Wytrzymałość Materiałów

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wytrzymałość Materiałów"

Teresa Orzechowska
4 lat temu
Przeglądów:

Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji r hab. inż.

1 Wytrzymałość Materiałów Stateczność prętów prostych Równowaga, utrata stateczności, siła krytyczna, wyboczenie w zakresie liniowo sprężystym i poza liniowo sprężystym, projektowanie elementów konstrukcyjnych przy wyboczeniu Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji r hab. inż. Kinga Nalepka B2, III p., pok knalepka@agh.edu.pl tel

2 Utrata wytrzymałości, a utrata stateczności Jaką długość może mieć stalowy słup o przekroju 1 cm 2 obciążony wyłącznie ciężarem własnym aby nie utracił wytrzymałości? Warunek bezpieczeństwa: U podstawy słupa: max Słup o długości 2 km traci stateczność. Ciężar właściwy stali 78.5 kn/m Naprężenie dopuszczalne 160 MPa kn m 78.5 kn m 2038 m Oprócz warunku bezpieczeństwa powinien być pełniony warunek stateczności. K. Nalepka, Stateczność prętów prostych 2

Jeżeli ciało wytrącone z położenia równowagi, po upływie skończonego czasu, przyjmuje inne, nowe położenie to znajduje się w

3 Równowaga Jeżeli ciało wytrącone z położenia równowagi, po upływie skończonego czasu, powraca do pierwotnego położenia to znajduje się w stanie równowagi statecznej. Jeżeli ciało wytrącone z położenia równowagi, po upływie skończonego czasu, przyjmuje inne, nowe położenie to znajduje się w stanie równowagi obojętnej. Jeżeli ciało wytrącone z położenia równowagi nigdy nie powróci już do pierwotnego położenia to znajduje się w stanie równowagi niestatecznej(chwiejnej). K. Nalepka, Stateczność prętów prostych 3

Siła krytyczna Siła krytyczna - siła ściskająca prosty pręt o ustalonej geometrii, więzach i materiale, przy której traci on równowagę stateczną na rzecz chwiejnej lub obojętnej, czyli przyjmuje inne

4 Siła krytyczna Siła krytyczna - siła ściskająca prosty pręt o ustalonej geometrii, więzach i materiale, przy której traci on równowagę stateczną na rzecz chwiejnej lub obojętnej, czyli przyjmuje inne od pierwotnego, krzywoliniowe położenie równowagi. Krzywizna funkcji! " : 1 # "! " 1%! " / 1 # " & ' " ( ) ' Ujemny moment wywołuje ujemną krzywiznę: & ' " ( ) '! " 1%! " / ) * ) ' & ' " +,! " gdzie: Wyboczenie następuje w płaszczyźnie najmniejszej sztywności giętnej. K. Nalepka, Stateczność prętów prostych 4

5 Wyboczenie pręta podpartego przegubowo Zgodnie z liniową teorią sprężystości rozważamy małe przemieszczenia punktów belki (względem jej długości) oraz małe pochodne przemieszczeń:! " 0! -- " +,! " () ' Podstawiając, otrzymujemy:! -- " %! " 0 () ' Równanie różniczkowe liniowe, jednorodne! " sin"%1cos" Warunki brzegowe:! ,! 0 sin0, Ostatecznie:! " sin", gdzie: 78,79: Liczby 7 ograniczamy do naturalnych, gdyż rozwiązanie dla 7 0 oznacza, że pręt nie ulega wyboczeniu zachowuje swoją pierwotną prostoliniową postać, a rozwiązanie dla 7<0 traci sens fizyczny wobec, () '. Tak więc: 78, () ', 7 8 () ', gdzie 71,2,3, Wyboczenie następuje przy najmniejszej wartości siły krytycznej, dla 7 1. Stąd: siła krytyczna, 8 () ', linia ugięcia! " sin 8 " K. Nalepka, Stateczność prętów prostych 5

