3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ

Transkrypt

1 3. ÓWNOWG PŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Zadanie 3. elka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie zaś w punkcie spoczywa na podporze przegubowej ruchomej, rysunek 3... by belka była statycznie wyznaczalna w punkcie D umieszczono przegub. Wyznaczyć niewiadome podporowe. elka jest obciążona obciążeniem ciągłym o intensywności q na długości a, a w punkcie C momentem skupionym M. ys.3.. ozwiązanie Wzdłuż osi belki prowadzimy oś x układu współrzędnych, a oś y pionowo w górę przez punkt (rys.3..). ys.3.. W zależności od rodzaju podpór zakładamy w nich odpowiednie niewiadome podporowe. Dla płaskiego dowolnego układu sił mamy trzy równania, plus jedno równanie momentów

2 względem przegubu. Często najłatwiej jest ułożyć dwa równania momentów po obydwu stronach przegubu (wtedy nie wolno układać równania momentów dla całej belki) i dwa równania rzutów na osie przyjętego układu. ) ) iy ; ; x y + równanie momentów względem przegubu D po prawej stronie przegubu p 3) MiD ; M + a ; równanie momentów względem przegubu D po lewej stronie przegubu l 4) MiD ; M ya + z równania (3) a, z równania () y +, y z równania (4) 5 5 M ya, M Ostatecznie: 5 x ; y ; ; M Zadanie 3. elkę o długości 3a utwierdzono w punkcie i oparto na podporze przegubowej przesuwnej w punkcie. W punkcie D belka posiada przegub. Wyznaczyć niewiadome podporowe w punktach i oraz oddziaływanie w przegubie D gdy belka jest obciążona obciążeniem

3 ciągłym o intensywności q na odcinku, momentem skupionym M przyłożonym do punktu i siłą skupioną P działającą w punkcie C pod kątem α, rysunek 3... ys.3.. Dane: a m; q kn/m; α 3 o, P ; M. 3 ozwiązanie by móc wyznaczyć oddziaływania w przegubie D musimy belkę rozbić w tym miejscu na dwie części lewą i prawą, rys ys.3.. Dla obydwu części zakładamy w podporach odpowiednie niewiadome podporowe, w punkcie D dla strony lewej i prawej zakładamy przeciwnie skierowane oddziaływania pionowe i poziome, tak aby po złożeniu belki w całość siły te wzajemnie się znosiły. by rozwiązać to zadanie badamy równowagę osobno części lewej i prawej, bo przecież po uwzględnieniu wzajemnych oddziaływań pomiędzy nimi każda z nich musi być w równowadze. Układamy równania równowagi dla części lewej, których jak wiadomo dla płaskiego dowolnego układu sił jest 3.

4 ) ; H x D, ) ; + V q a iy y D, a 3) M ; VD a + M i. Układamy równania dla prawej części: 4) ; H P sin α, D 5) ; V P cos α, D a 6) M ; VD a + + M P cos α a i. ozwiązywanie równań rozpoczniemy od części prawej gdyż tam są równania z jedną niewiadomą. 3 3 z (4) H D Psin α,5 kn, M 3 z (6) VD P cosα kn, a 3 a 3 z (5) VD + + P cos α + + 5kN, z () x H D kn, 6 6 z () V + kn, y D 3 z (3) M VD a + 5kNm. Ostatecznie: 3 x kn, y kn, M 5kNm. 5kN, 6 3 H D kn, V D kn, 6 Możemy teraz przeprowadzić obliczenia sprawdzające nie rozdzielając belki w przegubie D rys

5 ys.3..3 Dla belki z przegubem najlepiej jest rozpocząć układanie warunków równowagi od równań momentów względem przegubu po jego lewej i prawej stronie. Następnie piszemy równania rzutów na oś poziomą i pionową. a P 7) M id ; a + M P cos α a stąd: 3 + 5kN 3 a a L 8) M id ; M y a +, 9) ; P sin α x 3 3 x P sin α kn ) ; + P cos α ; iy y 3 y + P cos α + kn 3 Wstawiając do (8): 3 M y a 5kNm Otrzymane wyniki potwierdzają poprawność poprzednich obliczeń.

