Belki na podłożu sprężystym

Transkrypt

1 Belki na podłożu sprężystym podłoże inkleroskie, rónanie różniczkoe ugięcia belki, linie płyoe M-Q-, belki półnieskończone, sposób Bleicha, przykład obliczenioy odłoże inkleroskie Założenia Winklera spółpracy podłoża z belką są następujące: - brak tarcia między belką a podłożem, - ięzy dustronne między podłożem i belką - odpór podłoża proporcjonalny do przemieszczenia: r( ( k( gdzie b jest szerokością belki, spółczynnik c określa podatność podłoża ( Ma/m). Ziązki różniczkoe dla belki na podłożu sprężystym będą analogiczne jak dla zykłej belki, za yjątkiem ciągłego oiążenia poprzecznego, które uzupełniamy członem ynikającym z odporu podłoża: d ( M (, dx EJ dm ( Q(, dx dq( ( r( dx skąd: d ( d M ( ( r( ( k( dx dx EJ EJ EJ odstaiając:, albo d ( ( (. dx EJ EJ, EJ m, x otrzymujemy rónanie różniczkoe ugięć belki na podłożu sprężystym: e spółrzędnych bezymiaroych.. d ( ) ( ) ( ) d Jest to niejednorodne rónanie Eulera. Roziązanie rónania (jego całka ogólna) jest sumą całki szczególnej rónania niejednorodnego i całki ogólnej rónania jednorodnego: s ( ) ( ) e ( Asin Bcos ) e ( Csin Dcos ) (całka ogólna może być też yrażona za pomocą funkcji hiperbolicznych - sinh( ) i cosh( ) ). Statyczne arunki brzegoe (jeśli ystępują) mają postać: M ( ) EJ''( ), Q( ) EJ'''( ). Jeśli () = 0 to s () = 0, jeśli zaś () = const to s () = belki pod jednorodnym oiążeniem ciągłym. = const. Jest to ugięcie Wyrażenie e bardzo szybko rośnie. Aby otrzymać skończone artości roziązania, stałe C i D muszą się zeroać. Zmuszeni jesteśmy do poszukiania roziązania osobno dla < 0, gdzie A = B = 0 i osobno dla > 0, gdzie C = D = 0.

2 Wyrażenie e - szybko maleje, człon zaierający to yrażenie przedstaia tz. drgania harmonicznie gasnące (tłumione). raktycznie można przyjąć że dla > 5 odpoiednie człony się zerują. Wproadźmy oznaczenia: ( ) e ( ) e ( ) e ( ) e (sin cos ), ( sin cos ), cos, sin, Linie płyoe M, Q, () Rozpatrzmy problem belki na podłożu sprężystym, oiążonej siłą skupioną. Roziązujemy problem osobno dla x > 0 oraz x < 0. Z symetrii ugięcia belki zględem przekroju oiążenia ynikają arunki: lim '( ) 0 oraz Q( 0) Q( 0), EJ ' ''( ). 0 r() Wyliczając stałe całkoania, osobno każdym z przedziałó, otrzymujemy zory, które łącznie zapiszemy: ( ) 8 EJ M ( ), Q( ). (Wykres dla Q( jest odrócony, z uagi na oś skieroaną dół.), ostępując podobnie dla belki oiążonej momentem skupionym, otrzymujemy zory (dla momentu działającego zegaroo): już exp(-.6) = 0.0

3 M 0 ( ) EJ M 0 M ( ), M 0 Q( )., (odobnie jak poprzednio, dla osi rzędnych skieroanej dół, ykres Q( jest narysoany po przecinej stronie niż zykle). oyższe zory można odczytyać dojako: - jako artość ugięcia (momentu zginającego, siły poprzecznej) przekroju ξ od oiążenia działającego początku układu spółrzędnych, albo - jako artość ugięcia (momentu zginającego, siły poprzecznej) przekroju oddalonym o - ξ od przekroju działania oiążenia. W tym drugim przypadku, dla jednostkoej artości oiążenia, otrzymamy tz. linie płyoe odpoiednich ielkości. osługując się poyższymi zorami oraz zasadą superpozycji, można prosty sposób obliczać artości ugięć, momentó zginających i sił poprzecznych yołanych doolnym układem oiążenia. rzykład liczboy MN/m m 500 Ma/m m m 50 Ma/m 500 Ma/m Dane dla belki E = 0 Ga, b h = 0.5 m Roziązanie Z uagi na zmieniający się spółczynnik odporu mamy przedziały charakterystyczne rónania na ugięcia. Zapisujemy rónanie różniczkoe ugięć dla każdego z przedziałó.

