Wyboczenie ściskanego pręta

Transkrypt

1 Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia ściskanego pręta wiąże się ściśle z pojęciem stabilności i stateczności. Stabilnością nazywa się zdolność układów mechanicznych (lub ogólnie fizycznych) do samoczynnego powrotu do stanu równowagi po ustaniu działania czynnika zakłócającego ten stan, natomiast stateczność to zdolność tych układów do przeciwstawiania się takim czynnikom zakłócającym. W przypadku osiowego obciążenia prostoliniowego pręta siłą ściskającą można wyraźnie zaobserwować zakresy jego pracy. W pierwszym zakresie, pręt przenosząc coraz większe obciążenie nie zmienia swojej geometrii (pozostaje prostoliniowy). Istnieje jednak taki poziom siły, nazywany siłą krytyczną, przy którym jej nieskończenie mały przyrost spowoduje ugięcie pręta w kierunku prostopadłym do jego osi, czyli tzw. wyboczenie, i przejście do drugiego zakresu pracy. Dalszy wzrost siły, z reguły niewielki, powoduje wyraźny wzrost ugięcia, przy czym powrót pręta do poprzedniej postaci jest uwarunkowany zmniejszeniem działającego nań obciążenia. Wartości siły krytycznej i pojawieniu się wyboczenia, czyli utracie stateczności, odpowiada określony poziom naprężenia krytycznego. Wynika stąd wniosek, że ocena stateczności może polegać na ocenie poziomu naprężenia krytycznego lub siły krytycznej, przy czym z konstrukcyjnego punktu widzenia, wartości tych wielkości występujące rzeczywiście w pręcie powinny być mniejsze, jeśli pręt ma pracować w zakresie statecznym. 2. Cel ćwiczenia i obiekt badań Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie wartości siły krytycznej ściskanych osiowo prętów o stałym przekroju, dla różnych warunków zamocowania ich końców, pracujących w zakresie odkształceń sprężystych. Przykładowy schemat obciążenia i zamocowania pręta pokazano na rys. 1. f P l x y Rys. 1. Schemat obciążenia pręta i postaci wyboczenia 1

2 3. Podstawy teoretyczne ([1],[2]) Obciążenie pręta, pokazanego na rys. 1, siłą P < P kr nie powoduje zmiany kształtu jego osi, a naprężenie ściskające wynosi: σ = P/A (1) gdzie: A pole powierzchni przekroju poprzecznego pręta. Odpowiadające temu obciążeniu skrócenie długości pręta wynosi: Δl = P a/e A (2) gdzie: E moduł sprężystości podłużnej (Younga) materiału pręta. Z chwilą osiągnięcia przez obciążenie wartości krytycznej P = P kr pojawia się moment gnący M g, który wraz z siłą ściskającą określa nowy stan równowagi pręta. W rozpatrywanym przypadku moment ten jest związany z ugięciem w kierunku poprzecznym do osi pręta wzorem: EI = M g =P (f y) (3) gdzie: I geometryczny moment bezwładności przekroju. Należy w tym miejscu zaznaczyć, że wyboczenie nastąpi w płaszczyźnie, w której wartość sztywności na zginanie pręta EI jest najmniejsza, a więc i promień bezwładności przekroju poprzecznego jest najmniejszy. Wynosi on: Przyjmując, że: k 2 = P / EI równanie (3) przybiera postać: a jego rozwiązanie ma postać (np.[2]): i = (4) (5) (6) Z warunków brzegowych (rys. 1) wynika, że dla x=0 jest y=0 oraz C 1 = -f i C 2 = 0, a równanie różniczkowe linii ugięcia ma postać: = 0, a więc Wielkość k w stanie odpowiadającym utracie stateczności ma wartość wynikającą z równania (7) dla x = l, które przyjmuje postać: Z (8) wynika, że musi być cos(kl )= 0, a to jest możliwe, gdy: dla n = 0, 1, 2, 3,.. 2 (7) (8) (9)

3 Tak więc, w stanie krytycznym wielkość k jest określona wzorem: (10) i osiąga najmniejszą wartość dla n = 0. Ostatecznie, najmniejsza wartość siły krytycznej jest opisana równaniem Eulera: Aby uwzględnić sposób zamocowania końców pręta, wprowadza się pojęcie długości zredukowanej l red = α l. Na rys. 2 podano wartości współczynników α dla różnych warunków zamocowania. (11) a) P α = 2 b) P α = 1 c) P α =0.5 d) P α = 0.7 Rys. 2. Przypadki zamocowania końców pręta Po uwzględnieniu warunków zamocowania, równanie (11) przybiera postać: (11a) Obciążeniu krytycznemu pręta odpowiada stan naprężenia poprzedzający wystąpienie momentu gnącego, a więc: (12) Powyższy wzór jest najczęściej modyfikowany poprzez wprowadzenie pojęcia smukłości pręta λ, definiowanej jako stosunek długości zredukowanej pręta do promienia bezwładności przekroju poprzecznego: gdzie: Ostatecznie, wzór (12) można przedstawić w postaci: (13) 3

