Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2

Transkrypt

1 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia W przypadku rozciągania/ściskania pręta jego obciążenie stanowi zbiór sił czynnych wzdłuż osi pręta (oś x ). a rys..a przedstawiono przykład pręta sztywno zamocowanego na ewym końcu (punkt B), obciążonego siłami, i. Schemat obiczeniowy po uwonieniu z więzów iustruje rys..b. Rys.. Do wyznaczenia reakcji R B x wykorzystujemy równanie równowagi statycznej suma rzutów sił na oś x jest równa zeru: Σ ix 0 (.) RB x RB x W dowonym przekroju poprzecznym pręta siła osiowa jest równa sumie rzutów sił zewnętrznych działających po jednej stronie przekroju na kierunek styczny do osi pręta (rys..). Siła osiowa rozciągająca jest dodatnia, natomiast ściskająca ujemna. Rys.. Da przekroju przedstawionego na rys.., otrzymamy zatem: rozwiązując od prawej strony (rys..a) ( Σ p ) ix + (.a)

2 . Wytrzymałość materiałów rozwiązując od ewej strony (rys..b) aprężenia normane σ wyznaczamy ze wzoru: gdzie: siła osiowa, ( ) Σix RBx + (.b) σ (.) poe powierzchni przekroju poprzecznego. Wydłużenie odcinka pręta wyznaczamy w oparciu o zaeżność: gdzie: E siła osiowa, długość rozpatrywanego odcinka pręta, moduł Younga (moduł sprężystości podłużnej), (.4) poe powierzchni przekroju poprzecznego, ioczyn E nazywamy sztywnością pręta rozciąganego/ściskanego.

3 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia. Zadanie.. Wyznaczyć wykresy sił osiowych, naprężeń normanych σ oraz przemieszczeń da pręta przedstawionego na rys... Dane:,, E const. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (rys..4). Rys.. Rys..4 Reakcję R B x wyznaczamy z równania równowagi statycznej: R x Σ ix 0 B RB x 4 W koejnym kroku wyznaczamy siły osiowe w poszczegónych odcinkach pręta. Zadanie rozwiążemy zarówno od prawej (rys..5), jak i ewej (rys..6) strony. Rys..5 Rys..6 Rozwiązując zadanie od prawej strony (rys..5) otrzymujemy, w oparciu o zaeżność (.a): Σix Σix + 4 BC Z koei, rozwiązując zadanie od ewej strony (rys..6) otrzymamy, zgodnie ze wzorem (.b): Σ ( R ) R BC ix Bx Bx 4 Σix ( RBx + ) RBx 4

4 .4 Wytrzymałość materiałów aprężenia normane σ w poszczegónych odcinkach pręta są równe (.): BC σ BC 4 σ rzemieszczenia przekrojów C i D wyznaczamy na podstawie wydłużenia poszczegónych odcinków pręta odpowiednio BD i. a podstawie zaeżności (.4) otrzymujemy: wydłużenie odcinka BC wydłużenie odcinka Ostatecznie otrzymujemy: przemieszczenie przekroju B B 0 przemieszczenie przekroju C 4 C BC przemieszczenie przekroju D D BC BC BC 4 a rys..7 przedstawiono rozwiązanie zadania wykresy sił osiowych, naprężeń normanych oraz przemieszczeń. Rys..7

5 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia.5 Zadanie.. Wyznaczyć wykresy sił osiowych, naprężeń normanych σ oraz przemieszczeń da pręta przedstawionego na rys..8. Dane:,,, E. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (rys..9). Rys..8 Reakcję Rys..9 R B x wyznaczamy z równania równowagi statycznej: R x Σ ix 0 B RB x 4 Wyznaczamy siły osiowe w poszczegónych odcinkach pręta. Rozwiązując zadanie od prawej strony (rys..0) otrzymujemy, w oparciu o zaeżność (.a): Σix Σix + 4 BC Rys..0 aprężenia normane σ w poszczegónych odcinkach pręta są równe (.): BC σ BC σ rzemieszczenia przekrojów C i D wyznaczamy na podstawie wydłużenia poszczegónych odcinków pręta odpowiednio BD i. a podstawie zaeżności (.4) otrzymujemy: wydłużenie odcinka BC BC BC E

6 .6 Wytrzymałość materiałów wydłużenie odcinka Ostatecznie otrzymujemy: przemieszczenie przekroju B B 0 przemieszczenie przekroju C C BC przemieszczenie przekroju D D BC + + a rys.. przedstawiono rozwiązanie zadania wykresy sił osiowych, naprężeń normanych oraz przemieszczeń. Rys..

