Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Transkrypt

1 POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 1 Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej Konrad Kaczmarek Albert Kawałek Grupa B Semestr III Rok akademicki 01/014 Albert Kawałek, Konrad Kaczmarek

2 Dla podanego układu należy: 1.) Przyjąć wstępne przekroje prętów z profili dwuteowych (IN, IPE, HEB, HEA), tak aby pod działaniem podanego obciążenia powstałe w prętach naprężenia normalne spełniały warunek σ 00 MPa. UWAGA: Przyjąć ten sam profil dla wszystkich prętów..) Obliczyć następujące przemieszczenia: Przemieszczenie punktu K (wypadkowa) od obciążenia zewnętrznego (wpływ M) Obrót przekroju K od zmiany temperatury Wzajemne zbliżenie punktów RS od obciążenia zewnętrznego (wpływ M) Obrót cięciwy RS od osiadania podpór 5kNm φ +4 0 C k=s δ 4,5kN/m T m = C +4 0 C 18kN R -6 0 C 0kN,,8 6 δ 1 = 1,5cm δ =,cm 10kN δ = 0,4cm φ= 1,7 0 δ δ 1 5,5,5 Rys. 1 Obciążenie ramy do policzenia Albert Kawałek, Konrad Kaczmarek

3 1. Obliczenie reakcji w ramie: B C Hc V C V C C 5kNm F Hf Mf 4,5kN/m H C D 0kN A 18kN E Va Rys. Rama po zastąpieniu podpór i przegubu reakcjami 10kN Vg G M L C = 4,5 5 7,81+V A 7,5=0 V A = 175,75 =,4 kn 7,5 H C =0 Y L =,4 4,5 7,81+V C =0 V C =11,7 kn Y P = V G 11,7+0=0 V G =8,8kN X P =18+10 H f =0 H f =8kN M P C = 5 0 5,5 18, M f +8,8,5=0 M f =,7kNm B C 0kN 11,7kN 11,7kN C 5kNm F 8kN 4,5kN/m 0kN D 0kN A 18kN E,4kN Rys. Rama z obliczonymi reakcjami 10kN 8,8 kn G Albert Kawałek, Konrad Kaczmarek

4 T A = kn T L 4,5 kn B =,881 7,81= 7,501kN m α,881 kn m 18 kn 9kN V A =,4kN V A =11,7kN,457 kn m kn α 7,5kN α 9kN 7,5kN,457kN/m,881kN/m 11,7kN T [kn] - 7,501,60 18kN kn + 5,07 B,4kN A Rys. 4 Rozłożenie obciążeń na pręcie ukośnym Rys. 6 Wykres siły tnącej na pręcie ukośnym W celu znalezienia ekstremum momentu zginającego pod obciążeniem ciągłym na pręcie ukośnym, znajdujemy miejsce zerowe siły tnącej na tym pręcie. Pomijamy jednak dalszy wpływ tnącej oraz normalnej na przemieszczenia, ponieważ jest on pomijalnie mały w stosunku do wpływu momentu zginającego. Obliczenie momentów wewnętrznych w ramie : M L B = 7,81,881 7,81 7,81 =9, knm M ext AB = 5,07,881 5,07 5,07 =9kNm M P B =11,7,5=9,kNm M D L = 11,7,5= 9,kNm M G =0kN m M E D = 10,= knm M D D = ,8= 18,4kNm M F L =, 7kNm M D P =,7+0 =16,7kNm 9,05 B 9, 9, C M [knm] 18,4 16,7 9, D,7 F E A Rys. 7 Wykres momentów od obciążenia rzeczywistego G 4 Albert Kawałek, Konrad Kaczmarek

5 . Projektowanie przekroju M y ext =,7 knm=70kncm Wytrzymałość materiału: R=00MPa=0 kn cm Wskazana wytrzymałości przekroju na zginanie powinien spełniać warunek: W y = M ext y = 70kNm R 0 kn =1114cm cm Przyjmujemy dwuteownik szerokostopowy HEB Ι 60 dla którego: I y =1490cm 4 W y =10 cm,7 knm 1 x 5 Albert Kawałek, Konrad Kaczmarek

