Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

Transkrypt

1 Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi cząstkowymi. Ireneusz Czajka AGH, WIMiR marzec gdzie: obszar rozwiązania, Γ brzeg z warunkami brzegowymi, d eement objętości obszaru, dγ eement brzegu. Warunki brzegowe Eementy Aby równanie różniczkowe można było jednoznacznie rozwiązać, potrzebne są warunki brzegowe. Zazwyczaj są używane trzy warunki brzegowe warunki Diricheta, pierwszego rodzaju (essentia boundary condition) wartość funkcji warunki Neumana, drugiego rodzaju (natura boundary condition) wartość pochodnej warunki Robina, trzeciego rodzaju, mieszane i funkcja i pochodna dana na brzegu Po wyznaczeniu wartości w węzłach eementów skończonych. Rozkład szukanej wiekości wewnątrz eementu jest interpoowany przy pomocy tzw. funkcji kształtu na podstawie wartości węzłowych. Ważne muszą spełniać przynajmniej niektóre z następujących warunków zapewniać ciągłość przemieszczeń wewnątrz eementu, oraz zgodność na granicach, umożiwić opisanie stałych przemieszczeń eementu (ruch jako ciała sztywnego), umożiwić opisanie stałych odkształceń wewnątrz eementu, występujących przy odpowiednich przemieszczeniach węzłów. Ważne Warunki,, eementy zgodne czyi dostosowane. Zawsze dają zbieżność od dołu do rozwiązania dokładnego. Warunki, eementy zupełne czyi niedostosowane. Nie zawsze zbieżne a nawet gdy jest zbieżne nie musi być zbieżne od dołu. Wyznaczenie macierzy sztywności da eementu prętowego Kika przykładów równań opisujących probemy mechaniczne Rodzaje równań różniczkowych cząstkowych rzędu drugiego eiptyczne paraboiczne hiperboiczne Macierze Ponieważ MES prowadzi do przekształcenia probemu z anaizy matematycznej do probemu agebraicznego. Czyi zamiast poszukiwać funkcji spełniającej równanie różniczkowe, poszukujemy rozwiązania układu równań iniowych. Energia potencjana odkształcenia Przemieszczenia i energia potencjana są związane zaeżnością Eement prętowy -to taki eement, którego jeden wymiar znacząco przewyższa pozostałe, przenoszący obciążenia wzdłużne. Macierz sztywności zostanie wyznaczona na podstawie energii potencjanej. Całkowita energia potencjana E p składa się z energii odkształcenia U e i energii potencjanej sił zewnętrznych W : E p U e + W () E p, () {u i } gdzie {u i } oznacza wektor przemieszczeń węzłów eementu. Ponieważ pręt przenosi wyłącznie obciążenia osiowe, energia odkształcenia sprężystego wynosi: σ U e E d ε Ed () W zapisie macierzowym równanie powyższe przyjmuje postać U e {ε} T D{ε}d (4) gdzie ε jest wektorem odkształceń zaś D jest macierzą współczynników sprężystości.

2 Energia potencjana całkowita Macierz sztywności Energia potencjana sił zewnętrznych W {u i } T {P i } (5) gdzie {P i } oznacza wektor sił węzłowych. Całkowita energia potencjana E p U e + W {ε} T D{ε}d {u i } T {P i } () Wprowadźmy macierz B wiążącą przemieszczenia z odkształceniami {ε} B{u i }, (7) ta zaeżność pozwaa na zapisanie równania () w postaci E p {u i} T B T DBd{u i } {u i } T {P i } (8) Po zróżniczkowaniu i przyrównaniu do zera, zgodnie z równaniem () otrzymuje się bezpośredni związek {P i } B T DBd{u i } (9) Zaeżność między siłą i odkształceniem F kx jest charakteryzowana przez współczynnik sprężystości k. Wobec tego {P i } k{u i } () biorąc pod uwagę zaeżność (9) wyznacza się macierz sztywności eementu k B T DBd () By znaeźć postać macierzy B wyrażamy przemieszczenia poszczegónych przekrojów wzdłuż eementu {u} przez przemieszczenia węzłów {u i }. Załóżmy iniowy rozkład przemieszczeń wzdłuż pręta. u α + α x () Podstawiając te warunki do równania (), otrzymuje się bezpośrednio α u, α u u czyi wieomian interpoujący rozkład przemieszczeń wzdłuż pręta ma postać: u u + u u x u + u po wprowadzeniu oznaczenia x u ( x u x ) x + u (4) Wyznaczamy wartości współczynników α oraz α. Wykorzystując następujące warunki brzegowe { da x, u u da x, u u () otrzyma się zaeżność ξ x u u ( ξ) + u ξ (5) Interpoacja Lagrange a!!! Odkształcenia otrzymamy z zaeżności ε du dx du dξ (8) Można zapisać to równanie w postaci macierzowej {u} N{u i } () gdzie {u} jest wektorem funkcji przemieszczeń, macierz N nazywa się macierzą funkcji kształtu. Da eementu prętowego iniowego macierz funkcji kształtu przyjmuje postać N ( ξ) ξ (7) Po wykorzystaniu funkcji kształtu (5) można napisać ε u + u (9) w postaci macierzowej można tą zaeżność zapisać {ε} u {u i }, gdzie {u i } u Po porównaniu z równaniem (7) widać, że macierz B to B () Z prawa Hooke a (σ Eε) oraz równania (4) wynika macierz współczynników sprężystości D E Macierz sztywności da eementu prętowego ma postać k AE () Wstawiając powyższe zaeżności do równania () otrzymamy k B T DBd () Eement objętości pręta d Adx Adξ, k B T DBd AE dξ AE E Adξ dξ () Aby wyznaczyć macierz bezwładności, wyznacza się energię kinetyczną. E k m u (4) W postaci macierzowej powyższa zaeżność przyjmuje postać E k { u i} T m{ u i } (5) gdzie m macierz bezwładności eementu, { u i } jest wektorem prędkości węzłowych. Da całego eementu czyi E k { u} T ρ{ u}d ()