7 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia.7 Zadanie.. Wyznaczyć wykresy sił osiowych, naprężeń normanych σ oraz przemieszczeń da pręta przedstawionego na rys... Dane:,, E const. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (rys..). Rys.. Rys.. Równanie równowagi statycznej na postać: R Σ ix 0 B x RDx + R B x + R D x Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczany dwie niewiadome R B x, R D x i jedno równanie równowagi. Dodatkowe równanie wynika z warunku geometrycznego przemieszczenie końca D jest równe zeru, co zapiszemy następująco: D BC + Wyznaczamy siły osiowe w poszczegónych odcinkach pręta. Rozwiązując zadanie od ewej strony (rys..4) otrzymujemy, w oparciu o zaeżność (.b): BC Σ ix R ix RB Σ 0 0 Bx x Rys..4 Wydłużenia poszczegónych odcinków pręta są równe: BC BC R Bx ( RBx ) odstawiając wyznaczone wydłużenia do dodatkowego warunku geometrycznego wyznaczamy wartość reakcji R B x :

8 .8 Wytrzymałość materiałów Wartość reakcji R + R ) B x ( Bx 0 : R B x + RBx RB x RB x 0 R D x wyznaczamy przekształcając równanie równowagi statycznej: R R Dx Bx odstawiając wartości reakcji wyznaczamy siły osiowe : naprężenia normane σ : σ σ BC BC BC oraz wydłużenia poszczegónych odcinków pręta: BC a rys..5 przedstawiono rozwiązanie zadania wykresy sił osiowych, naprężeń normanych oraz przemieszczeń. Rys..5

9 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia.9 Zadanie.4. Wyznaczyć wykresy sił osiowych, naprężeń normanych σ oraz przemieszczeń da pręta przedstawionego na rys..6. Dane:,,, E. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (rys..7). Rys..6 Rys..7 Równanie równowagi statycznej na postać: R Σ ix 0 B x RDx + R B x + R D x Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczany dwie niewiadome R B x, R D x i jedno równanie równowagi. Dodatkowe równanie wynika z warunku geometrycznego przemieszczenie końca D jest równe zeru, co zapiszemy następująco: D BC + Wyznaczamy siły osiowe w poszczegónych odcinkach pręta. Rozwiązując zadanie od ewej strony (rys..8) otrzymujemy, w oparciu o zaeżność (.b): BC Σ ix R ix RB Σ 0 0 Bx x Rys..8 Wydłużenia poszczegónych odcinków pręta są równe: BC BC R E Bx ( RBx ) odstawiając wyznaczone wydłużenia do dodatkowego warunku geometrycznego wyznaczamy wartość reakcji R B x :

10 .0 Wytrzymałość materiałów Wartość reakcji R + ( R ) B x Bx 0 : R B x + RBx RB x RB x 0 R D x wyznaczamy przekształcając równanie równowagi statycznej: RD x RBx odstawiając wartości reakcji wyznaczamy siły osiowe : naprężenia normane σ : σ σ BC BC BC oraz wydłużenia poszczegónych odcinków pręta: E BC a rys..9 przedstawiono rozwiązanie zadania wykresy sił osiowych, naprężeń normanych oraz przemieszczeń. Rys..9

11 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia. Zadanie.5. Wyznaczyć wykresy sił osiowych, naprężeń normanych σ oraz przemieszczeń da pręta przedstawionego na rys..0. Dane:,, E const. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (rys..). Rys..0 Reakcję Rys.. R B x wyznaczamy z równania równowagi statycznej: R x Σ ix 0 B RB x 4 Wyznaczamy siły osiowe w poszczegónych odcinkach pręta. Rozwiązując zadanie od ewej strony (rys..) otrzymujemy, w oparciu o zaeżność (.b): Σix RBx 4 BC Σix R x Σix RBx + DF B Rys.. aprężenia normane σ w poszczegónych odcinkach pręta są równe (.): BC σ BC 4 σ DF σ DF

12 . Wytrzymałość materiałów rzemieszczenia przekrojów C, D i F wyznaczamy na podstawie wydłużenia poszczegónych odcinków pręta odpowiednio BD, i DF. a podstawie zaeżności (.4) otrzymujemy: wydłużenie odcinka BC BC BC 4 wydłużenie odcinka wydłużenie odcinka DF DF DF Ostatecznie otrzymujemy: przemieszczenie przekroju B B 0 przemieszczenie przekroju C 4 C BC przemieszczenie przekroju D przemieszczenie przekroju F D BC F BC + + DF a rys.. przedstawiono rozwiązanie zadania wykresy sił osiowych, naprężeń normanych oraz przemieszczeń.

13 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia. Rys..

