ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3

Transkrypt

1 ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE A) o trzech reakcjach podporowych N=3 B) o liczbie większej niż 3 - reakcjach podporowych N>3 A) wyznaczanie reakcji z równań równowagi bez analizy części składowych wyznaczenie więzów wewnętrznych z dodatkowych równań, wymagana jest analiza części składowych. n przegubów wewnętrznych ; n sił wewnętrznych do policzenia z równań I równowagi M ( O i ) = 0, i =,... n.

2 B) 3 równania równowagi dla ustroju płaskiego N-3 równań dodatkowych nie generujących nowych niewiadomych, dotyczących równowagi części składowych. Algorytm: - obliczenie reakcji, - obliczenie części kratowych dostępnymi metodami, (najpierw musimy rozróżnić częsci ramowe i kratowe i zaznaczyć na rysunku, gruba linia rama, cienka krata) - obliczenie sił wewnętrznych dla ram.

3 Przegub Rozcięcie przegubu wprowadza dwie dodatkowe niewiadome. Oblicza się je z równań: I X = 0 I Y = 0

4 Inne rodzaje przegubu: Przypadek ) 4 reakcje podporowe 3 równania rownowagi, równanie ( ) wyznaczenia jednej reakcji I M O = 0 potrzebne do

5 Siły N, N w prętach oblicza się z równowagi wybranej części I X = 0 I Y = 0

6 Przypadek ) 4 reakcje podporowe 3 równania rownowagi, równanie I Y = 0 potrzebne do wyznaczenia jednej reakcji (zamiast ( ) I M O = 0 )

7 Siły N, N w prętach oblicza się z równowagi wybranej części : I M ( O ) = 0 N I M ( O ) = 0 N

8 Siła przyłożona w przegubie sposób rozwiązywania

9 Dla przegubu równanie nie generujące dodatkowej niewiadomej wynikłej z rozciącia konstrukcji na części to I M = 0 lub II M = 0. Przegub pod ramą

10 TYP B PRZYKŁAD

11 Obliczenie reakcji 4 niewiadome reakcje podporowe 3 równania równowagi i równanie zerowania momentu jednej z części ramy względem przegubu. II M ( C) = R = 0 R = 0 kn y G G M ( B) = 0 0 V = 0 V = y A A Y = V + 6,5 + R + R = 0 R = 6, 5 kn A F E B X = 0 H + 5,0 = 0 H = 5 kn A A

12

13 KOLOKWIUM

14 Przykład.. Rozwiązać układ złożony. wymiary w m

15 Rozwiązanie Analiza układu pokazuje, że składa się on z dwóch zasadniczych części: części ramowej A-C-D-E- F-B (układ trójprzegubowy ze ściągiem) na którym w punktach D i F opiera się kratownica. Możemy więc wpierw rozwiązać kratownicę, a następnie układ ramowy. Rozwiązanie kratownicy. Rozwiązanie jej nie powinno stanowić trudności. Schemat statyczny i wartości reakcji obok. Wartości sił podłużnych w prętach podane są niżej: N = 40 0 kn, N = 0 0 kn, N = 7 07 kn, N = 7 07kN, N = 30 0kN, N = 50 kn, = 7 07 kn F 49. N4 F.

16 Rozwiązanie układu ramowego. Obciążony siłami oddziaływania wspierającej się na nim kratownicy, ma reakcje pokazane na rysunku niżej. Siły podłużne w prętach kratowych A-B, C-D i C-E wyznaczymy rozpatrując równowagę lewej części ramy po wykonaniu przekroju jej na dwie części jak to pokazuje rysunek.

17 Z warunków równowagi odciętej części ramy otrzymujemy: M C = 0; N AB * 6 + 0* = 0 N AB = kn, M B = 0; NCD * 6 + 0* 6 0 = 0 NCD = 4. 7 kn, M G = 0 ; NCE * 6 0* 6 0 = 0 NCE = kn. Stąd siły obciążające pręty ramowe rozważanej konstrukcji przedstawiają się następująco: 3.33 kn 0 kn D 3.33 kn E 3.33 kn 4 40 kn 30 kn F 0 kn/m B 30 kn 4 4

