NOŚNOŚĆ GRANICZNA

Transkrypt

1 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4.. Wstęp Nośność graniczna wartość obciążenia, przy którym konstrukcja traci zdoność do jego przenoszenia i staje się układem geometrycznie zmiennym. Zastosowanie teorii nośności w praktyce pozwaa na pełniejsze wykorzystanie konstrukcji, przy zachowaniu granic bezpieczeństwa Przegub pastyczny Rozważania ograniczmy do zginania prętów sprężysto-pastycznych. Pręty pod wpływem narastających naprężeń osiągają stan pastyczności (po osiągnięciu σ=σ 0 ). Towarzyszy temu deformacja beki - występuje obrót sąsiednich części pręta wzgędem osi obojętnej przekroju. W przekroju krytycznym (maksymana wartość momentu zginającego) następuje bardzo duża koncentracja odkształceń na małym obszarze. Przyjmuje się, że w przekroju krytycznym powstał przegub pastyczny. Charakteryzuje się on możiwością obrotu oraz tym, że przenosi moment zginający równy momentowi pastycznemu M0. Przeguby pastyczne powstają w iczbie n+ (n-stopień statycznej niewyznaczaności układu) Okreśenie obciążenia granicznego: o okreśenia obciążeń granicznych służą dwa podejścia: Podejście statyczne da którego spełnione muszą być następujące warunki: warunek równowagi wewnętrznej i zewnętrznej w żadnym przekroju nie może być przekroczony warunek granicznego naprężenia M 0 M x M 0 (4.) Podejście kinematyczne Nie interesują nas warunki równowagi ecz przyjęcie przez układ dopuszczanego poa przemieszczeń (powstanie mechanizmu) niezerowe krzywizny i kąty obrotu w przegubie pastycznym Musi istnieć dodatnia moc obciążeń zewnętrznych. Kompetne rozwiązanie poega na spełnieniu obu warunków: statycznego i kinematycznego AmaMater

2 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA Zadanie Podejście statyczne Rozpatrujemy bekę z materiału sprężysto - ideanie pastycznego, obciążoną siłą skupioną P w środku swojej rozpiętości (Rys. 4..). P /2 /2 Rys. 4.. Beka swobodnie podparta M max = P 4 M Rys Wykres momentów da beki od obciążenia siłą P Znana jest wartość naprężenia pastycznego σ 0. Układ osiągnie niebezpieczny stan gdy (Rys. 4.2.): M 0 = P 4 (4.2) Siła graniczna wynosi: P gr = 4 M 0 (4.3) Podejście statyczne Potrzebne jest okreśenie położenia przekroju krytycznego. Przegub pastyczny wystąpi pod siłą P. W przypadku trudności okreśania miejsca jego występowania trzeba tak go przemieszczać, aby ostateczny wynik pokrył się z wynikiem z podejścia statycznego. AmaMater

3 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA Zadanie Podejście statyczne Rozpatrzmy bekę wspornikową podpartą na jednym końcu (Rys. 4.3.) i obciążoną siłą skupioną P. P /2 /2 Rys Beka wspornikowa podparta na prawym końcu. Wykres momentów od obciążenia P przedstawiono na Rys Rys Wykres momentów od obciążenia siłą skupioną P da beki wspornikowej podpartej na prawym końcu M Gdy na ewym końcu beki w utwierdzeniu pojawi się przegub pastyczny (Rys.4.5.) wykresy momentów będą wygądać następująco (Rys. 4.6.): P M 0 Rys Pojawienie się przegubu pastycznego w utwierdzeniu AmaMater

4 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4 M 0 2 M 0 P 4 M p Rys Wykres momentów Jeżei teraz w środku rozpiętości beki dojdzie do upastycznienia się przekroju (pojawienie się przegubu pastycznego) to beka uegnie zniszczeniu, datego: P 4 2 M 0 =M 0 (4.4) P gr =6 M 0 (4.5) Podejście kinematyczne Bazuje na tym, że beka tworzy łańcuch kinematyczny (mechanizm). P 2 u M 0 M 0 M 0 = 2 u Rys Beka mechanizm 2 = 2 u AmaMater