14 .4 Wytrzymałość materiałów Zadanie.6. Wyznaczyć wykresy sił osiowych, naprężeń normanych σ oraz przemieszczeń da pręta przedstawionego na rys..4. Dane:,, E const. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (rys..5). Rys..4 Rys..5 Równanie równowagi statycznej na postać: Σ ix 0 RB x RFx R + R B x Fx 4 Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczany dwie niewiadome R B x, R F x i jedno równanie równowagi. Dodatkowe równanie wynika z warunku geometrycznego przemieszczenie końca F jest równe zeru, co zapiszemy następująco: D BC + + DF Wyznaczamy siły osiowe w poszczegónych odcinkach pręta. Rozwiązując zadanie od ewej strony (rys..6) otrzymujemy, w oparciu o zaeżność (.b): DF BC Σ ix R Bx Σix RBx Σix RBx RBx 4 0 Rys..6 Wydłużenia poszczegónych odcinków pręta są równe: BC BC R Bx

15 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia.5 ( RBx ) DF DF ( RBx 4 ) odstawiając wyznaczone wydłużenia do dodatkowego warunku geometrycznego wyznaczamy wartość reakcji R B x : Wartość reakcji RB x + ( RBx ) + ( RBx 4 ) 0 : RB x + RBx 6 + RBx 4 0 4R B x 0 5 RB x R F x wyznaczamy przekształcając równanie równowagi statycznej: 5 RF x 4 RBx 4 odstawiając wartości reakcji wyznaczamy siły osiowe : naprężenia normane σ : DF σ σ σ BC BC BC DF DF 5 oraz wydłużenia poszczegónych odcinków pręta: BC 5 5 DF 5 4 rzemieszczenia poszczegónych przekrojów pręta są równe: przemieszczenie przekroju B B 0

16 .6 Wytrzymałość materiałów przemieszczenie przekroju C przemieszczenie przekroju D przemieszczenie przekroju F C BC D BC 5 F BC + + DF a rys..7 przedstawiono rozwiązanie zadania wykresy sił osiowych, naprężeń normanych oraz przemieszczeń. 0 Rys..7

17 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia.7 Zadanie.7. Wyznaczyć wykresy sił osiowych, naprężeń normanych σ oraz przemieszczeń da pręta przedstawionego na rys..8. Dane:,,, E. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (rys..9). Rys..8 Reakcję Rys..9 R G x wyznaczamy z równania równowagi statycznej: R x Σ ix 0 G RG x Wyznaczamy siły osiowe w poszczegónych odcinkach pręta. Rozwiązując zadanie od prawej strony (rys..0) otrzymujemy, w oparciu o zaeżność (.a): FG Σ R ix Gx DF Σix RBx + 5 BC Σix RBx + 5 Rys..0 aprężenia normane σ w poszczegónych odcinkach pręta są równe (.): BC σ BC σ

18 .8 Wytrzymałość materiałów σ DF DF σ FG FG rzemieszczenia przekrojów B, C, D i F wyznaczamy na podstawie wydłużenia poszczegónych odcinków pręta. a podstawie zaeżności (.4) otrzymujemy: wydłużenie odcinka BC BC BC wydłużenie odcinka wydłużenie odcinka DF DF E DF wydłużenie odcinka FG FG FG E Ostatecznie otrzymujemy: przemieszczenie przekroju B B BC + + DF + FG + + przemieszczenie przekroju C przemieszczenie przekroju D C + DF + FG + przemieszczenie przekroju F + D DF FG F FG przemieszczenie przekroju G G 0 a rys.. przedstawiono rozwiązanie zadania wykresy sił osiowych, naprężeń normanych oraz przemieszczeń.

19 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia.9 Rys..

20 .0 Wytrzymałość materiałów Zadanie.8. Sztywny pręt poziomy jest zawieszony, jak na rys... Wyznaczyć wydłużenia/ skrócenia wiotkich prętów i oraz narysować wykres przemieszczeń pionowych pręta sztywnego. Dane:,,, E, b. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (rys..). Rys.. Rys.. Siły osiowe i, którymi rozciągane są wiotkie pręty i, wyznaczymy z równań równowagi statycznej da sztywnego pręta BD: Σ ΣM iy ib b b Wydłużenia prętów i, a w konsekwencji pionowe przemieszczenia punktów B i D są równe: yb E 8 y D a rys..4 przedstawiono wykres przemieszczeń pionowych sztywnego pręta BD. rzemieszczenie punktu C możemy wyznaczyć z twierdzenia Taesa: 4 4

21 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia. y BC ( y BD y yc y BC ) + y B yd y BD B C D B B 9 Rys..4