4 [m] Adam Zaborski belki na podłożu inkleroskim Ogólna postać całki szczególnej dla każdego z przedziałó jest taka sama, ale artości są różne dla różnych przedziałó: i ( ), ( ) 0.00, ( ) 0.0, ( ) 0.00, Rónania ugięć przedziałach mają postać (spółrzędna ξ dla każdego przedziału definioana lokalnie): ( ) e ( ) e ( ) e A sin( ) B cos( ) e C sin( ) D cos( ), A sin( ) B cos( ) e C sin( ) D cos( ), A sin( ) B cos( ) e C sin( ) D cos( ). Do yznaczenia stałych całkoania potrzebujemy arunkó brzegoych. Będą to: arunki brzegoe: M (0) 0 Q (0) 0 M e e (.85) A cos.85 B sin.85 e C cos.85 D sin.85 A Q (.85) 0 EJ EJ y y EJ EJ ''(0) '''(0) y y 0 0 ''(.85) '''(.85) A ( A 0 0 C cos.85 sin.85 B cos.85 sin e C cos.85 sin.85 D cos.85 sin.85 0 = 8 arunkó zszycia (zgodności): (.85) (0), ''(.85) (.79) (0), '(.85) ''(0), ''(.79) ''(0), '(0), 0 B ) ( C '''(.85) '(.79) '(0), '''(0), '''(.79) '''(0), D ) 0 o roziązaniu układu rónań (, otrzymujemy explicite funkcje, M, Q, r. ugięcia 0 0, ,005-0,0-0,05-0,0 0 0, 0, 0, 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 x/l

5 r( Q( M( Adam Zaborski belki na podłożu inkleroskim moment zginający,00e+06,00e+06 0,00E+00 -,00E+06 -,00E+06 -,00E+06 -,00E , 0, 0, 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 x/l siła poprzeczna,00e+07 5,00E+06 0,00E+00-5,00E+06 -,00E , 0, 0, 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 x/l odpór podłoża , 0, 0, 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 x/l Belki pół-nieskończone Jeżeli spółrzędna ξ jest z przedziału liczb (0, ), stałe całkoania C i D automatycznie się zerują (dla funkcja ykładnicza szybko zmierza do nieskończoności), i roziązanie się upraszcza do znalezienia całki szczególnej i dóch stałych całkoania z arunkó brzegoych. rzykład Mo całka szczególna ( ) 0, z arunkó brzegoych: M 0) M, Q(0 ) otrzymujemy: s ( ) e M 0 sin M 0 EJ ( 0 cos

6 rzykład całka szczególna otrzymujemy: s ( ), z arunkó brzegoych: ( 0) M(0) 0 ( ) e cos rzykład całka szczególna otrzymujemy: s ( ), z kinematycznych arunkó brzegoych: ( 0) '(0) 0 ( ) e cos sin.

7 rzykład Obliczyć ugięcia belki nieskończonej długości oiążonej stałym oiążeniem ciągłym i opartej na dóch niepodatnych podporach, których bezymiaroa odległość m: Całka szczególna s ( ). Nieiadome siły reakcji obliczamy z arunku zeroania się ugięcia na podporach. Zastosoanie linii płyoych daje: skąd mamy: 8 EJ (0) ( m) 0 e m cos m sin m Wykresy ugięć zależą od bezymiaroej odległości między podporami. Odległość ta jest nie tylko funkcją odległości fizycznej ale i spółczynnika, który z kolei jest stosunkiem spółczynnika podatności podłoża, c, i sztyności zginania belki, EJ., Sposób Bleicha Rónanie różniczkoe ugięć belki na podłożu sprężystym ymaga yznaczenia, każdym przedziale charakterystycznym dla (, całki szczególnej oraz stałych. Już dla paru przedziałó zadanie staje się rachunkoo uciążlie.

