Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i zawyżających pomiar: P P W wyiu pomiaru otrzymujemy jedą z wielości: 0,,,..., tórych rozład p-twa day jest przez: Wartość oczeiwaa i wariacja zmieej :, p. B 0 5 E V V 4 V 4 M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-
Rozład ormaly - wyprowadzeie Zachowaie graicze rozładu dwumiaowego dla dużych : B ( p) (, p) ep pq pq co w aszym przypadu prowadzi do: p B, p ep pq pq ep ep 4 Przechodząc z e do zera, atomiast z i do iesończoości, ale ta aby wariacja dążyła do stałej e s dostajemy gęstość p-twa zmieej : B, p 0. 5, 0 N ;, ep M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-3
Własości rozładu ormalego Wartość oczeiwaa i wariacja: E ep d V ep d Wszystie ieparzyste momety cetrale ziają ze względu a symetrię, atomiast parzyste dae są przez:!! Dla = mamy (-m) 4 =3s 4, co ozacza, że współczyii asymetrii i spłaszczeia 4 V 3 przyjmują wartości zerowe. 3 3 D M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-4
Dystrybuata rozładu ormalego u ( ) ep du ep dla 0 ep dla 0 X 0.00 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0,5040 0.5080 0.50 0.560 0,599 0,539 0,579 0.539 0.5359 0. 0.5398 0.5438 0.5478 0.557 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.574 0.573 0. 0.5793 0.583 0.586 0.590 0.5948 0.5987 0.606 0.6064 0.603 0.64 0.3 0.679 0.67 0.655 0.693 0.633 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.657 0.4 0.6554 0.659 0.668 0.6664 0.6700 0.6736 0.677 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.695 0.6950 0.6985 0.709 0.7054 0.7088 0.73 0.757 0.790 0.74 0.6 0.757 0.9 0.734 0.7357 0.7389 0.74 0.7454 0.7486 0.757 0.7549 0.7 0.7580 0.76 0.764 0.7673 0.7703 0.7734 0.7764 0.7794 0.783 0.785 0.8 0.788 0.790 0.7939 0.7967 0.7995 0.803 0.805 0.8078 0.806 0.833 0.9 0.859 0.886 0.8 0.838 0.864 0.889 0.835 0.8340 0.8365 0.8389.0 0.843 0.8438 0,846 0,8485 0,8508 0.853 0.8554 0.8577 0.8599 0.86. M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-5
Rozład ormaly - przyłady Przyład: Biolog chce oceić wpływ su zimowego a masę ciała wiewióre. W tym celu waży 000 dorosłych osobiów płci męsiej w pod oiec lata i wczesą wiosą. Oazuje się, że pomiary wyoae w lecie mają rozład ormaly o średiej m=400 g i odchyleiu stadardowym s=00 g. Jaie jest p-two, że losowo wybraa wiewióra waży w lecie pomiędzy 350 g i 450 g? 350 g 400 g 450g 400 g P350 g 450 g P z g g 00 00 P 0. 5 z 0. 5 0. 5 0. 5 0. 5 0. 695 0. 3830 Przyład: Wyii testu IQ przeprowadzoego w pewej populacji mają rozład ormaly o średiej m=00 i odchyleiu stadardowym s=6. Ile wyosi wyi testu poiżej tórego wypada 85% populacji? 85 00 P 85 P z Pz z85 z85 0. 85 6 85 00 Z tablic odczytujemy: z85. 04. 04 85 6. 64 7 6 Przyład: Suma iezależych zmieych z rozładu z rozładu Gaussa o parametrach m i s: z t t z ep ep dt ep z;, N M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-6
Dwuwymiarowy rozład ormaly Gęstość p-twa dwuwymiarowego rozładu ormalego: N, y;,,, y y y y y y Kąt achyleia dłuższej osi elipsy: y ta Proste regresji II-go rodzaju: y y y y y y y y y y y y ep y y y Elipsy owariacji: y M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-7 C wartość wyładia wielorotość dyspersji udział p-twa 0.5 (C=) 39.3%.0 (C=) 86.5% 4.5 (C=3) 3 98.9%
Nierówość Chebysheva Niech,,..., będą iezależymi i pochodzącymi z tego samego rozładu (o wartości oczeiwaej m i dyspersji s) zmieymi losowymi. i Wartość średia: E E i E i E E i Uwaga: Więszość p-twa dla dowolej zmieej losowej socetrowaa jest woół wartości oczeiwaej w zaresie ilu dyspersji : i i V V i V V i i i Twierdzeie: (Nierówość Chebysheva). Dla dowolej zmieej losowej X i dowolej liczby e > 0 zachodzi: Dowód: V f d - P E V f d f d P M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-8 V P P
Prawo wielich liczb Przyład: Zastosowaie ierówości Chebysheva do rozładu wyładiczego z parametrem l =. P P P P e Zastosujmy ierówość Chebyshev a do wartości średiej: Twierdzeie: (Prawo wielich liczb). Dla dwu dowolych liczb d i e istieje taa liczba aturala N, że dla wszystich liczb aturalych > N zachodzi: P 3 4 Chebyshev 0 0.750 0.889 0.938 P( -m <) 0.865 0.950 0.98 0.993 P V lim P 0 M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-9
Cetrale twierdzeie graicze Jeśli day jest ciąg iezależych zmieych losowych,,..., pochodzących z dowolego rozładu, o sończoych wartości oczeiwaej m i dyspersji s, to rozład gęstości zmieej losowej dąży do stadaryzowaego rozładu Gaussa. z gdzie i i M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-0
Suma zmieych poissoowsich Przyład: Rozważmy sumę dwóch iezależych zmieych losowych oraz j z rozładu Poissoa o tym samym parametrze m. Łączy rozład p-twa zmieych oraz j ma postać: j j P,j P Pj e e e! j!! j! Rozład zmieej losowej m = +j otrzymujemy z powyższego łączego rozładu sumując po wszystich parach (, j) taich tórych suma jest stała i rówa m: m m m m m m ( ) Pm P,j( ) e e e jm!( m )! m! 0 0 m! Zmiea losowa m będąca sumą iezależych zmieych losowych z rozładu Poissoa, będzie więc miała rozład: Te sam rezultat otrzymamy orzystając z FGP: P ( ) ( ) e m! t g t e m... m m m M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8- m m t g t g t e
Zachowaie graicze r. Poissoa e e P ( ) e e! e e ep l ep ep 0. 5 ep l z z z ( ) M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-
Zachowaie graicze r. dwumiaowego Przyład: P-two, że w czasie T przestaie świecić jeda żarówa jest rówe p = 0.. Jaie jest p-two, że w czasie T spośród = 00 żarówe przestaie świecić od 7 do 9 przy założeiu, że żarówi przepalają się iezależie? Obliczeia bezpośredio z rozładu dwumiaowego są czasochłoe: 9 9 00 00 P7 9 B,... 00 p 0 0 0 08809. 7 7 ( p) B (, p) ep pq pq Korzystając z tw. de Moivre a Laplace a mamy: 7 0. 5 p p 9 0. 5 p P 7 9 P pq pq pq 7 0. 5 0 9 0. 5 0 P z P. 7 z 3. 7 9 9 3. 7. 7 3. 7. 7 0. 999 0. 8790 0. 878 Bez 0.5 otrzymalibyśmy: P7 9 P z 3 3 0. 8400 M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-3