4 (13a) Równanie to określa granicę między stateczną (prostoliniową) i niestateczną (wyboczoną) postacią pręta w zależności od poziomu obciążenia (naprężenia) i jego smukłości, i ma postać hiperboli (rys. 3). σ kr R H Q wyboczenie Q J-O obszar stateczności λ gr Rys. 3. Hiperbola Eulera - wg równania (13a) - zakresy pracy Jednak badania doświadczalne wykazują, że wzór Eulera jest stosowalny dla smukłości λ > λ gr. Wartość smukłości granicznej odpowiada wartości granicy proporcjonalności R H, a więc: (14) Punkt Q hiperboli Eulera o współrzędnych (λ gr, R H ) jest więc granicą obszaru, w którym λ < λ gr, a naprężenia krytyczne określa wzór doświadczalny Tetmajera- Jasińskiego. W tym przypadku, zależność (λ) ma postać prostej o równaniu: (15) λ i stałych: c 1 = R e (R e granica plastyczności materiału pręta), Stosowany jest również wzór doświadczalny Johnsona-Ostenfelda, w którym zależność (λ) opisuje parabola o równaniu: (16) i stałych:,, Należy jednak podkreślić, że w przypadku wzoru Johnsona-Ostenfelda smukłość graniczną określa zależność: (17) co oznacza przesunięcie punktu Q w prawo (rys. 3). Jak widać, w zakresie λ < λ gr wyboczenie ma charakter niesprężysty. 4

5 Obecność wstępnego ugięcia f 0, o wartości małej w stosunku do wymiarów przekroju poprzecznego, powoduje zwiększenie ugięcia końca pręta pokazanego na rys. 1, a równanie linii ugięcia (5) ulega modyfikacji (np.[3]): Uwzględniając, że k 2 = P /EI (w tym przypadku P < P kr ) i rozwiązując powyższe równanie analogicznie do rozwiązania równania (5), otrzymuje się: Równanie (19) może być w praktyce wykorzystane do wyznaczenia sił krytycznej powodującej wyboczenie ściskanego pręta, bowiem jest ono równaniem prostej we współrzędnych f f/p nachylonej względem osi odciętych pod kątem tg φ = P kr. Istotny wpływ na utratę stateczności ściskanego pręta może mieć także zmiana wymiarów przekroju poprzecznego, co często jest wykorzystywane w konstruowaniu np. słupów [2], w celu zwiększenia ich nośności. 4. Stanowisko pomiarowe i przebieg pomiarów Pomiary są realizowane na maszynie wytrzymałościowej MTS 858, wyposażonej w wymienne uchwyty próbek, wykonanych z różnych materiałów, zmiennej smukłości i warunkach zamocowania końców. Dla każdej próbki należy dokonać pomiaru ugięcia w przekroju, w którym występuje f max, a więc: dla x = l w przypadku pokazanym na rys. 2a, i x = l/2 w przypadkach pokazanych na rys. 2b i 2c, dla 6-ciu różnych poziomów siły P. 5. Opracowanie wyników pomiarów Na podstawie zarejestrowanych danych należy sporządzić wykresy f f/p i określić wartości sił krytycznych. Uzyskane wartości P kr należy porównać z wartościami teoretycznymi, wyznaczonymi za pomocą zależności (11a), z uwzględnieniem odpowiedniej wartości współczynnika α. 6. Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: schemat stanowiska pomiarowego i obciążenia próbek, charakterystyki badanych próbek (geometria, dane materiałowe), dane z pomiarów ugięcia, wykresy f f/p i obliczenia doświadczalnych wartości sił krytycznych, obliczenia teoretycznych wartości sił krytycznych, wnioski wynikające z przeprowadzonych pomiarów Literatura [1] Romanów Fr., Stateczność konstrukcji, Wyd. WSI w Zielonej Górze, Zielona Góra, [2] Żuchowski R., Wytrzymałość materiałów, Oficyna Wyd. Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, [3] Badania eksperymentalne w wytrzymałości materiałów, pod red. St. Joniaka, Wyd. Polit. Poznańskiej, Poznań, (18) (19) 5