PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ

Transkrypt

1 POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr IV Rok Akademicki 2013/2014

2 Dla układu należy: 1. Przyjąć przekroje i z profili dwuteowych (IN,IPE,HEB,HEA); 2. Korzystając z metody przemieszczeń obliczyć siły przekrojowe (M,N,T) od zadanego obciążenia oraz wykonać kontrolę kinematyczną i kontrolę statyczną; 3. Sprawdzić naprężenia w obu grupach przekrojów i, porównując je z wartościami dopuszczalnymi naprężeń (215MPa) i sformułować wnioski; UWAGA!!!!!: Przekrojów nie należy zmieniać. 17kN/m 32kNm 15kN 21kN 40kN 3,5 3,5 2,5 2,5 1,6 2,4 [cm]

3 1. Przyjęcie przekrojów oraz. Przekrój to profil dwuteowy HEB220 Przekrój to profil dwuteowy IPE260. =8061cm 4 =5790cm 4 E=205 GPa EI=E E =1, E E =205x10 6 x8061x10-8 =16525,05kNm 2 E =205x10 6 x5790x10-8 =11869,5kNm Wyznaczenie SGN: φ 1 φ 2 Δ 3 SGN = Σφ + ΣΔ SGN = = Układ podstawowy (UP) metody przemieszczeń. 17kN/m 32kNm 15kN 21kN 40kN 3,5 3,5 2,5 2,5 1,6 2,4 [cm]

4 2.3 Układ równań kanonicznych metody przemieszczeń: r 11 φ 1 +r 12 φ 2 +r 12 Δ 3 +r 1P =0 r 21 φ 1 +r 22 φ 2 +r 23 Δ 3 +r 2P =0 r 31 φ 1 +r 23 φ 2 +r 33 Δ 3 +r 3P = Łańcuch kinematyczny zadanej ramy do wyznaczenia Ψ ik : Δ 3 =1, pionowo 014: 0 + Ψ 01 x 3,50 + Ψ 41 x 0 = 0 ψ 01 =0,00 poziomo Ψ 25 x 3,50 + Ψ 32 x 0 = 1,00 ψ 25 = 1,00 3,50 = 2 7 pionowo x 3,50 + Ψ 12 x 5 + Ψ 25 x 1,60 = 0 ψ 12 = 1,60 5,00 ψ 25= 8 25 ( 2 7 )= pionowo x 3,50 + Ψ 12 x 5 + Ψ 23 x 4,00 = 0 ψ 23 = 5,00 4,00 ψ = 5,00 ( 16,0) 12 = poziomo Ψ 14 x 3,50 + Ψ 12 x 0 + Ψ 23 x 0 = 1,00 ψ 14 = 1,00 3,50 = 2 7 SPRAWDZENIE pionowo Ψ 25 x 1,60 + Ψ 32 x 4 = 0 ψ 32 = 1,60 4,00 ψ 25= 2 5 ψ 25= 4 35

5 2.5 Stan φ 1 =1,0 1, EI φ 1 =1,0 0, EI , EI 0, EI Stan φ 2 =1,0 L=3, długość pręta ukośnego φ 2 =1, , EI 1, EI Stan Δ 3 (u 3 )=1,0 0, EI 0, EI 0, EI Δ 3 =1, , EI 0, EI 0, EI 4 5 0, EI

6 2.8 Stan P φ 1 φ 2 17kN/m 32kNm 15kN Δ 3 21kN 40kN 3,5 3,5 2,5 2,5 1,6 2,4 α a) Pręt ukośny: L=3, długość pręta ukośnego cosα= 1,60 3,50 =0, sin α= 3, , =0, q p =q cosα=7, kn m q r =q sin α=15, kn m

7 2.8 b) Moment na pręcie ukośnym 25: 2 q p L 25 = 8, knm 8, knm , knm 3, m 2.8 c) Moment na pręcie 12: 3 16 P L 25 = 14,0625kNm ,71875 knm 5,00m φ 1 φ kNm 15kN A B 40kN 14,0625kNm C 8, kNm 27,2kN = 17 3, Δ 3 21kN 3, , kNm 3,5 2,5 2,5 1,6 2,4

