(1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) Przy opisie zjawisk złożonych wartości wszystkich stałych podobieństwa nie mogą być przyjmowane dowolnie.

Transkrypt

1 1. Teoria podobieństa Figury podobne geometrycznie mają odpoiadające sobie kąty róne, a odpoiadające sobie boki są proporcjonane 1 n (1.1) 1 n Zjaiska fizyczne mogą być podobne pod arunkiem, że zachodzą układach podobnych geometrycznie. Odpoiadające sobie iekości układach podobnych muszą być jednorodne (takie samo znaczenie fizyczne, taka sama jednostka) i być przypisane odpoiadającym sobie punktom układu i chiom. W zjaiskach podobnych zachodzi następująca zaeżność pomiędzy odpoiadającymi sobie iekościami (1.) - stała podobieństa (niezaeżna od spółrzędnych i czasu) Stałe podobieństa da: - poa temperatury T T T (1.3) - poa prędkości (1.4) - poa gęstości (1.5) - przeodności ciepnej (1.6) Przy opisie zjaisk złożonych artości szystkich stałych podobieństa nie mogą być przyjmoane doonie.. Podobieństo przeodzenia ciepła

2 Podobieństo dóch układó przeanaizujemy na przykładzie rónania przeodnicta ciepnego Fouriera. Da układu pierszego T T T T a t x y z (.1) i da układu podobnego T t T a x T y T z (.) Stała podobieństa poa temperatury T T (.3) T Stała podobieństa czasu t t (.4) t Stała podobieństa da dyfuzyjności ciepnej a a (.5) a Stała podobieństa da spółrzędnych x y z (.6) y y z Wiekości fizyczne da układu podobnego można ięc przedstaić jako T TT (.7) t t (.8) t a aa (.9) x x (.10) y y (.11) z z (.1) Podstaiamy teraz zaeżności (.7)-(.1) do rónania (.)

3 T T at T T T a (.13) t t x y z Rónania (.1) i (.13) poinny mieć takie same roziązania ze zgędu na zmienne oznaczone prim. Rónania te są tożsamościoe, gdy T a T (.14) t Po uzgędnieniu definicji (.3)-(.6) dostajemy z (.14) at at Fo (.15) Fo iczba podobieństa Fouriera (iczba Fouriera) Poa temperatury ciałach stałych, podobnych geometrycznie, zmieniają się sposób podobny czasie, gdy są jednakoe iczby Fouriera. 3. Podobieństo nikania (przejmoania) ciepła I Warunek brzegoy trzeciego rodzaju da pierszego układu T T T f (3.1) n a da układu podobnego T T Tf (3.) n Stałe podobieństa T T (3.3) T n (3.4) n (3.5) (3.6)

4 Z rónań (3.3)-(3.6) yznaczamy iekości oznaczone bis i podstaiamy do rónania (3.) T T T T T f n (3.7) Rónania (3.1) i (3.7) są tożsamościoe, gdy 1 (3.8) czyi Bi (3.9) Bi iczba (podobieństa) Biota, spółczynniki przeodzenia ciepła da ścianki Róność iczb Biota śiadczy o podobieństie nikania ciepła. 4. Podobieństo nikania (przejmoania) ciepła II Rónanie ymiany ciepła na granicy ciała T T T f (4.1) n a da układu podobnego T T Tf (4.) n, spółczynniki przeodzenia ciepła da płynu Stałe podobieństa T T (4.3) T n (4.4) n (4.5)

5 (4.6) Z rónań (4.3)-(4.6) yznaczamy iekości oznaczone bis i podstaiamy do rónania (4.) T T T T T f n (4.7) Rónania (4.1) i (4.7) są tożsamościoe, gdy 1 (4.8) czyi Nu (4.9) Nu jest iczbą podobieństa Nusseta. Róność iczb Nusseta śiadczy o podobieństie nikania ciepła. 5. Tierdzenia (praa) teorii podobieństa Piersze tierdzenie teorii podobieństa (tierdzenie Netona) Zjaiska podobne mają jednakoe iczby podobieństa. Drugie tierdzenie teorii podobieństa (tierdzenie Buckinghama) - teoremat Roziązanie układu rónań opisujących doone zjaisko fizyczne daje się przedstaić formie zaeżności pomiędzy iczbami podobieństa,,, 0 f (5.1) 1 k gdzie: k n m, n iczba zmiennych ymiaroych, m iczba podstaoych jednostek. Rónanie (5.1) nazyamy rónaniem uogónionym. Trzecie tierdzenie teorii podobieństa (tierdzenie Kirpiczoa-Guchmana)