3 Niech pręt drga tak {u} Ae iωt Zatem wektor prędkości wzdłuż eementu wygąda następująco { u} iωae iωt iω{u} Wiemy, że {u} N{u i }. Wobec tego { u} iωn{u i }. Można już wyznaczyć energię kinetyczną E k iω{u i } T N T ρiωn{u i }d ω {u i } T N T ρnd{u i } (7) Z porównania z równaniem (5) widać, że macierz bezwładności stanowi wyrażenie pod całką m N T ρnd (8) znamy, więc macierz bezwładności m ρa ξ ξ ρ( ξ) ξd ρa ( ξ) ξ( ξ) ξ( ξ) ξ dξ ρa ξ ξ ξ ξ ρa + ξ ξ ξ + ρa ξ ξ ξ ρa macierz bezwładności da eementu prętowego m ρa ( ξ) ξdξ ξ + ξ ξ ξ ξ ξ ξ dξ ρa (9) () Agregacja macierzy Prościutki przykład statyki Znaeźć zmiany długości poszczegónych boków tworzących strukturę jak na rysunku. Nie uwzgędniać wyboczenia. Siła obciążająca wynosi P 4 N. Agregacja macierzy sztywności i bezwładności poega na tym, że wpisuje się odpowiednie macierze eementów do odpowiednich komórek gobanej macierzy sztywności czy bezwładności. Ponieważ probem jest jednowymiarowy, można zastosować jednowymiarowe eementy eementy prętowe. Charakterystykę eementów zebrano w tabei Współrzędne i W W i m E i Pa A i m,4, 4,,4,5, 5 9, 5,5,85, 7, Probem jest opisany równaniem gdzie k{u i } {P i } () u u {u i } u u 4 k A E k k k k pierwsza koumna odpowiada przesunięciu węzła, druga koumna przesunięciu węzła, pierwszy wiersz odpowiada za równanie da węzła, drugi wiersz równanie da węzła, k A E k k k k pierwsza koumna odpowiada przesunięciu węzła, druga przesunięciu węzła, pierwszy wiersz to równanie da węzła, drugi to równanie da węzła, k 4 A E k k k k gdzie k, 8 9, k, 7 oraz k, 5 Agregacja Nałożenie warunków brzegowych Ważne Każda koumna macierzy odpowiada przesunięciu jednego węzła: pierwsza koumna węzeł, druga koumna węzeł, trzecia koumna węzeł, itd. Pierwszy wiersz odpowiada równaniu da węzła, drugi da węzła, itd. Poszczegóne wyrazy macierzy sztywności poszczegónych eementów naeży wpisywać w odpowiednie poa macierzy gobanej, zgodnie z tym, których węzłów dotyczą. Macierz sztywności da całego układu k k k k k + k k k k + k k k k Warunki Diricheta Nałożenie warunków brzegowych Diricheta (przemieszczenie węzła równe zero) przeprowadza się wstawiając wartość w odpowiednie miejsce na głównej przekątnej i zerując wiersz oraz koumnę na których przecięciu wstawiono jedynkę. Czyi pierwszy wiersz się zeruje, pierwsza koumna się zeruje, na przecięciu pierwszego wiersza i pierwszej koumny wstawia się jedynkę. Końcowa postać macierzy k da całego układu k k + k k k k + k k k k