22 . Wytrzymałość materiałów Zadanie.9. Sztywny pręt poziomy jest zawieszony, jak na rys..5. Wyznaczyć wydłużenia/ skrócenia wiotkich prętów i oraz narysować wykres przemieszczeń pionowych pręta sztywnego. Dane:,, E const, b. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (rys..6). Rys..5 Rys..6 Siły osiowe i, którymi rozciągane/ściskane są pręty i, wyznaczymy z równań równowagi statycznej da sztywnego pręta BD: Σ ΣM iy ib b b 0 Wydłużenia/skrócenia prętów i, a w konsekwencji pionowe przemieszczenia punktów B i C są równe: y B y (pręt ściskany) (pręt rozciągany) C a rys..7 przedstawiono wykres przemieszczeń pionowych sztywnego pręta BD. rzemieszczenie punktu D możemy wyznaczyć z twierdzenia Taesa: yd y BD B yc y BC B

23 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia. y y y y 5 ) ( BC BD B B C D + + Rys..7

24 .4 Wytrzymałość materiałów Zadanie.0. Sztywny pręt poziomy jest zawieszony, jak na rys..8. Wyznaczyć wydłużenia/ skrócenia wiotkich prętów i oraz narysować wykres przemieszczeń pionowych pręta sztywnego. Dane:,,, E, b. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (rys..9). Rys..8 Rys..9 Siły osiowe i, którymi rozciągane/ściskane są pręty i, wyznaczymy z równań równowagi statycznej da sztywnego pręta BD: Σ ΣM iy id b + b 0 Wydłużenia/skrócenia prętów i, a w konsekwencji pionowe przemieszczenia punktów C i D są równe: y C (pręt rozciągany) E yd (pręt ściskany)

25 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia.5 a rys..40 przedstawiono wykres przemieszczeń pionowych sztywnego pręta BD. rzemieszczenie punktu B możemy wyznaczyć z twierdzenia Taesa: yb y BD D yc y BD yb ( yc yd) + yd ( ) 4 + D Rys..40

26 .6 Wytrzymałość materiałów Zadanie.. Sztywny pręt poziomy jest oparty, jak na rys..4. Wyznaczyć wydłużenia/ skrócenia wiotkich prętów i oraz narysować wykres przemieszczeń pionowych pręta sztywnego. Dane:,, E const, b. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (rys..4). Rys..4 Rys..4 Równania równowagi statycznej da sztywnego pręta BF są następujące: Σ ΣM iy ic RCy 0 b + b b 0 + R Cy Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczany trzy niewiadome,, R C y i dwa równania. Dodatkowe równanie wynika z warunku geometrycznego, wiążącego pionowe przemieszczenia punktów B i F (rys..4): BB' FF' BB' FF' b b Rys..4

27 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia.7 Wydłużenia/skrócenia prętów i powiązane są zatem zaeżnością: na podstawie której możemy napisać trzecie brakujące równanie: Wyznaczamy niewiadome,, R C y : RC + y 5 5 R 4 C y odstawiamy wyznaczone wartości sił osiowych, i wyznaczamy wydłużenia/skrócenia prętów i oraz przemieszczenia punktów B i F: yb yf 5 a rys..44 przedstawiono wykres przemieszczeń pionowych sztywnego pręta BF. rzemieszczenie punktu D możemy wyznaczyć z twierdzenia Taesa: 5 y D y F CF y D y CF F 5 5 Rys..44

28 .8 Wytrzymałość materiałów Zadanie.. Sztywny pręt poziomy jest oparty, jak na rys..45. Wyznaczyć wydłużenia/ skrócenia wiotkich prętów i oraz narysować wykres przemieszczeń pionowych pręta sztywnego. Dane:,,, E, b. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (rys..46). Rys..45 Rys..46 Równania równowagi statycznej da sztywnego pręta BF są następujące: Σ ΣM iy ib RBy + 0 b + b 4b 0 + RBy + 4 Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczany trzy niewiadome,, R B y i dwa równania. Dodatkowe równanie wynika z warunku geometrycznego, wiążącego pionowe przemieszczenia punktów C i D (rys..47):

29 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia.9 Rys..47 CC' DD' CC' DD' b b Oba pręty są ściskane, a ich skrócenia powiązane są zaeżnością: na podstawie której możemy napisać trzecie brakujące równanie: E 4 Wyznaczamy niewiadome,, R B y : R 4 By 6 R 6 5 B y + + odstawiamy wyznaczone wartości sił osiowych, i wyznaczamy skrócenia prętów i oraz przemieszczenia punktów C i D: yc E yd a rys..48 przedstawiono wykres przemieszczeń pionowych sztywnego pręta BF. rzemieszczenie punktu F możemy wyznaczyć z twierdzenia Taesa: y BF y BC y F y C BF BC F C

30 .0 Wytrzymałość materiałów Rys..48