Geometria i łuku (1) Wezg z ło ł w o ia ia punkty po dpa rcia ł a uku; Klucz ( cz zwornik) najw na y jw żs ż zy z punk łuku łu ; klu kl c u z ku;

Transkrypt

1 Mechanika ogóna Wykład nr 1 Pręty o osi zakrzywionej. Łuki. 1 Łuki, skepienia Łuk: : pręt o osi zakrzywionej (w stanie nieodkształconym) w płaszczyźnie działania sił i podparty na końcach w taki sposó, że podpory nie mogą się wzgędem sieie przemieszczać. Skepienie: : łuk, którego szerokość w stosunku do rozpiętości jest znaczna.

2 Zaety łuków (1) Jeżei podpory nie mogą się wzgędem sieie poruszać, to przy ociążeniu wyłącznie pionowym, w łuku występuje znaczna redukcja momentów zginających. Poziome siły na podporach nazywane są rozporem łuku. 3 Zaety łuków () W przeciwieństwie do eek i ram, które wykonuje się z materiałów sprężystych, przy zapewnieniu nieprzesuwności podpór wzgędem sieie, łuki nawet o dużej rozpiętości mogą yć wykonywane z materiałów kruchych (np. mur cegany u kamienny, eton niezrojony). 4

3 Geometria łuku (1) Wezgłowia punkty podparcia łuku; Kucz (zwornik) najwyższy punkt łuku; f Strzałka łuku: f Rozpiętość łuku: Wyniosłość - stosunek strzałki łuku do rozpiętości: 1 1 f 1 wezgłowia kucz 5 Geometria łuku () Podział ze wzgędu na wymiary łuku: Strzeiste (wyniosłe, podwyższone); Płaskie (oniżone); Wspięte (podpory na różnych poziomach). Podział ze wzgędu na wymiary przekroju: O stałym u zmiennym przekroju. Kształt osi łuku: Kołowe, paraoiczne, sinusoidane, eiptyczne. 6

4 Kształt osi łuku (1) Łuki paraoiczne: Równanie łuku: 4 f f y 4 f y Pochodna: dy 4 4 tg = f f d Funkcje trygonometryczne: 1 cos = 1 tg y tg sin = 1 tg ' 7 Kształt osi łuku () Łuki kołowe: Równanie łuku: y f r r dy Pochodna: tg = d r Funkcje y trygonometryczne: 1 cos = 1 tg tg sin = 1 tg / O r / f 8

5 Schematy statyczne konstrukcji prętowych zakrzywionych (1) eki zakrzywione (stosowane np. jako układy podstawowe przy rozwiązywaniu metodą sił): eka swoodnie podparta: eka wspornikowa: 9 Schematy statyczne konstrukcji prętowych zakrzywionych () Łuki statycznie wyznaczane: Łuk trójprzeguowy:

6 Schematy statyczne konstrukcji prętowych zakrzywionych () Łuk ze ściągiem siła rozporu przejmowana jest przez prostoiniowy rozciągany pręt: W ceu zapewnienia odpowiedniej przestrzeni pod łukiem wykonuje się także łuki o ściągach w kształcie inii łamanej. 11 Schematy statyczne konstrukcji prętowych zakrzywionych (3) Łuki statycznie niewyznaczane: Łuk z jednym przeguem: Łuk ezprzeguowy: Łuk dwuprzeguowy: Łuk ze ściągiem: 1

7 Rozwiązywanie łuków Wyznaczanie reakcji: Z równań równowagi z ewentuanym wykorzystaniem przeguów. Siły wewnętrzne: Na podstawie sił wewnętrznych ekowych z następujących wzorów: N sin N T N N cos T sin N N N cos T cos T T sin T T T cos N sin 13 Warunki różniczkowe (1) Warunki równowagi zapisywane w odniesieniu do zmiennej s odmierzanej wzdłuż osi łuku: qn s qs s d O s 3 sin 6 cos 1 sin d d cos d 1 M dm q n s ds N dn qs s ds T M T dt N d O 14