8 Założono przemieszczenia pod siłami skupionymi zgodnie ze zwrotami sił; praca sił na tak przyjętych przemieszczeniach w równaniu pracy wirtualnej będzie dodatni. Przemieszczenia wyznaczamy z równania łańcucha kinematycznego. pionowo 01B ( )= δ B - pod siłą 40kN δ B = pionowo 5C ( 2 7 )=δ C - pod siłą wypadkową na pręcie ukośnym δ C = 8 35 pionowo 01A 0 + 2,5 ( )=δ A - pod siłą 15kN δ B = Wyznaczenie macierzy sztywności i wektora kolumnowego od sił zewnętrznych: r 11 = 0, EI + 1, EI + 1, EI = 3, EI r 12 = 0 r 13 =0, EI + (- 0, EI) = -0, EI r 21 = 0 r 22 = 1, EI + 1, EI = 2, EI r 23 = -0, EI + (-0, EI) = -0, EI r 31 x 1 + 0, EI x ( r 31 = -0, EI r 32 x 1 + 1, EI x r 32 = -0, EI r 33 x 1 + (-2 x 0, EI) x ) + (1, EI + 0, EI) x 2 7 = (0, EI + 1, EI) x 2 7 = , EI x ( ) + ( 2 x -0, ) x 2 + (-0, EI) x 0, = 0 7 r 33 = 0, EI

9 r 2P r 1P 32kNm 14,0625kNm 8, kNm r 1P = ,0625 = -46,0625kNm r 2P = -8, kNm r 3P 1+21 ( 1) 14,0625 ( )+(8, ,72298) ( 2 7 )+40 δ B+15 δ A +27,2 δ C =0 r 3P 1+21 ( 1) 14,0625 ( )+(8, ,72298) ( 2 7 ) , =0 r 3P = , = -1,360000kNm [ 3, , , , , , , ] EI [ ϕ1 ϕ 2 ] [ 0 0] = 0 1, , Δ 3] + [ 46, Rzeczywiste wartości obrotów węzłów oraz przemieszczenia poziomego: φ 1 = 18, /EI = 0, rad φ 2 = 11, /EI = 0, rad Δ 3 = 27, /EI = 0, m

10 2.11 Wyznaczenie momentów: M n ik =M (1) ik ϕ 1 +M (2) ik ϕ 2 +M (3) (P ) ik Δ 3 +M ik M 01 = OkNm M 10 = 1, EI x 18, /EI = 21,68587kNm M 12 = EI x 18, /EI + 0, EI x 27, /EI 14,0625 M 12 = 3, kNm M 21 = OkNm M 23 = 1, EI x 11, /EI 0, EI x 27, /EI M 23 = 8, kNm M 32 = OkNm M 14 = 1, EI x 18, /EI -0, EI x 27, /EI M 14 = 7, kNm M 41 = 0, EI x 18, /EI -0, EI x 27, /EI M 41 = 3,32548kNm M 25 =-0, EI x27, /ei + 1, EI x11, /ei -8, M 25 =-8, kNm M 52 = -0, EI x27, /ei + 0, EI x11, /ei + 8, M 52 = 2,385517kNm SPR węzła 1: 32kNm 3,258995kNm 1 21,68600kNm 7,058767kNm ΣM w1 = 32-21, , , = 0,000376kNm = OkNm

11 SPRAWDZDENIE KINEMATYCZNE: wykres momentów , ,9789 7, , ,3201k 8,9784 3, , n M 5 P [knm] 2, M P 5 SPRAWDZENIE KINEMATYCZNE 1 v 0 = M n p M EI ds v 0 = (1/3, EI) x (0,5 x 3,5 x 0, x 3,5 x 21,68587) + (1/EI) x (3,5 x 3,5 x 0,5 x (7, ,332548) = 0, /EI v 0 < 1/EI

12 WYZNACZENIE TNĄCYCH I NORMALNYCH: 1. TNĄCE: *pręt 25 q p =7, kn m 8,9789kNm 17,0 kn m 8,9789kNm q r =15, kn m N 25 N T 25 T 25 2,35301kNm α α 5 5 N 52 T 52 T 52 N 52 2,35301kNm ΣM 2 = -8, , T 52 x 3, , x 3, x 0,5 = 0 T 52 = -11,8996 kn ΣM 1 = -8, , T 52 x 3, , x 3, x 0,5 = 0 T 25 = 15,30865 kn Wyznaczenie wartości ekstremalnego momentu zginającego pod obciążeniem: ΣY = T 52 + T 7, X -----> X = 1,6836m M EXT = -2, T 53 X + 7, X 2 x 0,5 = 7,65013 knm