4 Wektor obciążeń węzłowych wygąda tak {P i } 4 Macierz sztywności i bezwładności w gobanym układzie odniesienia Można przystąpić do rozwiązania równania () opisującego przemieszczenia węzłów układu. {u i } k {P i } Przemieszczenia poszczegónych węzłów wynoszą odpowiednio, {u i } 5, 55, 5, x o x o g + y o g sin θ () y o x o g sin θ + y o g () Macierze kosinusów kierunkowych co w zapisie macierzowym przyjmuje postać { x o } { } sin θ x o g sin θ y o współrzędne w układzie gobanym oznaczamy przez u o i, zaś współrzędne w układzie okanym u i y o g (4) {u i } ζ{u o i } (5) gdzie ζ oznacza macierz kosinusów kierunkowych da jednego punktu. Ponieważ eement prętowy posiada dwa węzły z których każdy jest opisany dwoma współrzędnymi, wobec tego przekształcenie przyjmuje postać u v u v ub inaczej gdzie sin θ sin θ sin θ {u i } DC{u o i } sin θ sin θ sin θ DC sin θ sin θ u o v o u o v o macierz DC jest macierzą ortogonaną DC DC T () (7) Da obciążeń węzłowych mamy {P i } DC{P o i } gdzie {P i } jest w okanym układzie współrzędnych, zaś {P o i } w gobanym układzie współrzędnych. Skoro w okanym układzie współrzędnych prawdziwa jest zaeżność {P i } k{u i } można ją wyrazić w następujący sposób czyi DC{P o i } kdc{u o i } (8) {P o i } DC kdc{u o i } DC T kdc{u o i } (9) {P o i } k o {u o i }, gdzie k o DC T kdc Macierz sztywności i bezwładności w gobanym układzie odniesienia A teraz w szczegółach k o DC T kdc m o DC T mdc Macierz sztywności dwuwymiarowego eementu prętowego w układzie okanym wygąda następująco k AE Gobana macierz sztywności W układzie gobanym zaś k o DC T kdc AE AE sin θ sin θ sin θ sin θ sin θ sin θ sin θ sin θ cos θ sin θ cos θ sin θ sin θ sin θ sin θ sin θ cos θ sin θ cos θ sin θ sin θ sin θ sin θ sin θ (4) Gobana macierz bezwładności (x o x o) + (y o y o), xo xo, (4) sin θ y o y o. Aby wynaczyć macierz bezwładności w gobanym układzie odniesienia, naeży wyznaczyć jej postać przy przemieszczeniach węzłów zarówno w poziomie jak i w pionie, co prowadzi do następującej postaci funkcji kształtu ξ ξ N ξ ξ

5 Pprzemieszczenia wzdłuż eementu zapisane są jako u u ξ ξ v v ξ ξ u v Zatem macierz bezwładności przedstawia się następująco m ρa N T ρnadξ ρa ρa (ξ ) ξ (ξ ) ξ ξ ξ ξ dξ ξ ξ ξ ξ (ξ ) ξ(ξ ) (ξ ) ξ(ξ ) ξ(ξ ) ξ ξ(ξ ) ξ ξ (ξ ) ξ (ξ ) (ξ ) ξ (ξ ) ξ ξ ρa dξ (4) Macierz bezwładności w układzie gobanym. Po wymnożeniu otrzyma się m ρa Porównanie wyrażeń na macierz bezwładności w układzie okanym oraz gobanym pozwaa na stwierdzenie, iż da eementu prętowego nie uega ona zmianie przy przejściu z okanego do gobanego układu współrzędnych. Przykład statyczny płaski Wyznaczenie gobanych macierzy sztywności eementów Eement Współrzędne Długość Wartość EPa Am węzła węzła eementu sin θ - (, ) (,.5) (, ) (, ) (,.5) (, ) (,.5) (, ) (, ) (, ) k o k o k o k 4 o k 4 o Agregacja macierzy sztywności Obciążenia Macierze sztywności w gobanym układzie odniesienia da poszczegónych eementów naeży zsumować. W ten sposób można uzyskać gobaną macierz sztywności K o K o k o + k o + k o + k o 4 + k o Są podane w gobanym układzie odniesienia. Wystarczy wpisać je w odpowiednie miejsce macierzy obciążeń, która przyjmuje postać {Pi o } 4

6 Nałożenie warunków brzegowych Rozwiązanie układu równań Na głównej przekątnej przy przecięciu wiersza i koumny da danego stopnia swobody pozostawia się wartość, zeruje się wektor obciążeń da odpowiednich stopni swobody. Po modyfikacji macierz K o przyjmuje postać,.. K o Macierzowo zapisane jest to tak jak poniżej. Jako wynik otrzymuje się wektor przemieszczeń węzłowych {u o i } K o {P o i } Przemieszczenia poszczegónych węzłów są przedstawione poniżej. x. y.4 x {ui o } 4.74 y.4 x.74 y.8 x 4. y 4 Zazwyczaj łatwiej jest ocenić rozwiązanie, gdy dokona się wizuaizacji, co pozwaa na odrzucenie zdecydowanie błędnych rozwiązań Po wyznaczeniu przemieszczeń węzłów można przystąpić do wyznaczania naprężeń w poszczegónych eementach. Da każdego eementu naeży wyznaczyć odkształcenia, z których na podstawie prawa Hooke a można wyznaczyć naprężenia.