5 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 5 Wprowadzamy pojęcie mocy, mówiące o tym, że moc sił wewnętrznych jest równa mocy sił zewnętrznych (wzór 4.6.) L z = L w (4.6) Moc jest ioczynem siły oraz prędkości przemieszczenia, co możemy zapisać koejno wzorami L z =P u (4.7) L w =M 0 2 M 0 2 M 0 (4.8) Po podstawieniu wzorów 4.7. oraz 4.8. do wzoru 4.6. otrzymamy: P u=m 0 2 u M 0 2 u M 0 2 u (4.9) okonując odpowiednich przekształceń, uzyskamy wartość siły krytycznej: P gr = 6 M 0 (4.0) Wartość 4.0. jest identyczna z otrzymaną z podejścia statycznego (4.5.) 4.5. Zadanie Podejście statyczne Rozpatrzmy bekę wspornikową podpartą podporą przesuwną na ewym końcu (Rys. 4.8.) i obciążoną siłą równomiernie rozłożoną q. q A x 0 C B Rys Beka wspornikowa podparta przegubem przesuwnym i obciążona siłą równomiernie rozłożoną q. AmaMater

6 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 6 Gdy na prawym końcu beki w utwierdzeniu pojawi się przegub pastyczny (Rys.4.9.) wykresy momentów będą wygądać następująco (Rys. 4.0.): q A x 0 C B M Rys Pojawienie się przegubu pastycznego w utwierdzeniu q x 2 x q 2 8 x x M x M x x M gr x 0 M gr x 0 Rys Wykres momentów Warunek stanu granicznego musi być spełniony w punkcie B i C beki. Położenie punktu C okreśa nieznany parametr. x 0 Równanie momentu możemy zapisać w następujący sposób: M x = q x 2 x M x (4.) AmaMater

7 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 7 Poszukujemy maksymanej wartości funkcji (4.), co możemy zapisać: dm x dx x=x0 = q 2 q x 0 M =0 (4.2) Następnie przyjmujemy: M x 0 =M gr (4.3) M =M gr (4.4) Podstawiamy wzory (4.3) i (4.4) do wzoru (4.2) q gr 2 q gr x 0 M gr =0 (4.5) Ze wzoru (4.5) wyznaczamy x 0 x 0 = q gr 2 M gr (4.6) q gr Następnie podstawiając wartość (4.6) do równania momentu (4.) otrzymamy: x 0 = 2 =0,4 (4.7) q gr = 2 M gr =,656 M gr 2 (4.8) AmaMater

8 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA Podejście kinematyczne Przyjmujemy kinematycznie dopuszczany mechanizm zniszczenia. Położenie przęsłowego przegubu pastycznego ustaamy za pomocą parametru. x q A A B B x x Rys. 4.. Kinematycznie dopuszczany mechanizm zniszczenia Anaityczny zapis poa prędkości przemieszczeń. - da 0 x x = x (4.9) x - da x x = x (4.20) x Moc sił zewnętrznych wyraża się wzorem: L z = 0 q dx=q 0 Gdzie jest poem AB. dx=q = 2 q (4.2) Moc sił wewnętrznych wynosi: L w =M gr M B gr B (4.22) AmaMater

9 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 9 Możemy zapisać M gr =M B gr =M gr (4.23) Z równania oraz na podstawie Rys. 4.. otrzymamy B = (4.24) x = (4.25) x x Podstawiając wzory (4.23), (4.24) oraz (4.25) do wzoru (4.22) uzyskamy L w =M gr [ 2 x ]=M x x gr [ x x ] (4.26) Korzystając z tego, że moc sił zewnętrznych równa się mocy sił wewnętrznych L z = L w Otrzymamy 2 q=m gr [ x x x ] (4.27) Przekształcając powyższy wzór wyznaczamy q gr q gr = 2 M gr x x x (4.28 Szukamy minimanej wartości siły q gr dq gr dx =0 (4.29) AmaMater

10 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 0 Po przekształceniach otrzymamy x 0 = 2 =0,4 (4.30) q gr = 2 M gr =,656 M gr 2 (4.3) Wartości wyznaczone w podejściu statycznym (4.7 oraz 4.8) pokrywają się z wynikami uzyskanymi w podejściu kinematycznym (4.30 i 4.3). AmaMater