6 Zadanie 3.3 Dla ramy przedstawionej na rysunku 3.3. wyznaczyć niewiadome podporowe w punktach i. ama obciążona jest na odcinku pionowym obciążeniem ciągłym o intensywności N q, a w punkcie C przyłożono moment skupiony M [Nm]. m ys.3.3. ozwiązanie Przyjmujemy prostokątny układ współrzędnych,x,y (rys. 3.3.) i przyjmujemy zgodnie z rodzajem podpór niewiadome podporowe. W punkcie (podpora przegubowa stała) niewiadoma rozłożona na dwie składowe x i y o kierunkach osi układu współrzędnych. Zwroty niewiadomych możemy przyjmować dowolnie (przy pewnej wprawie starajmy się aby były one zgodne z rzeczywistymi, co zmniejsza ryzyko pomyłek w czasie obliczeń). W punkcie jedna niewiadoma pionowa. ys.3.3.

7 ównania równowagi dla płaskiego dowolnego układu sił iy M ; ; i ; x y + + a M z których wyznaczamy reakcje x y + a 3 a + 3 Zadanie 3.4 Dla przedstawionej na rysunku konstrukcji wyznaczyć niewiadome podporowe na podporach i oraz siłę w pręcie. Pewną część konstrukcji stanowi łuk o promieniu r a w punkcie C występuje przegub. Obciążenie stanowi siła skupiona P przyłożona w punkcie C, moment skupiony K przyłożony w punkcie E, oraz obciążenie ciągłe o intensywności q działające na pionowy fragment konstrukcji rys ys.3.4.

8 Dane: h r 5m, a m, b 4m l m, P 5kN, K 75kNm, q kn/m. ozwiązanie Przyjmujemy układ współrzędnych jak na rysunku 3.4. i zakładamy niewiadome podporowe w punktach i. by uzewnętrznić siłę w pręcie przecinamy go w dowolnym miejscu a do przegubów i przykładamy dwie przeciwnie skierowane siły S (rys. 3.4.) równe sile wewnętrznej w tym pręcie. ys.3.4. Jest to płaski dowolny układ z przegubem. Do dyspozycji mamy więc cztery równania równowagi. ) ) iy ; ; q h + x y + S S P h 3) Mi ; y l P b q h + K ; i warunek momentów względem przegubu C po prawej stronie przegubu: p 4) M ic ; S r x r + y (a + r) Podstawiamy: P q r; K 3/q r ; h r; a /5r; b 4/5r; l /5r. ) ) iy ; ; q r + x y q r

9 4 r 3 3) M ; y r qr r q + qr 5 5 p 4) M ic ; S r + y ( r + r) x r 5 i ; z () z (3) z () z (4) x qr 5 kn y + qr qr 7,3 kn qr qr qr 7,7 kn S x y qr qr qr 8, kn 5 5 Zadanie 3.5 Wyznaczyć reakcję więzów konstrukcji złożonej z bieżni i umieszczonego na niej wysięgnika W o ciężarze G. ieżnia posiada w punkcie E przegub, ciężar jej pomijamy. Wysięgnik styka się punktowo z bieżnią w punktach C i D, i zawieszony jest na nim ładunek o ciężarze P. Wymiary konstrukcji podano na rysunku 3.5. w metrach. Dane: l m, P kn, Q 5 kn. kąt α 3 ys.3.5.

10 ozwiązanie Potraktujemy konstrukcję jako złożoną z dwóch ciał sztywnych. Wysięgnika W obciążonego tylko pionowymi siłami P i Q (w punktach styku z bieżnią wystąpią tylko oddziaływania pionowe) i bieżni obciążonej siłami oddziaływania wysięgnika. Obydwa ciała znajdują się w stanie równowagi, muszą więc spełniać warunki równowagi. Wysięgnik rys ys.3.5. Traktujemy go jako całość (nie wyznaczamy sił wewnętrznych w prętach wysięgnika). Stanowi on płaski równoległy układ sił. Przyjmujemy prostokątny układ odniesienia, zakładamy w punktach styku pionowe siły C i D i układamy równania równowagi równanie rzutów na oś y ) iy ; C + D P Q równanie momentów względem dowolnego punktu np. punktu C ) MiC ; D l Q l P 5l