8 Warunki różniczkowe () d d S N N dncos d qs s dssin T dtsin d qn s dscos 0 dn d T qn s ds ds d d N T T dtcos d qss dscos N dnsin d qn s dssin 0 dt d N qs s ds ds N dnsin d ds cos d N dncos d ds sin d M M M dm T dt cos d dscos d T dt sin d dssin d d ds d d ds d qss dssin sin qss dscos cos d ds d d ds d qnsdssin sin qnsdscos cos 0 dm T s ds 15 Warunki różniczkowe (3) ds d dn 1 T q s n ds dt 1 N qs s ds dm T s ds Ekstremum momentu zginającego występuje w punkcie, w którym równanie siły tnącej ma miejsce zerowe. 16

9 Przykład 1 Wyznaczyć siły wewnętrzne w trójprzeguowym łuku paraoicznym: 4/m f=3m 5m 3m m =m f 3 17 Przykład 1 reakcje podporowe 4/m C H H f=3m V 5m 3m m =m X H H 4 3m0 m Y V V 0 V 3m M Vm8m4 3m 0 m p M V 5mH 3m3m0 C H V V H 5,667 0, 9,8 6,333 18

10 Przykład 1 geometria łuku 4/m ( deg V H C H 5m 3m m =m f=3m V tg_fi( cos_fi( sin_fi( 4f ( 1 1 tg_fi ( ) tg_fi( 1 tg_fi( ( atan( tg_fi( ) 3 6 y 5m 5 19 Przykład 1 przekrój 1 4/m H 1 C H 3 f=3m 0;5m N N cos T sin V 5m 3m m =m V T T cos N sin N 1 ( H cos_fi( 4 m y( cos_fi( V sin_fi( N 1 ( 0m) N 1 ( 5m) T 1 ( V cos_fi( H sin_fi( 4 m y( sin_fi( M 1 ( V H y( T 1 ( 0m) m y( y( M 1 ( 0m) 0 m T 1 ( 5m) 0. M 1 ( 5m) 1 3 m 0

11 Przykład 1 przekrój 4/m H 1 C H 3 f=3m 5 m;8m N N cos T sin V 5m 3m m =m V T T cos N sin N ( H cos_fi( 4 m fcos_fi( V sin_fi( N ( 5m) N ( 8m) 5.03 T ( V cos_fi( H sin_fi( 4 m f sin_fi( M ( V H y( T ( 5m) 0. 4 m f y( f M ( 5m) 1 3 m T ( 8m) M ( 8m) m 1 Przykład 1 przekrój 4/m H 1 C H 3 f=3m 8 m;m N N cos T sin V 5m 3m m =m V T T cos N sin N 3 ( H cos_fi( 4 m f cos_fi( V sin_fi( sin_fi ( ) N 3 ( 8m).866 N 3 ( m) T 3 ( V cos_fi( cos_fi( H sin_fi( 4 m f sin_fi( T 3 ( 8m) 4.53 T 3 ( m) M 3 ( V H y( 4 m f y( f ( 8m) M 3 ( 8m) 7.441m M 3 ( m) 0m

12 Przykład 1 zestawienie wyników [m] y [m] tg_fi( cos_fi( sin_fi( ( [rad] ( [deg] N( [] T( [] M( [m] L P Przykład 1 siły normane N( N(

13 Przykład 1 siły tnące, miejsca zerowe T ( ) T ( ) dm1 3 T ,73 7, d m m m 1 1, 435m 4,868m 5 Przykład 1 momenty zginające, ekstrema M ( ) M ( ) M1 1 4, 95m M1 0,01m 6

14 Przykład Wyznaczyć siły wewnętrzne w trójprzeguowym łuku kołowym ze ściągiem: /m 15m 0,5m f=m f 5,5m 1m 1,5m =5m 7 Przykład reakcje podporowe /m C 15m f=m 0,5m V H,5m 1m 1,5m =5m R X H 0 Y VR,5m0 m,5m M R5m15m,5m 0 m H V R 0 0,75 4, 5 8

15 Przykład Równanie łuku r f r f r 8 f 5m m 5m 1 m 8 m 16 r,565m y C y D C y r r D C =3,5m E /=,5m /=,5m =5m D r-f E f=m r y f r r C 1, 797 y y m C y y D y y E 0 0 D E 0,168m 4,83m 9 Przykład siła w ściągu /m C 15m 0,5m V D H H H,5m 1m 1,5m =5m E f=m R H D H E X H H 0 D E H H H p M 15mR 1,5mH y 0,5m 0 C C D E H 6,651 30