6 . Obliczenie przemieszczenia punktu K (wypadkowa) od obciążenia zewnętrznego (wpływ M) 5,5,5 Rys. 8 Pionowe obciążenie wirtualne ramy w punkcje K. k,,8 6 5 Rys. 8. Reakcje od obciążenia wirtualnego M Rys. 10 Wykresy momentów od obciążenia wirtualnego. 6 Albert Kawałek, Konrad Kaczmarek

7 5,5,5 k,,8 6 Rys. 11. Poziome obciążenie ramy w punkcie K 0 0 Rys. 1. Reakcje od obciążenie wirtualnego poziomego 0 Przy obciążeniu siłą wirtualną poziomą wykresy momentów wirtualnych są równe zeru, więc nie ma przemieszczenia poziomego punktu K. V K = M M E J = [ 7,81 4,5 7, ,81 1 9, 5 +5,5 1 9, +5 1 ] (16,7,7) = dx= = m=4,14cm Przemieszczenie pionowe punktu K wynosi 4,14 cm, zgodnie z założonym zwrotem. 7 Albert Kawałek, Konrad Kaczmarek

8 4. Obliczanie obrotu przekroju K spowodowane zmianą temperatury: +4 0 C k t m = -4 0 C +4 0 C -6 0 C,,8 6 5,5,5 Rys. 1. Obciążenie temperaturą Rys. 14. Reakcje od momentu wirtualnego przyłożonego w punkcie K M [-] Rys.. Wykres momentów wirtualnych 8 Albert Kawałek, Konrad Kaczmarek

9 0, N [-] 0,104 Rys. 16. Wykres normalnej wirtualnej t 0 (1) = t g +t d Δ t (1) =4 4=0 o C t m = 4+4 ( 4)= o C t 0 () = t g +t d t m = 4+( 6) ( 4)= o C Δ t () =4 ( 6)=40 o C V k T = M α t Δt h dx+ N α t t 0 dx= =1, 10 [ 5 0 0,6 ( 7,81 1 1, ), ,6 1 ] ( +1, ,104 7,81 ) 6 = 1, ,6 118,1+1, 10 5,99=564, 10 5 rad=0,5 o Obrót punktu S wynosi 0,5 stopnia, zwrot zgodnie z założeniem. 9 Albert Kawałek, Konrad Kaczmarek

10 5. Obliczanie wzajemnego zbliżenia punktów RS spowodowane obciążeniem zewnętrznym (wpływ M) 0,796 S 0,6051 6,8 m R 0,6051 0,796,,8 6 Rys. 17. Obciążenie jednostkowymi siłami wirtualnymi działającymi wzdłuż cięciwy RS. 5,5,5 0,796 0,6051 0,404 0,796 0,796 0,404 0,017 0,017 R 0,6051 0,796 Rys. 18. Reakcje wirtualne 0, Albert Kawałek, Konrad Kaczmarek

11 1,009,07 1,009 1,009,017,017 M [m ] Rys. 19. Wykres momentów wirtualnych. 1 M M Δ K R = dx= I J [ 7,81 4,5 7, ,009+9, 1 7,81 1,009+9,,5 1 ] 1, [,017 1 (16,7+,7)+,8,07 1 ( ,9 )] = 0,0495 m= 4,95cm Wzajemne oddalenie punktów RS wynosi 4,95 cm. 11 Albert Kawałek, Konrad Kaczmarek

12 5. Obliczanie obrotu cięciwy R-S spowodowanego osiadaniem podpór 5,5,5 0,096 Δ 1 =1,5cm=0,0m Δ =,cm=0,0m Δ =0,4cm=0,004m 0,9 S 0,168 Φ=1,7 0 Δ =0,0 Φ=1,7 0 6,8 m 0,168 0,9 R,,8 6 0,096 Rys. 0. Obciążenie wirtualne cięciwy RS. Δ =0,004 Δ 1 =0,0 sin()=0,6051 cos()=0,796 0,096 0,9 0,168 0,0845 0,096 0, ,577 0,0845 0,168 0,9 0,047 0,096 Rys. 1. Reakcje wirtualne 0,047 α (Δ) R S = R Δ= = [ 0,047 0,0 0,047 0,004+0,577 1,7 π 0,016rad 180 π = 0,9560 Obrót cięciwy R-S od osiadania podpór wyniesie 0,956 0 w kierunku przeciwnym niż założony (w lewo). = 0,016 rad 180 ] 1 Albert Kawałek, Konrad Kaczmarek