11 z równania () 5 5 D Q + P kn wstawiając do () C P + Q D kn Siłami tymi po zmianie ich zwrotów obciążamy bieżnię w punktach C i D. ieżnia rys ys ozpatrujemy teraz równowagę bieżni jako płaskiego dowolnego układu sił z jednym przegubem w punkcie E. Ilość równań (3 + )., Przyjmujemy układ odniesienia i zakładamy niewiadome podporowe w punkcie x, y i M, w punkcie skierowaną pod kątem 9 - α 6 do osi bieżni. 3) ; x cos6 4) iy ; y + sin 6 C D l ) M ; sin 6 8l l 5 ic D p 6) MiC ; C l + M y 4l

12 z(5) z () z () z (4) D sin 6 cos6 kn 3 x 5 kn 3 + sin y C D M Y 4l C l 4l l 3l 3 knm 3 kn Zadanie 3.6 Dwa pełne walce o ciężarach Q 7 kn, Q kn i o promieniach r 3 mm, r mm umieszczono swobodnie w gładkim cylindrze o promieniu r 6 mm, rysunek Wyznaczyć położenie równowagi określone kątem ϕ, reakcje w punktach i oraz wzajemny nacisk walców na siebie. Osie walców i cylindra są poziome. Tarcie w układzie pominąć. ys.3.6. ozwiązanie W punktach i zakładamy reakcje i, które działają wzdłuż prostych OO i OO, zaś wzajemny nacisk walców oznaczamy symbolami N N, (rys.3.6.). Kąt pomiędzy prostymi OO i OO oznaczamy α.

13 ys.3.6. Traktując oba walce jako całość, układamy warunki równowagi jak dla płaskiego dowolnego układu sił. ) ) iy ; ; sin ϕ cosϕ+ sin( α ϕ) cos( α ϕ) Q Q 3) MiO ; Q(r r )sin ϕ Q (r r )sin( α ϕ) ozpoczynamy od wyznaczenia kąta ϕ z równania (3) ozwijamy wyrażenie sin(α - ϕ) Q (r r )sin ϕ Q (r r )(sin αcosϕ cosαsin ϕ) dzieląc przez sinϕ Q (r r ) Q (r r )sin αctgϕ+ Q (r r )cosα stąd ctgα Q ctgα (r r Q z twierdzenia cosinusów (r + r ) (r r ) )cosα + Q(r r ) (r r )sin α (r r ) + (r r ) (r cosα (r r )(r r ) + (r r ) (r r )(r r )cosα + r )

14 wstawiając: (6 3) + (6 ) (3 + ) cosα (6 3) (6 ) sin α cos α,6,8,6 ostatecznie 5, ctgϕ 6 5,8 ϕ 9,46 z równań () i () wyznaczamy reakcje i cosϕ+ sin ϕ sin( α ϕ) sin ϕ cos( α ϕ) Q Q sin( α ϕ) Q + Q cosϕ + sin ϕ ctg( α ϕ) cos9,46 sin ϕ 69,5 6,44 kn sin( α ϕ) sin 9,46 ctg(53,3 69,5 kn 9,46 ) by wyznaczyć oddziaływanie pomiędzy walcami rozpatrujemy równowagę tylko jednego z walców np. pierwszego, rys ys.3.6.3

15 Wyznaczamy wartość kąta γ (rys. 3.6.) z twierdzenia cosinusów: (r r ) γ 9 (r r ) + (r + r ) (r r ) + (r + r ) (r r) cosγ (r r )(r + r ) (r r )(r + r )cosγ Jest to przypadek szczególny i w celu wyznaczenia oddziaływania N ułożymy równanie rzutów na prostą O O gdyż jest ona prostopadła do prostej OO N N Q sin ϕ N 7 sin ϕ,5 kn W przypadku ogólnym gdyby kąt γ był różny od 9 rzutujemy siły działające na walec na prostą OO N Q N cosϕ+ N Q cosγ cosϕ cosγ