziązania metodą energetczną nosi 8. %. rzkład 7.6... Wznaczć siłę tczną, pręta przeguboo podpartego, o skokoo zmiennm momencie bezładności obciążonego osioo doma siłami ściskającmi jak na rsunku. J J Y akładam rónanie odkształconej osi pręta postaci: J J x C sin. ónanie momentó zginającch przjmuje formę: M '' x C sin, pracę sił enętrznch jest róna: L x C sin dx C + 8 C sin x dx C + C. rzemieszczenia zenętrznch sił ściskającch jak i praca tch sił są takie same jak przkładzie 7.6... u L z u + C. 8 Stąd całkoita energia potencjana anaizoanego pręta nosi: 9
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch Π L Lz C C. 8 8 przrónanie do zera jej pochodnej zgędem stałego spółcznnika C otrzmujem: J. rzkład 7.6... Wznaczć tczną artość obciążenia pręta spornikoego, jak na rsunku obok, o przeoju A obciążonego tko ciężarem łasnm γ. Y J J Mam tutaj do cznienia z zagadnieniem utrat stateczności pręta ściskanego osioo obciążeniem ciągłm q γ A rónomiernie rozłożonm zdłuż jego osi. Moment zginając doonm przeoju pręta prz zdeformoanej jego osi (patrz rs. obok) nosi: M q[ ( ξ ) ] x η dξ, gdzie: q γ A. ónanie różniczkoe ugiętej osi pręta ma postać: d d x [ η( ξ ) ] dξ q x. oższe rónanie różniczkoe o zmiennch spółcznnikach można roziązać stosując nieskończone szeregi otrzmując (patrz np. S..Timoshenko,.Gere: Teoria stateczności sprężstej. Arkad, Warszaa 96) niku: ( ) 7.87 q. (c) (. ) Teraz przkład ten roziążem stosując metodę energetczną. rzjmijm inię ugięcia postaci: C cos kąta ugięcia utierdzeniu). x, która spełnia kinematczne arunki brzegoe (zeroanie się ugięcia i rz przjętej formie inii ugięcia moment zginając oeśa zaeżność: ξ x (x) η( ξ ) q 5
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch M ξ q[ η( ξ ) ] dξ q C cos dξ q x q q C ξ q C ( x) sin q C ( x) x x x ( x) cos sin x x x ξ dξ q C ξ sin x cos x stąd praca sił enętrznch (róna energii sprężstej) nosi: M q 9 L U dx C +. 6 raca konana przez ciąge rozłożone obciążenie osioe nosi (patrz rażenie na pionoe przemieszczenie punktó osi pręta ołane założoną jej deformacją podane przkładzie 7.6...): L z q x q [ ] dx C ( x) sin dx C 8 ' q( x) 8 Otrzmanie poższe niku maga konania dość żmudnch całkoań. Całkoita energia potencjana zdeformoanego pręta jest róna: q 9 q Π L Lz C + C. 6 8 rzrónując do zera jej pochodną zgędem C otrzmujem:. Π C q 9 C + 6 q C. Stąd tczna artość ciężaru pręta nosi: ( ) 7.869. (d) q (.) orónanie zaeżności (c) i (d) pokazuje, że błąd międz roziązaniem otrzmanm drogą całkoania rónania różniczkoego a metodą energetczną jest znikom i nosi około. %. oiczm tczna sokość spornikoego pręta przjmując, że konan został ze stai o modue Younga 5 Ga i ciężarze łasnm γ 78.5 kn/m, a jego przeój poprzeczn jest kadrato o boku cm. Ab ją znaczć przekształcam zaeżność (c) otrzmując:. 87 7. 87 7. 87 7. 87 i q q γ A γ ( ) 7 Wstaienie artości stałch materiałoch i miaró przeoju daje:. 5
Adam Bodnar: Wtrzmałość Materiałó. Stateczność osioo ściskanch prętó prostch 9 7.87* 5* * 5.56 m. 78.5 * * rztoczon na początku tego rozdziału arunek nośności postaci nie przeoczenia trzmałości obiczenioej prz ściskaniu dał dopuszczaną sokość takiego pręta róną.79* m. okazuje to, jak tm przpadku decdujące znaczenie na nośność konstrukcji ma zjaisko utrat stateczności. 5