13 *pręt 23 8,92895kNm 2 3 ΣM 2 = 8, T3 2 x 4= 0 T 25 =T 52 = -2,24459 kn T 23 T 32 *pręt 01 21,68587kNm 0 1 T 01 T 10 ΣM 1 =21, T 01 x 4= 0 T 10 = T 10 = -6,19596 kn *pręt 12 15,0kNm 1 2 3,25536kNm T 12 T 21 ΣM 2 =3, T 12 x 5 15 x 2,5= 0 T 12 = 6,848928kN ΣM 1 = 3, T 21 x x 2,5= 0 T 21 = -8,151072kN Wyznaczenie wartości momentu pod siłą skupioną: ΣM A = T 12 x 2,5 + M 12 = 6, x 2,5 + 3,25536 = 20,3201kNm

14 *pręt 14 7,05817kNm 1 T 14 4 T 41 3,25536kNm ΣM 4 =-3, , T 12 x 5 15 x 2,5= 0 T 14 =T 41 = - 1,0867kN 2.NORMALNE *podpora 0 N 01 0 N 01 = 0,0kN *węzeł 1 6,196kN 6,8689kN 0,0kN 1 N 12 1,0867kN N 14

15 ΣX=N 12-1,0867 = 0 N 12 = 1,0867kN ΣY= -N 12 6,196-6,8689= 0 N 14 = -13,0499kN *węzeł 2 8,15107kN 21,0kN 1,08668kN 2 2,24459kN 40,0kN 15,30865kN ΣX= -1, ,0-15,30865 x sin(a) + N 25 x cos(a) = 0 N 25 = 74,045kN Wyznaczenie N 25 z równowagi pręta 2-5 ΣY= -8, , ,0 + 15,30865 x cos(a) 74,045 x sin(a) = 0,00015 = 0 N 25 Wyznaczenie reakcji *podpora 4 13,0499kN 1,08668kN 4 T 4 N 4 3,32548kNm

16 ΣX= -1, T 4 = 0 T 4 =1,08668 kn ΣY= -13, N 4 = 0 N 4 = 13,0499kN Projekt nr I METODA PRZEMIESZCZEŃ *podpora 5 14,545kN 11,89135kN 2,35301kN α 5 19,913kN 6,898125kN 2,35301kN ΣX= -14,545 x cos (a) 11,89135 x sin(a) + 19,913 = 0, = 0 ΣY= 14,545 x sin(α) + 11,89135 x cos(α) 6, = -0, = 0 *podpora 3 2,24459kN 3 N 32 21kN N 32 = -21,0kN 2,24459kN

17 *wykres sił tnących: 6,1959 6, , , , , T [kn] 11,89135 *wykres sił normalnych: 21,0 0, , , , N [kn] 14,545

18 *reakcje rzeczywiste w podporach oraz sprawdzenie statyczne: 17kN/m 32kNm 15kN 21kN 40kN 6,1959kN 2,24459kN 1,0867kN 3,32548kNm 19,913kN 2,35301kNm [cm] 13,0449kN 6,898125kN ΣX= -21,0 + 19, ,0867= -0,0003 0,0kN ΣY= -15,0 + 40,0 17,0 x 1,6 6, ,0499-6, ,24459 = 0, ,0kN ΣM 2 = 19,913 x 3,5 +2,24459 x 4,0 +2, , x 1,6-17 x 1,6 x 0,8-15 x 2, ,1959 x 8,5-3, ,0499-1,0867 x 3,5 = 0,0025 0,0kNm 3.0 Sprawdzenie naprężeń normalnych wywołanych momentami zginającymi: dla prętów o σ MAX = M max W σ =215MPa dop σ 1 = 2168,57 =84,1MPa<σ 258 dop =215MPa dla prętów o σ 2 = 898, =20,4 MPa<σ dop=215mpa Wnioski: Przekroje spełniają warunek wytrzymałościowy. Ze względu na niskie wykorzystanie przekrojów można by je zmniejszyć. Zmiana przekrojów oznacza zmianę współczynnika n=, należało by zatem przeprowadzić obliczenia ponownie; wyznaczyć ponownie rozkład momentów zginających M p n i ponownie sprawdzić naprężenia dla obydwu grup prętów: i.