Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

Transkrypt

1 Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m X c Z c Y c Rozwiazanie Zadanie zostanie rozwiązane dwoma sposobami różniącymi się wyborem układu współrzędnych, w jakim zostaną wykonane obliczenia. SPOSÓB - obliczenia w układzie centralnych osi bezwładności Sprawdzenie warunku nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne polega na porównaniu występujących w przekroju naprężeń normalnych z dopuszczalnymi. Rozwiązywanie zadania rozpoczać należy od określenia charakterystyk geometrycznych przekroju. A = 5 8 = 0 cm J yc = = 7, cm4 J zc = 8 5 = 7,74 6 J ycz c = 5 8 =, cm 4 7

2 W przekroju odległym o x 0; m od podstawy słupa siły wewnętrzne mają wartość: N = 0 kn M yc = 0,5 kn m x) m m x) = 0,5 kn m M zc = 0, kn m x) m x) Wyraźnie widać, że maksymalne wartości sił wewnętrznych występują dla x = 0, tj. w podstawie słupa, gdzie N = 0 kn M yc = 0,5 kn m m 0) = knm = 00 kncm M zc = 0, kn m 0) = 0, knm = 0 kncm M 00 knm 0 knm 0 kn Wzór na naprężenia normalne obowiązujący dla centralnych osi bezwładności ma postać: σ x = N A + J y cz c M yc + J yc M zc J y cz c J yc J zc y J yczcm zc + J zcm yc z Jy cz c J yc J zc Podstawiając obliczone wartości momentów bezwładności i sił wewnętrznych otrzymujemy: σ x = 0 0, 00) + 7, 0 +,) 7, 7,78 y, 0 + 7,78 00) c,) 7, 7,78 z c = =,46y c,75z c Równanie osi obojętnej otrzymujemy przyrównując naprężenie normalne σ x do zera. σ x = 0 =,46y c,75z c = 0 = = y c,46 + z c,75 = = y c 0, z c 0,4598 = Tak więc oś obojętna przechodzi przez punkty 0; 0,459) i 0,406; 0).

3 Z B M Y A os obojetna Na powyższym rysunku pokazano oprócz położenia osi obojętnej również wypadkowy wektor momentu zginającego oraz główne centralne osie bezwładności ich położenie wyznaczane jest przy okazji obliczeń wykonywanych sposobem ). Zrobiono to w celu sprawdzenia poprawności obliczeń. W przypadku zginania ukośnego jest bowiem regułą, że oś obojętna przekroju odchyla się od kierunku wypadkowego momentu zginającego w kierunku osi minimalnego momentu bezwładności. W rozpatrywanym przypadku zasada ta jest spełniona moment J z < J y ). Skrajne wartości naprężeń występują w punktach przekroju najbardziej odległych od osi obojętnej, tj. w punktach A i B. σx A = σ x 5 ) cm; =,46 5 ),75 8 ) = = + 4, + 5,8 = 8,9 kn cm σx B = σ x 5 cm; 8 ) cm =,46 = + 4,,6 = 8,5 kn cm 5 ),75 8 = Aby porównać otrzymane wyniki z naprężeniami dopuszczalnymi należy przeliczyć jednostki: Tak więc kn cm = 0 MN = 0 MPa 0 4 m σ A x = 89 MPa = σ max σ B x = 85 MPa = σ min

4 B A σ x [MPa] Warunek nośności ze względu na naprężenia normalne w przekroju jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy: σ max k r σ min k c W rozpatrywanym przypadku σ max = 89 MPa k r = 80 MPa σ min = 85 MPa < k c = 0 MPa Ponieważ naprężenia ściskające są, co do wartości bezwzględnej, większe niż dopuszczalne badany słup nie spełnia warunku nośności ze względu na naprężenia normalne w przekroju. SPOSÓB - obliczenia w układzie głównych centralnych osi bezwładności Podobnie jak w sposobie obliczenia należy rozpocząć od określenia charakterystyk geometrycznych przekroju: A = 0 cm J yc = 7, cm 4 J zc = 7,7 4 J ycz c =, cm 4 W dalszej kolejności obliczyć należy wartości głównych centralnych momentów bezwładności oraz położenie osi głównych centralnych. I, = I y c + I zc ) ± I yc I zc ) + 4Iy cz c = = 7, + 7,78) ± 7, 7,78) + 4,) = 49,44 ±,04 4

5 Tak więc I = 49,44 +,04 = 80,4 4 I = 49,44,04 = 8,4 cm 4 = J y = J z Kąt nachylenia osi głównych Y i Z obliczamy następująco: tg α = I y cz c I yc I zc =,) 7, 7,78 = = α = 45,7o = α =,86 o Z Y W następnym etapie wyznaczyć trzeba wzory transformacyjne przekształcające współrzędne centralne we współrzędne główne centralne. Wzory te mają postać: y = y c cos α + z c sin α = y c cos,86 o + z c sin,86 o = 0,94y c + 0,885z c z = y c sin α + z c cos α = y c sin,86 o + z c cos,86 o = 0,885y c + 0,94z c Analogicznie określone są wzory na składowe momenty zginające M y i M z podstawiono wartości momentów M yc i M zc obliczone wcześniej): M y = M yc cos α + M zc sin α = 00 cos,86 o + 0 sin,86 o = 84,7 kncm M z = M yc sin α + M zc cos α = 00) sin,86 o + 0 cos,86 o = 57,8 kncm Podstawiając otrzymane powyżej wartości do wzoru na naprężenia normalne określane we współrzędnych głównych centralnych otrzymujemy: σ x = σ N x + σ Mz x + σ My x =,y,048z = N A M z I z y + M y I y z = ,8 8,4 y + 84,7 80,48 z = Przyrównując wzór na naprężenie normalne do zera otrzymujemy równanie osi obojętnej. σ x = 0 =,y c,048z c = 0 = = y c, + z c,048 = = y c 0,4 + z c 0,959 = 5

6 Tak więc oś obojętna przechodzi przez punkty 0; 0,959 cm) i 0,4 cm; 0). M 00 knm 0 knm 0 kn Najbardziej oddalone od osi obojętnej są punkty A i B. Współrzędne tych punktów, liczone w układzie Y c Z c, są równe: y A c = 5 z A c = 8 yc B = 5 zc B = 6 Stosując wyprowadzony wcześniej wzór na transformację współrzędnych obliczamy: y A = 0,94yc A + 0,885zc A = 0,94 5 ) + 0,885 8 ) =,57 cm z A = 0,885yc A + 0,94zA c = 0,885 5 ) + 0,94 8 ) =,80 cm y B = 0,94yc B + 0,885zB c = 0,94 5 ) + 0,885 6 = 0,564 cm z B = 0,885yc B + 0,94zc B = 0,885 5 ) + 0,94 6 = 5,56 cm Obliczone współrzędne punktów A i B wstawiamy do wzoru na naprężenia normalne i uzyskujemy wartości naprężeń ekstremalnych w przekroju. σx A = σ x,57 cm;,80 cm) =,,57),048,80) = = 8,9 kn = 89 MPa cm σx B = σ x 0,564 cm; 5,56 cm) =, 0,564,048 5,56 = 8,5 kn cm = = 85 MPa 6

7 Z B Y A σ x [MPa] Warunek nośności nie jest spełniony gdyż: σ max = 89 MPa k r = 80 MPa σ min = 85 MPa < k c = 0 MPa 7