16 Przykład geometria łuku /m 0,5m m ( deg V D 0 H H =5m H,5m 1m 1,5m 15m E f=m R tg_fi( cos_fi( sin_fi( r 1 1 tg_fi( tg_fi( 1 tg_fi( ( atan( tg_fi( ) 31 Przykład przekrój 1 /m 0,5m V D m 4 f=m H H E 5 H,5m 1m 1,5m =5m R N N cos T sin T T cos N sin 0;0,168m N 1 ( H cos_fi( V sin_fi( m sin_fi( T 1 ( V cos_fi( m cos_fi( N 1 ( 0m) 0.73 H sin_fi( N 1 D M 1 ( V H y( m T 1 ( 0m) M 1 ( 0m) 0m T 1 D m M 1 D 3

17 Przykład przekrój /m 0,5m V D 1 H 3 15m 4 H E 5 H,5m 1m 1,5m =5m f=m R 0,168 m;,5m N N cos T sin T T cos N sin N ( H cos_fi( V sin_fi( T ( V cos_fi( m cos_fi( m sin_fi( H D cos_fi( N D.381 N (.5m) H sin_fi( H D sin_fi( M ( V H y( T D 6.4 T.5m M D m m H D ( y( 0.5m) ( ) 4.5 M (.5m) 5.601m 33 Przykład przekrój 3 /m 0,5m V D m 4 f=m H H E 5 H,5m 1m 1,5m =5m R N N cos T sin T T cos N sin,5 m;3,5m N 3 ( H cos_fi( V sin_fi( T 3 ( V cos_fi( m.5m cos_fi( m.5msin_fi( H D cos_fi( N 3 (.5m) N 3 ( 3.5m) H sin_fi( H D sin_fi( M 3 ( V H y( T 3 (.5m) 4.5 T 3 ( 3.5m) m.5m.5m H D ( y( 0.5 m) M 3 (.5m) 5.601m M 3 ( 3.5m) m 34

18 Przykład przekrój 4 /m 0,5m V D 1 H 3 15m 4 H E 5 H,5m 1m 1,5m =5m f=m R 3,5 m; 4,83m N N cos T sin T T cos N sin N 4 ( H cos_fi( V sin_fi( m.5m sin_fi( H D cos_fi( N 4 ( 3.5m) N 4 E T 4 ( V cos_fi( m.5m cos_fi( H sin_fi( H D sin_fi( M 4 ( V H y( T 4 ( 3.5m) m.5m.5m M 4 ( 3.5m) 15 m T 4 E H D ( y( 0.5 m) M 4 E 15 m 0.715m 35 Przykład przekrój 5 /m 0,5m V D m 4 f=m H H E 5 H,5m 1m 1,5m =5m R N N cos T sin T T cos N sin 4,83 m;5m N 5 ( H cos_fi( V sin_fi( m.5m sin_fi( H D cos_fi( H E cos_fi( N 5 E N 5 ( 5m) T 5 ( V cos_fi( m.5m cos_fi( H sin_fi( H D sin_fi( H E sin_fi( M 5 ( V H y( 1.76 T 5 E m.5m.5m M 5 E H D ( y( 0.5 m) 0.715m T 5 ( 5m) m M 5 ( 5m) 0m H E ( y( 0.5 m) 36

19 Przykład zestawienie wyników [m] y [m] tg_fi( cos_fi( sin_fi( ( [rad] ( [deg] N( [] T( [] M( [m] L P L P L P Przykład siły normane.5 N( N(

20 Przykład siły tnące, miejsce zerowe T( T( 0 T 1 1, 609m 39 Przykład momenty zginające, ekstremum M( M( M 1 7,531m 40

21 f Racjonana oś łuku (1) Oś łuku, która umożiwia uzyskanie minimanych wymiarów przekroju poprzecznego pręta łuku przy zadanym ociążeniu nazywana jest racjonaną osią łuku. Warunek jest spełniony w przypadku osiowego stanu ociążenia, tj. M=0 we wszystkich punktach łuku. 41 Racjonana oś łuku () Osią racjonaną łuku trójprzeguowego ociążonego równomiernie na całej długości w pionie jest paraoa drugiego stopnia. H V q H V V H V q H f V q 0 1 q q q f 4 8f q q q M Vq Hy y 0 8f q y0 4f 0 y y 4 f 4 f 4

22 Racjonana oś łuku (3) Osią racjonaną łuku ociążonego równomiernie na całej długości w kierunku prostopadłym do osi łuku jest koło. q f H H V V 43