8 Sposób Bleicha polega na zastąpieniu belki o skończonej długości belką nieskończenie długą, oiążoną identycznie obszarze belki skończonej, a poza tym obszarem tak oiążoną, aby uzyskać zgodność statycznych arunkó brzegoych z belką rzeczyistą. Zgodność statycznych arunkó brzegoych zapeniamy przykładając z każdej strony belki po die siły takiej odległości, aby uprościć obliczenia poprzez zeroanie się przekrojach skrajnych niektórych funkcji płyu. R R R R / / / / Wykorzystując zasadę superpozycji oraz funkcje płyu, zapisujemy: rónanie momentó zginających: M ( ) rónanie sił poprzecznych: Q( ) j M i i j i j j rónanie odporu podłoża: j i M j i m i j j j r( ) i i M j m. i j j W poyższych rónaniach przyjęto, że dodatnia i jest skieroana dół a dodatni M j jest skieroany zgodnie ze skazókami zegara. Górne znaki oboiązują dla oiążenia znajdującego się z praej strony przekroju (tzn. gdy i > ). onadto, ( m ) oznaczają iększą (mniejszą) z odległości od przekroju do początku (końca) oiążenia ciągłego. Jeśli rozpatryany przekrój znajduje się enątrz przedziału działającego oiążenia ciągłego, oiążenie to należy obliczać osobno dla części po praej i leej stronie przekroju. Wszystkie funkcje mają argumenty dodatnie. Z arunkó brzegoych na końcach belki yznaczamy R,..., R. Jeśli długość belki (bezymiaroa) jest iększa od 5, to można przyjąć, że oddziałyanie sił z jednej strony belki na jej drugim końcu jest pomijalnie małe i układ rónań rozprzęga się (możemy poiedzieć, że belka jest długa, tzn. oiążenie na jednym jej końcu nie ma już płyu na roziązanie na przeciległym końcu). Jak idać, o tym, czy belka jest długa czy krótka decyduje nie tylko rzeczyista jej długość, lecz pośrednio i zajemny stosunek sztyności zginania belki i spółczynnika odporu podłoża. Belka o dużej sztyności jest krótsza niż o mniejszej sztyności. Belka jest też krótsza jeśli spółczynnik odporu jest mniejszy. rzykład obliczenioy m R R 0. MNm MN 0.08 MN/m R R 9 m 9 m

9 b h = m, E = Ga, c = 60 Ma/m. Obliczenia: 0.8, k 96 m EJ 0 6 a statyczne arunki brzegoe (zgodności): M A = M = 0. MNm, dla = 0 +, (alternatynie M A = 0 dla = 0 - ) Q A = - = - MN, dla = 0 +, (alternatynie Q A = 0 dla = 0 - ) M B = 0 dla = 7.88, Q B = 0 dla = Z roziązania układu rónań otrzymujemy: R =.806 MN, R =.76 MN, R = 0.8 MN, R = MN. Wykresy ugięć, momentó zginających oraz sił poprzecznych przedstaiają poniższa tabela i ykresy. x, m , mm M, MNm Q, MN [m] ugięcia 0,00 0, , ,00-0,006-0,008,00E+06 moment zginający 8,00E+05 6,00E+05,00E+05,00E+05 0,00E ,00E+05 -,00E+05

10 siła poprzeczna,00e+05,00e+05 0,00E ,00E+05 -,00E+05-6,00E+05-8,00E+05 -,00E+06 -,0E+06 Wykres odporu podłoża jest proporcjonalny do ykresu ugięć. Belka musi pozostaać rónoadze, tzn. że oiążenie zenętrzne musi być rónoażone odporem podłoża.