18 Wykresy i wartości sił przekrojowych w układzie pokazują poniższe rysunki.

19

20 Przykład.. Rozwiązać układ złożony.

21 Rozwiązanie Analizując konstrukcję możemy zobaczyć, że stanowią ją trzy układy ramowe A--, -C-5 i B, połączone przegubami i 5 oraz spięte dwoma prętami kratowymi (cięgnami) -4 i -3. Ten geometrycznie niezmienny układ opiera się na trzech przegubowo przesuwnych podporach. Konstrukcja jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. Wartości reakcji wyliczone z warunków równowagi układu jako całości pokazane są na rysunku obok. Występowanie prętów kratowych sugeruje sposób rozwiązania polegający na dokonaniu przecieć przez te pręty i odpowiednie przeguby w celu wyznaczenia występujących w prętach sił osiowych a następnie wyznaczenie sił przekrojowych w częściach ramowych Występowanie prętów kratowych sugeruje sposób rozwiązania polegający na dokonaniu przecieć przez te pręty i odpowiednie przeguby w celu wyznaczenia występujących w prętach sił osiowych a następnie wyznaczenie sił przekrojowych w częściach ramowych.

22 Teraz z przekroju β β i zerowania się momentów względem przegubu 5 części prawej wyznaczymy siłę podłużną w pręcie 4-5. M 5 = 0; N N 3 3 * * 3 = 4. 0 kn * 6 5* 3 = 0

23 Siły obciążające pręty ramowe rozważanego układu i wykresy sił przekrojowych pokazane są niżej.

24

25 Przykład.3. Rozwiązać układ złożony.

26 Rozwiązanie Wszystkie pręty tego układu są prętami ramowymi, stąd żadne ułatwienia w jego rozwiązaniu polegające na V H B V R C H V H II H III H 3 V 3 V 3 H 3 IV 5 kn/m 8 V V4 I V 4

27 przecięciach przez przeguby i pręty kratowe nie mogą być zastosowane. W dodatku nie można wyznaczyć wartości reakcji rozpatrując warunki równowagi całego układu. Wynika z tego, że jedynym rozsądnym podejściem do jego rozwiązania to rozbicie na podukłady (jak to pokazane jest obok) i kolejne ich rozwiązywanie. Mamy teraz cztery układy w których występuje niewiadomych reakcji oraz wzajemnych oddziaływań w przegubach, i możemy napisać równań równowagi do ich wyznaczenia. Takie podejście niewatpliwie doprowadzi do wyniku, ale jest jednak dość żmudne.

28 Aby tego uniknąć możemy analizując warunki równowagi poszczególnych części szybciej dojść do rozwiązania. Z warunków równowagi części IV (patrz rys. obok) otrzymujemy: M 4 = 0 H3 = 0. 0 kn, M = H = 0 0 kn Z warunków równowagi części I ( X = 0 ) wynika: H = 0. 0 kn. Teraz z warunków równowagi części II wyznaczymy: M B = 0 H = 0. 0 kn, M = 0 H B = kn. Z warunków równowagi części 0.0 III otrzymujemy: X = 0 R = 0, M = 0 V3 = 0. 0 kn, M = V = 0 0 kn C Pozostało do wyznaczenia: A V, V 4 i D V. V, II I III IV kn/m 8

29 Teraz z warunków równowagi części II otrzymamy: Y = 0 V = 0. 0 kn, a z warunków równowagi części I: M A = 0 V4 = 0. 0 kn, M = 0 VA = 0. 0 kn. Kończymy analizując równowagę części IV, z której wynika: Y = 0 V4 = 0. 0 kn. Ostatecznie wyznaczone wartości oddziaływań pokazuje rysunek wyżej. Wykresy sił przekrojowych pokazane są na rysunkach niżej. 8.8 M knm Q kn 0.0 N kn Przykład.4. Rozwiązać układ złożony. 9 kn A 45 B 3 9 kn wymiary w m

30 Rozwiązanie Wszystkie pręty tego układu są prętami ramowymi, stąd żadne ułatwienia w jego rozwiązaniu polegające na przecięciach przez przeguby i pręty kratowe nie mogą być zastosowane. Ale tym razem w przeciwieństwie do przykładu., łatwo wyznaczymy wartości reakcji z warunków równowagi układu jako całości, ich wartości pokazane są na rysunku obok. 4 9 kn 3 R AH =.0 kn 9 kn A 45 R AV =.0 kn B.5.5 H B =.0 kn V B =7.0 kn

31 Mając obliczone reakcje możemy wyznaczyć wartości sił przekrojowych w prętach A- i -B. Aby wyznaczyć wykres momentów na pręcie -3-4 wycinany go z konstrukcji i obliczamy prostopadłe do niego oddziaływania konstrukcji, które przyjmiemy do obliczeń ze zwrotami dodatnich sił poprzecznych. Z warunków równowagi wyciętego pręta -3-4 otrzymujemy: M 4 = 0 Q3 = 3. 8 kn, M = 0 Q43 = 3. 8 kn, co pozwala na wyznaczenie w nim momentów zginających i sił poprzecznych N kn Q 43 3 Q 3 N 43

32 Momenty zginające i siły poprzeczne w pozostałych przedziałach charakterystycznych możemy wyznaczyć postępując analogicznie. Ale możemy to zrobić prościej pamiętając, o zerowaniu się momentów w przegubach i liniowości funkcji momentów w przypadku braku obciążenia w przedziale. Zatem wykres momentów w rozważanym układzie przedstawia się tak jak to pokazuje rysunek obok. A wykres sił poprzecznych bardzo łatwo wyznaczymy korzystając z zależności między pochodną momentów i siłą poprzeczną. Wykres sił poprzecznych pokazany jest obok na rysunku..0 M knm Q kn ,8 3,8 4,60 4,60.5

33 Siły podłużne wyznaczymy wycinając węzły i rozpatrując warunki równowagi sił na nie działających. Węzeł Y = 0 N3 =. 63 kn, η = 0 N = kn. Węzeł Y = 0 N4 = kn..0 η 3.8 N N N α. sin α=0.8 cos α=0.6 Węzeł 4 Y = 0 N43 = 5. 0 kn. N α 4.60 sin α=0.8 cos α= Wykresy sił podłużnych pokazuje rysunek obok. N kn

34 0 kn/m 30 kn Przykład.5. Rozwiązać układ złożony. C wymiary w m A B

35 Rozwiązanie Wszystkie pręty tego układu są prętami ramowymi. Wartości reakcji wyliczone z warunków równowagi układu jako całości pokazane są na rysunku obok. W tym przykładzie wartości sił przekrojowych w punktach charakterystycznych wyznaczymy postępując inaczej niż poprzednio. Nie będziemy wycinać poszczególnych części układu ale dokonywać przecięć konstrukcji, zaczepiać odpowiednich sił przekrojowych i wyznaczać je z warunków zerowania się momentów w odpowiednich przegubach. 30 kn C 90.0 kn 30 kn 0 kn/m A 80.0 kn N C Q C N B B 60.0 kn Q B Zaczniemy od przecięcia prętów -B i - w odległości dowolnie bliskiej przegubu. Po

36 dokonaniu przecięcia należy zaczepić w przekrojach odpowiednie siły przekrojowe (patrz rys), będą to siła poprzeczna i podłużna (nie będzie momentu zginającego, bo przecięcie dokonane jest nieskończenie blisko przegubu). Po usunięciu przegubu z konstrukcji mamy sytuację pokazaną obok na rysunku. Wartości sił poprzecznych Q C możemy wyznaczyć z warunków równowagi: części -B M B = 0; Q * 5 0* 4* = 0 Q 3. 0 B B = kn, części - M = 0; Q C * 3 C =. Q i 90* = 0 Q 30 0 kn. B N C Q C 90.0 kn N B A 0 kn/m Q B 80.0 kn wymiary w m B 60.0 kn

37 Postępując analogicznie z przegubami oraz B otrzymamy wartości następujących sił poprzecznych: = 40 0 kn, = 60 0 kn, Q = kn, = 3 0 kn. Q A. Q C. BA Q B. Z warunków równowagi sił działających na węzły, i B (patrz wysunki) otrzymamy następujące wartości sił podłużnych: N = N 60 0 kn, N = A BA =. N kn, = 4 0 kn, N B = 4 0 kn. C = C N B.. 60 kn N C 30 kn 3 kn N B 3 kn N A 40 kn 30 kn N B N BA 40 kn B 60 kn N C

38 Wykresy sił przekrojowych pokazane są niżej. M knm Q kn N kn

39 Przykład.6. Rozwiązać układ złożony. 3 A kn/m 4 C 5 4 knm kn/m knm kn B 6 wymiary w m

40 Rozwiązanie Zasadniczą część konstrukcji stanowią dwie części ramowe A-3-C i C-6-B podparte na podporach A oraz B i spięte poprzez przeguby układem prętów ramowych i kratowych zapewniających całemu układowi geometryczną niezmienność. Konstrukcja jest statycznie wyznaczalna. Kolejność rozwiązywania: wyznaczenie reakcji z warunków równowagi całego układu, wyznaczenie siły poprzecznej Q 4 w pręcie ramowym -4 z warunku zerowania się momentów względem przegubu 4 dolnej części pręta -4 po dokonaniu przekroju dowolnie blisko przegubu : M ; Q * 4 = 0 Q = 0 = kn. wyznaczenie siły poprzecznej Q w pręcie ramowym - z warunku.0 kn 3 N Q 4 4 knm 4 knm 4 N 4 kn/m Q 4 knm C 5 kn/m knm A B 5.75 kn 0.5 kn kn/m kn kn 6

41 zerowania się momentów względem przegubu po dokonaniu przekroju dowolnie blisko przegubu, a następnie siły poprzecznej Q z sumowania sił pionowych działających na ten pręt: M = 0 ; Q * * 4* = 0 Q = kn. Q = Q * 4 = 4 kn. Y = 0; 5. wyznaczenie siły podłużnej N w pręcie ramowym - z warunku zerowania się momentów względem przegubu C lewej części konstrukcji po dokonaniu przekroju przez przegub C i dowolnie blisko przegubu : M C = 0; N * * + 4 * = 0 * N = kn C 3 4 knm N 3.5 kn A.0 kn 5.75 kn

42 z warunków równowagi węzła i wyznaczamy nieznane siły podłużne w schodzących się w nich prętach: N 3 = kn, N = 8 50kN, N = 3 50 kn, 4. N = kn N 3 N N N 6 W rezultacie siły przykładane do prętów ramowych pokazane są na rysunkach niżej:.0 kn kn/m A C B 5.75 kn 0.5 kn kn/m knm Wykresy sił przekrojowych można wykonać samodzielnie.

43 Zadanie Wszystkie pręty tego układu są prętami ramowymi, stąd żadne ułatwienia w jego rozwiązaniu polegające na przecięciach przez przeguby i pręty kratowe nie mogą być zastosowane. Ale tym razem w przeciwieństwie do przykładu., łatwo wyznaczymy wartości reakcji z warunków równowagi układu jako całości, ich wartości pokazane są na rysunku obok. 4 9 kn 3 R AH =.0 kn 9 kn A 45 R AV =.0 kn B.5.5 H B =.0 kn V B =7.0 kn Mając obliczone reakcje możemy wyznaczyć wartości sił przekrojowych w prętach A- i -B. Aby wyznaczyć wykres momentów na pręcie -3-4 wycinany go z konstrukcji i obliczamy prostopadłe do niego oddziaływania konstrukcji, które przyjmiemy do obliczeń ze zwrotami dodatnich sił poprzecznych.

44 Z warunków równowagi wyciętego pręta -3-4 otrzymujemy: M 4 = 0 Q3 = 3. 8 kn, M = 0 Q43 = 3. 8 kn, co pozwala na wyznaczenie w nim momentów zginających i sił poprzecznych N kn Q 43 3 Q 3 N 43 Momenty zginające i siły poprzeczne w pozostałych przedziałach charakterystycznych możemy wyznaczyć postępując analogicznie. Ale możemy to zrobić prościej pamiętając, o zerowaniu się momentów w przegubach i liniowości funkcji momentów w przypadku braku obciążenia w przedziale..0 M knm Q kn ,8 3,8 4,60 4,60.5

45 Zatem wykres momentów w rozważanym układzie przedstawia się tak jak to pokazuje rysunek obok. A wykres sił poprzecznych bardzo łatwo wyznaczymy korzystając z zależności między pochodną momentów i siłą poprzeczną. Wykres sił poprzecznych pokazany jest obok na rysunku. Siły podłużne wyznaczymy wycinając węzły i rozpatrując warunki równowagi sił na nie działających. η 3.8 N 3 Węzeł Y = 0 N3 =. 63 kn, η = 0 N = kn N

46 Węzeł Y = 0 N4 = kn N α. sin α=0.8 cos α=0.6 Węzeł 4 Y = 0 N43 = 5. 0 kn. N α 4.60 sin α=0.8 cos α= Wykresy sił podłużnych pokazuje rysunek obok. N kn