WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA PRZEZ ZGINANIE

Transkrypt

1 ĆWICZENIE 4 WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA PRZEZ ZGINANIE Wprowadzenie Pręt umocowany na końcach pod wpływem obciążeniem ulega wygięciu. własnego ciężaru lub pod Rys W górnej warstwie pręta następuje ściśnięcie, a w dolnej rozciągnięcie materiału pręta. Cienka warstwa środkowa nie ulega ani ściskaniu ani rozciąganiu i tworzy warstwę "neutralną". Przy dostatecznie małym obciążeniu wydłużenia dolnej warstwy i ściśnięcia górnej podlegają prawu Hooke'a. Załóżmy, że pręt nie obciążony nie ulega ugięciu. Rys. 4.. Strzałka ugięcia λ powstaje pod wpływem obciążenia zewnętrznego. Weźmy pod uwagę element V pręta odległy o x od jego środka. Przed obciążeniem powierzchnie przekroju pręta wycinające element V są równoległe, po obciążeniu i ugięciu pręta tworzą kąt ϕ. Przez punkt A należący do płaszczyzny przekroju P i warstwy Ćwiczenie 4 1

2 neutralnej W prowadzimy powierzchnię równoległą do powierzchni przekroju P 1. Odległość między tymi płaszczyznami wynosi x. W wyniku ugięcia warstwa W 1 odległa o y od warstwy neutralnej W ulega wydłużeniu o ϕ y. Weźmy pod uwagę element pręta o wymiarach V = x y b odległy o y od warstwy neutralnej W. Przekrój jego powierzchni prostopadłej do długości pręta wynosi b y. Prawo Hooke'a: = - k x można zapisać w równoważnej postaci p = E l /1/ gdzie: p - naprężenie, l l - wydłużenie względne, E - moduł Younga. Naprężenie p = /S, // gdzie: - siła działająca prostopadle do powierzchni S. Ze wzorów /1/ i // łatwo otrzymać związek = ES l. l l Siła ta powoduje odkształcenie pręta. W naszym przypadku powierzchnia elementu V, na który działa siła odkształcająca S = by, wydłużenie względne l yϕ =. l x Zatem siła odkształcająca Eby ϕ = x y. // Moment siły // względem warstwy W wynosi M y Eby ϕ = = x y. /4/ Całkowity moment siły otrzymujemy zastępując przyrosty skończone we wzorze /4/ przyrostami nieskończenie małymi i całkując po całej grubości pręta ( - a/ ; a/ ). dm = ϕ Eby x dy. /5/ A po scałkowaniu a/ ϕ M = E b y dy x. /5 / a/ Ćwiczenie 4

3 Oznaczmy a/ J = b y dy. /6/ a/ wówczas /5'/przybierze postać ϕ M = EJ. /7/ x Siła powodująca zginanie pręta zaczepiona jest w jego środku. Zgodnie z zasadami rozkładania sił działających na ciało sztywne można ją zastąpić dwiema siłami o wartości / przyczepionymi do końców pręta działających zginająco ku górze, wówczas punkt końca strzałki ugięcia można traktować jako minimalny. Moment siły odpowiedzialny za odkształcenie pręta pochodzi od siły zewnętrznej. Dla dowolnej odległości x od środka pręta otrzymujemy M = x. /8/ Z warunku równowagi wynika, że oba momenty opisane wzorami /7/ i /8/ są sobie równe ϕ x = EJ. x Łatwo zauważyć, że stosunek elementu strzałki ugięcia λ od odległości od środka x λ ϕ x =. Zatem x λ = EJ, x stąd λ = 1 EJ x x. Przechodząc do nieskończenie małych i całkując w przedziale od 0 do1/ gdzie: l - jest odległością między podporami ( zakładamy, że l długość pręta), otrzymujemy całkowitą strzałkę ugięcia Po wykonaniu rachunków Dla przekroju prostokątnego λ = 1 EJ l x dx 0 λ = 1 48 EJ l. /9/ a J = b y dy, a gdzie: a - grubość pręta ( w kierunku strzałki ugięcia ).. Ćwiczenie 4

4 Zatem Podstawiając /10/ do /9/ otrzymujemy Stąd ostatecznie J = 1 ba. /10/ 1 λ = 1 4 l E = 1 4 λba Eba l. /11/ Opis urządzenia. /1/ Urządzenie do wykonania pomiaru modułu Younga metodą ugięcia składa się z dwóch podpór przymocowanych do stołu oraz prętów wymiennych wykonanych z różnych materiałów o różnych przekrojach prostokątnych. W środku między punktami podparcia zawieszamy szalkę na strzemiączku. Szalkę obciążamy odważnikami. Strzałkę ugięcia mierzymy przy pomocy odpowiedniej śruby mikrometrycznej, której ostrze stykamy z górną częścią strzemiączka. Celem ustalenia precyzyjnego styku ostrza śruby mikrometrycznej ze strzemiączkiem włączamy strzemiączko i śrubę do obwodu prądu elektrycznego zawierającego żarówkę. Przyjmujemy, że moment zaświecenia żarówki odpowiada zetknięciu śruby ze strzemiączkiem. Przebieg pomiarów Rys Zestawić układ wg. przedstawionego opisu urządzenia i zmontować obwód elektryczny wg. rys Wykonać wielokrotne pomiary odstępów między środkami podpór l, szerokości b oraz grubości a w różnych miejscach pręta.. Obciążać pręt od 0 do 500 g obciążnikami co 50g i dokonać pomiaru strzałki ugięcia (uwzględniając masę szalki i strzemiączka). 4. Pomiary z punktu powtórzyć zmniejszając obciążenie. 5. Sporządzić wykres λ = f(m), m - masa szalki, strzemiączka i obciążników. 6. Pomiary z punktów,, 4 powtórzyć używając innych prętów. 7. Obliczyć, korzystając ze wzoru /1/, moduł Younga dla różnych materiałów. Ćwiczenie 4 4

5 8. Błąd maksymalny obliczyć metodą pochodnej logarytmicznej. l λ b a E = E l λ b a Błąd pomiaru i λ oszacować na podstawie użytych przyrządów jako błąd maksymalny, wielkości błędu l, a, b oszacować jako błąd maksymalny średni kwadratowy. Przeprowadzić dyskusję błędów. 9. Wyciągnąć wnioski. Porównać otrzymane wartości E dla badanych materiałów z wartościami tablicowymi. Ćwiczenie 4 5