6 Warunkiem koniecznym i ystarczającym podobieństa dóch zjaisk fizycznych jest podobieństo arunkó jednoznaczności oraz róność okreśających iczb podobieństa. Nieokreśające iczby podobieństa można przedstaić jako funkcje okreśających iczb podobieństa ni g 1,,, k (5.) Warunki jednoznaczności W ceu uzyskania roziązań rónań różniczkoych ymiany ciepła, które precyzyjnie opisują zjaiska układach ymieniających ciepło, naeży do rónań różniczkoych dołączyć arunki jednoznaczności. Do arunkó jednoznaczności zaiczamy: arunki geometryczne opisujące kształt i ymiary układó ymieniających ciepło, arunki fizyczne opisujące łaściości fizyczne układó ymieniających ciepło, arunki początkoe (da przypadkó niestacjonarnych) opisujące układy na początku obseracji zjaiska, arunki brzegoe opisujące transport ciepła na granicach układó. 6. Uogónione rónanie ymiany ciepła Wymiana ciepła podczas przepłyu płynu bez zmiany stanu skupienia. Da przypadku niestacjonarnego Nu f ( Fo, Re, Gr, Pr) iczba Nusseta (6.1) at Fo iczba Fouriera (6.) Re iczba Reynodsa (6.3) g Gr 3 T iczba Grashofa (6.4) Pr iczba Prandta (6.5) a Da przypadku stacjonarnego Nu f ( Re, Gr, Pr) (6.6) Przypadek stacjonarny konekcja ymuszona

7 Nu f ( Re, Pr) (6.7) Przypadek stacjonarny konekcja sobodna Nu f ( Gr, Pr) (6.8) Wykonując badania dośiadczane, których ceem jest uzyskanie uogónionego opisu matematycznego zjaiska, który będzie można rozszerzyć na zjaiska podobne, naeży przestrzegać następujących zasad: mierzyć naeży szystkie iekości chodzące skład iczb podobieństa badanego zjaiska, yniki badań naeży przedstaić postaci zaeżności pomiędzy iczbami podobieństa. Uzyskaną ten sposób zaeżność pomiędzy iczbami podobieństa będzie można zastosoać do zjaisk, które mają podobne arunki jednoznaczności i jednakoe okreśające iczby podobieństa. Teoria podobieństa umożiia: przeproadzenie badań na modeach o mniejszych ymiarach, zastosoanie innych czynnikó (np. tańszych), zastosoanie innych parametró termicznych, np. niższych temperatur i ciśnień. 7. Sens fizyczny iczb podobieństa Wyrażenia definiujące iczby podobieństa często można przekształcić do formy iorazu yrażeń będących miarami dóch różnych zjaisk. Liczby podobieństa można traktoać jako miary zajemnego oddziałyania tych zjaisk. Przykłady Wyrażenie definiujące iczbę Reynodsa (Re), która charakteryzuje podobieństo hydrodynamiczne przy konekcji ymuszonej, może być przedstaione postaci Re gdzie jest miarą siły bezładności płynu, jest miarą siły epkości tym płynie. Liczba Reynodsa jest ięc miarą stosunku sił bezładności do sił epkości.

8 Wyrażenie definiujące iczbę Nusseta (Nu) można przedstaić postaci T Nu T gdzie T jest miarą ciepła nikającego, T jest miarą ciepła przeodzonego. Liczba Nusseta jest ięc miarą zrostu strumienia ciepła transportoanego na drodze konekcji porónaniu do strumienia transportoanego tej samej arstie płynu na drodze przeodzenia. Nu = 1 oznacza, że transport ciepła arstie płynu odbya się tyko na drodze przeodzenia. Liczba Grashofa Gr jest miarą stosunku sił yporu do sił epkości. Liczba Prandta jest miarą stosunku przenoszenia iości ruchu (pędu) oraz iości ciepła płynie.