Politechnika Białostocka

Transkrypt

1 Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 5 Temat ćwiczenia: BADANIE PRĘTA O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM NA WYBOCZENIE KOD: B O Studia:, 1-go stopnia Kierunek: Budownictwo Semestr: 3 Autor: dr inż. Jarosław Malesza Białystok 2018

2 1. Wstęp 1.1. Siła krytyczna w pręcie podpartym przegubowo Wyboczenie pręta to poprzeczne przemieszczenie jego przekrojów w wyniku osiowego ściskania. Jak wykazują badania doświadczalne, podczas osiowego ściskania prętów o długości znacznie przewyższającej wymiary przekroju poprzecznego, utrata nośności pręta występuje przy obciążeniach mniejszych od wynikających z jego wytrzymałości na ściskanie. Jeżeli siła ściskająca nie przekracza pewnej granicznej wartości pręt pracuje na ściskanie, a jego oś pozostaje linią prostą. Próba wytrącenia pręta ze stanu równowagi za pomocą poziomo przyłożonej siły kończy się wówczas powrotem pręta do prostoliniowego kształtu tuż po usunięciu przyczyny przemieszczenia. Po przekroczeniu granicznego obciążenia pręt zaczyna wyginać się, a jego oś przyjmie kształt krzywej. Na skutek wygięcia, pręt oprócz ściskania zaczyna być zginany momentem M(x) = P y, który wywołuje w jego przekrojach dodatkowe naprężenia. W konsekwencji pogłębiające się wygięcie i zwiększający się moment oraz naprężenia prowadzą do zniszczenia nazywanego utratą stateczności. Graniczną wartość siły, przy której ściskany pręt przestaje być stateczny nazywamy siłą krytyczną Pkr. Stateczność (wyboczenie) jest zagadnieniem bardzo ważnym, gdyż jej utrata przez jeden z elementów może prowadzić do zniszczenia całej konstrukcji. Z tego względu siłę krytyczną traktuje się w projektowaniu jak siłę niszczącą. Schematem, dla którego po raz pierwszy Euler ustalił formułę siły krytycznej był pręt obustronnie podparty przegubowo. Siłę tą zdefiniował jako osiowe obciążenie wystarczające do utrzymania pręta w kształcie lekko wygiętego łuku. Obciążenie krytyczne wyznacza się na podstawie równania różniczkowego ugiętej osi pręta (krzywizny pręta). gdzie: k 2 = P E I d 2 y dx 2 = M(x) E I d 2 y P y = dx2 E I d 2 y dx 2 = k2 y Rozwiązaniem (całką ogólną) powyższego równania jest : y = C 1 sin(k x) + C 2 cos(k x) Stałe całkowania C1 i C2 ustala się na podstawie warunków brzegowych: 1. y(x = 0) = 0 2. y(x = L) = 0

3 Na podstawie pierwszego warunku otrzymujemy C 2 = 0, a z drugiego C 1 sin(k L) = 0. Równanie to jest spełnione, gdy sin(k L) = 0, a to gdy k L = 0, π, 2π, 3π,. Zważywszy, że ani L, ani k nie mogą być równe 0, pierwszym sensownym rozwiązaniem jest k L = π, skąd otrzymujemy: P kr = π2 E I L 2 gdzie: E jest modułem odkształcalności podłużnej materiału, L jest długością pręta, I jest najmniejszym momentem bezwładności przekroju pręta. Inne wartości siły krytycznej otrzymujemy, gdy k L = 2π, 3π, : P kr = 4π2 E I, P L 2 kr = 9π2 E I,, P L 2 kr = n2 π 2 E I L 2 Powyższe wzory noszą nazwę wzorów Eulera. Ze względów bezpieczeństwa konstrukcji najważniejsza jest najmniejsza wartość siły krytycznej (n=1), ale wszystkie przedstawione rozwiązania mają znaczenie praktyczne. Wartość P kr = π2 E I L2 odpowiada sinusoidalnemu ugięciu pręta z jedną półfalą zgodnie ze wzorem y = C 1 sin(π x/l). Aby pręt przyjął kształt sinusoidy o dwóch półfalach należy go unieruchomić w środku długości, a siła wywołująca wyboczenie będzie wówczas równa P kr = 4π2 E I L 2. Unieruchomienie pręta w trzech miejscach spowoduje jego wygięcie w kształcie sinusoidy o trzech półfalach, a potrzebna do tego siła powinna być nie mniejsza niż P kr = 9π2 E I π w w/w wzorach (n π) 2 jest równy liczbie półfal wygiętego pręta. L 2. Wielokrotność n liczby Pręt poddany wyboczeniu ma tendencję do wychylania się w płaszczyźnie najmniejszej sztywności, której odpowiada mniejszy moment bezwładności Smukłość pręta Przenosząc we wzorze na siłę krytyczną składnik n 2 do mianownika otrzymujemy: gdzie : L w = L n P kr = π2 E I π 2 E I L 2 = L2 w n 2 jest długością wyboczeniową pręta. Dzieląc I/A wprowadzamy pojęcie promienia bezwładności przekroju i 2 = I A,

4 a wzór na siłę krytyczną przyjmuje postać : gdzie: λ = L w i jest smukłością pręta. P kr = π2 E A λ Naprężenia krytyczne i smukłość graniczna Naprężenia krytyczne wywołane siłą krytyczną wyznaczamy jak dla pręta ściskanego (przy założeniu, że wygięcie pręta spowodowane siłą krytyczną jest bardzo małe, co oznacza, iż pomijamy wpływ momentu zginającego) : σ kr = P kr A σ kr = π2 E λ 2 Jeśli przyjmiemy, że maksymalne dopuszczalne naprężenia ściskające odpowiadają granicy sprężystości materiału, z którego wykonany jest ściskany pręt σ kr = f e wówczas określimy tzw smukłość graniczną pręta. λ lim = π E f e Smukłość graniczna wyznacza granicę pomiędzy dwoma sposobami utraty nośności ściskanego pręta. Jeśli smukłość pręta λ jest większa od wartości granicznej λ gr pręt może utracić nośność na skutek wyboczenia sprężystego, jeśli zaś jest mniejsza od λ gr naprężenia w pręcie przekroczą granicę plastyczności a do wyboczenia prawdopodobnie nie dojdzie (pręt zostanie zgnieciony), choć obserwowano przypadki wyboczenia niesprężystego. 2. Cel ćwiczenia Celem ćwiczeń jest porównanie sił krytycznych określonych w sposób rachunkowy i doświadczalny dla dwóch schematów podparcia pręta.

5 3. Metodologia badań Próba wyboczenia wykonywana jest na prostym pręcie o przekroju prostokątnym 50 6 mm i długości L = 800 mm. Pręt mocujemy w maszynie wytrzymałościowej początkowo bez podpór pośrednich, mierzymy wielkość siły ściskającej oraz odpowiadające jej ugięcie pręta. Badanie powtarzamy po wprowadzeniu w środku długości pręta jednej podpory pośredniej. Przed rozpoczęciem badania należy: zmierzyć wymiary przekroju pręta, wyznaczyć momenty bezwładności przekroju, wyznaczyć smukłość pręta i smukłość graniczną, obliczyć wielkość siły krytycznej Pkr, obliczyć wielkość naprężeń krytycznych, 4. Wymagania BHP Stanowisko do badań nie jest podłączone do prądu elektrycznego i nie posiada elementów niebezpiecznych. Może być w całości obsługiwane przez studentów pod nadzorem osoby prowadzącej zajęcia lub pracownika laboratorium. 5. Literatura [1] Laboratorium wytrzymałości materiałów. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, [2] A.Blum, J.Błaszczak, B.Ładecki, A.Siemieniec, A.Skorupa, B.Zachara.: Ćwiczenia laboratoryjne z wytrzymałości materiałów. Kraków [3] Z.Dylag, A.Jakubowicz, A.Orłoś.: Wytrzymałość materiałów. Tom I i II. WNT. Warszawa [4] M.E.Niezgodziński, T.Niezgodziński.: Wytrzymałość materiałów. PWN. Warszawa 1998.

6 Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Sprawozdanie z ćwiczeń Ćwiczenie nr 5 Temat ćwiczenia: BADANIE PRĘTA O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM NA WYBOCZENIE KOD: B O Studia:, 1-go stopnia Kierunek: Budownictwo Semestr: 3 Autor: dr inż. Jarosław Malesza Białystok 2018

7 1. Próba wyboczenia pręta 1.1. Dane geometryczne Wymiary przekroju poprzecznego: b = [mm] h = [mm] A = [mm 2 ] Główne momenty bezwładności przekroju: Ix = [mm 4 ] Iy = [mm 4 ] Promienie bezwładności przekroju: ix = [mm] iy = [mm] 1.2. Dane materiałowe Smukłość graniczna pręta : E = [MPa], fe = [MPa] λ lim =

8 1.3. Siła krytyczna Pręt podparty przegubowo na obu końcach Długość wyboczeniowa pręta: Lw = [mm] Smukłość pręta: λ x = λ y = Komentarz : Siła krytyczna: obliczeniowa Pkco = [kn] z badań Pkrm = [kn] Pręt podparty przegubowo na obu końcach z dodatkową podporą w środku Długość wyboczeniowa: Lw = [mm] Smukłość pręta: λ x = λ y = Komentarz : Siła krytyczna: obliczeniowa Pkco = [kn] z badań Pkrm = [kn]

9 1.4. Pomiar ugięcia pręta Pręt podparty przegubowo na obu końcach P [kn] y [mm] Pręt podparty przegubowo na obu końcach z dodatkową podporą w środku P [kn] y [mm]