6 Wyboczenie w zakresie liniowo - sprężystym Przedstawione rozwiązanie podał L. Euler w 1744 roku. Postać siły krytycznej może być zachowana również przy innych sposobach zamocowania jeżeli długość pręta zastąpimy długością efektywną tzw. wyboczeniową O, O, O, O,, 8 () Rozwiązanie Eulera obowiązuje gdy pręt pracuje w stanie mechanicznym liniowo sprężystym. Wówczas (1.1) Wprowadzając: 8 () promień bezwładności C ' E F G smukłość H I J F (1.1) 8 ( (C Zakres zastosowania rozwiązania Eulera,, K L 8 ( K L czyli: M N,, N, 8 ( K L N, - smukłość graniczna M8 ( K L (1.3) K. Nalepka, Stateczność prętów prostych 6

$Prosta przechodząca przez punkty M i N: & 0,K @ N,,K L ZK @ [ K @+K L N, B \R] K @ + K @+K L 8 K L ( [ K @+K L 8 Wzór Johnsona Ostenfelda: K L ( P SR^_+`V X Warunki jakie spełnia parabola: 1.$ przechodzi przez punkt M 2. zachowuje ciągłość w punkcie C 3. styczna w punkcie C również jest ciągłą 1. 3. (1.4) & 0,K @ K @ (1.5) bb ]Rc +21 +28 ( b d bb h b d 1 8 ( efe g efe g 2.

przechodzi przez punkt M 2. zachowuje ciągłość w punkcie C 3. styczna w punkcie C również jest ciągłą 1. 3. (1.4) & 0,K @ K @ (1.5) bb ]Rc +21 +28 ( b d bb h b d 1 8 ( efe g efe g 2.

7 Wyboczenie w zakresie sprężysto plastycznym. Podejście empiryczne Wzór Tetmajera Jasińskiego: P QRS T+UV%WV X Stałą l stosuje się tylko dla materiałów nieliniowo sprężystych np. żeliwa. Prosta przechodząca przez punkty M i N: & N,,K L [ L N, B \R] + L 8 K L ( [ L 8 Wzór Johnsona Ostenfelda: K L ( P SR^_+`V X Warunki jakie spełnia parabola: 1. przechodzi przez punkt M 2. zachowuje ciągłość w punkcie C 3. styczna w punkcie C również jest ciągłą (1.4) & (1.5) bb ]Rc ( b d bb h b d 1 8 ( efe g efe g 2. B O, K L 1 i 3 B ]Rc k efeg B h k efeg i M zakres liniowo - sprężysty C M N, ]Rc N, N, +1 j 8 ( j + 8 ( i j 8 ( j j ]Rc N, 8 2( j 1 48 ( B ]Rc ( K. Nalepka, Stateczność prętów prostych 7 N (1.6) (1.7)

Projektowanie prętów przy wyboczeniu Zależność naprężenie krytyczne smukłość według przybliżeń empirycznych Materiał E [GPa] Wzór Tetmajera - Jasińskiego Wzór Johnsona - Ostenfelda N, (1.

8 Projektowanie prętów przy wyboczeniu Zależność naprężenie krytyczne smukłość według przybliżeń empirycznych Materiał E [GPa] Wzór Tetmajera - Jasińskiego Wzór Johnsona - Ostenfelda N, (1.3) Z [ ]Rc N, (1.6) (1.5) 1 (1.7) Stal niskowęglowa Stal ( % C) Stal niklowa (do 5% Ni) rewno miękkie(świerk) Warunek stateczności nop.q siła podłużna w pręcie nop.q - siła dopuszczalna przy wyboczeniu nop.q O, " " q - współczynnik bezpieczeństwa przy wyboczeniu q gdy M N,, zakres liniowo-sprężysty, wzór Eulera O, h (1.1) Materiał K. Nalepka, Stateczność prętów prostych 8 r s Stal rewno Żeliwo gdy < N,, zakres poza liniowo-sprężysty O, B \R] (1.4) lub O, B ]Rc (1.7) pole przekroju pop. pręta

Podobne dokumenty

Wyboczenie ściskanego pręta

Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia