Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Transkrypt

1 Matematyka fiasowa r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 100 miut 1

2 Matematyka fiasowa r. 1. Zakład ubezpieczeń majątkowych rozpoczya działalość 1 styczia 2008 roku. Początkowy margies wypłacalości wyosi a tę datę 180 ml PLN. Margies wypłacalości a koiec każdego astępego roku, utożsamiay z kwotą kapitału potrzebego a bezpiecze prowadzeie działalości, wyliczay jest jako 18% składki przypisaej brutto za day rok. Środki włase a pokrycie margiesu iwestowae są przy roczej efektywej stopie zwrotu 4%, zakładamy że zakład posiada środki a pokrycie 100% margiesu. Wyzacz wartość obecą (a 1 styczia 2008 roku) łączego kosztu zablokowaia środków własych w margiesie wypłacalości w ciągu 6 lat działalości (k = 1,,6, od 1 styczia 2008 do 31 grudia 2013), jeżeli składka w 2008 roku wyiosła 1050 ml PLN i rośie o 5% roczie, a właściciel oczekuje 10% stopy zwrotu. A) 48 B) 53 C) 58 D) 63 E) 68 Uwaga. Koszt zablokowaia kapitału w margiesie wypłacalości to suma dopłat do środków a pokrycie margiesu w ciągu 6 lat (włączając w to początkową kwotę margiesu), pomiejszoa o przychody z iwestycji osiągięte przez 6 lat a środkach a pokrycie margiesu. Na koiec 2013 roku margies wypłacalości jest rozwiązyway i zablokowae środki są odzyskiwae. Jest to rówież wliczae do rachuku kosztu margiesu. 2

3 Matematyka fiasowa r. 2. Duratio rety ( Da ) wyosi α, zaś rety ( Ia ) wyosi β. Niech r > 0 ozacza stopę dyskotową. Spośród stwierdzeń: (i) dur( a ) α + β = +1 Da + Ia = + 1 a (ii) ( ) ( ) ( ) (iii) dur( a ) (iv) 1 lim α = 1+ r prawdziwych jest: ( + 1) α = + 1+ α β A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 3

4 Matematyka fiasowa r. 3. Kwota s > 0 jest wypłacaa w formie rety wieczystej o płatościach b a początek roku = 0,1,. Wartość obeca rety o płatościach mometach co b, dokoywaych w tych samych! 2 b, wyosi v, gdzie v > 0 jest czyikiem dyskotującym (ie musimy zakładać v < 1). Oblicz s przy założeiu, że płatości b ie są fukcją v. Odpowiedź (podaj ajbliższą wartość). A) 1 B) 2 C) exp( 1) D) exp( 2) E) b

5 Matematyka fiasowa r. 4. Rozważmy retę pewą 10-letią, której pierwsza płatość b N, 1 przypada a początku roku N (N = 1, 2, ). Płatość o umerze k, w kwocie b N, k tej rety przypada a początek roku N + k 1, k = 2,,10. Płatości wyoszą: b b N,1 N, k = 10 N, = N( k 1), k = 2, K,10. Przyjmujemy, że N 1 jest zmieą losową o rozkładzie Poissoa ze średią λ = 5 (tz., że P λ! λ ( N 1 = ) = e, = 0,1, K. ). Iwestor abył portfel 10-ciu takich ret (i-ta reta rozpoczya się w a początku losowego roku N i, zakładamy że N i są iezależe, i = 1,,10). Oblicz średią i wariację wewętrzej stopy zwrotu tego portfela (IRR). Odpowiedź (podaj ajbliższą wartość). A) (30%,150%) B) (30%,0%) C) (45%,225%) D) (150%,225%) E) (45%,0%) 5

6 Matematyka fiasowa r. 5. W diu 31 grudia 2007 Pa Ja kupuje a ryku pierwotym 4-letią obligację po ceie 1000 PLN. Nomiał obligacji wyosi 1000 PLN, zaś stałe kupoy płate są a koiec każdego roku. Strukturę czasową stóp procetowych a dzień 31 grudia 2007 opisuje krzywa stóp spot (krzywa zerokupoowa): s =, = 1,2, K gdzie s ozacza -letią stopę spot. Wyzacz stopę kupou tej obligacji. Odpowiedź (podaj ajbliższą wartość). A) 4.0% B) 4.4% C) 5.0% D) 5.3% E) 5.7% 6

7 Matematyka fiasowa r. 6. Ile wyosi w diu emisji cea ieskończoego pakietu obligacji zerokupoowych, takiego że w każdą roczicę zakupu wygasa dokładie jeda obligacja z tego pakietu, a - letia obligacja ma omiał 2 PLN? Wiadomo, że stopa procetowa jest stała, a czyik dyskotujący wyosi Podaj ajbliższą wartość. A) PLN B) PLN C) PLN D) PLN E) PLN 7

8 Matematyka fiasowa r. 7. Bak propouje klietom lokatę zawieraą a 1 rok kaledarzowy. Lokata gwaratuje klietowi, że a koiec roku otrzyma o astępującą wypłatę: I(1) K ( 1) = L max, 1+ r, I(0) gdzie L ozacza zaiwestowaą sumę, I(0) - wartość pewego ideksu w momecie rozpoczęcia lokaty, I(1) - wartość ideksu w momecie wygaśięcia lokaty, zaś r = 21,6% roczą stopę procetową wolą od ryzyka. Wiadomo, że ideks I (t) wzrasta w ciągu każdych trzech kolejych miesięcy o 20% z prawdopodobieństwem 0,5 lub maleje o 20% rówież z prawdopodobieństwem 0,5. Ile wyosi, w momecie zawarcia lokaty, wartość oczekiwaa kosztu udzieloej przez Bak gwaracji (gwaracji wypłaty kwoty K(1) w momecie wygaśięcia lokaty), wyrażoa jako procet zaiwestowaej sumy L? Odpowiedź (podaj ajbliższą wartość) A) 0% B) 8% C) 10% D) 16% E) 20% 8

9 Matematyka fiasowa r. 8. Obligacja dwuletia o wartości wykupu PLN, rówej wartości omialej, płaci rocze kupoy rówe 3% wartości omialej. Cea emisyja wyzaczaa jest w oparciu o astępującą strukturę stóp procetowych: r 1 = 5% jest stopą procetową (forward) w pierwszym roku po emisji, zaś r 2 = 4% w drugim roku po emisji. Wiadomo, że pierwszy kupo będzie reiwestoway w momecie jego płatości a okres pozostały do wygaśięcia obligacji, przy stopie procetowej r 2. Za zakumulowaą wartość wypłat (uwzględiając opisaą reiwestycję kupou) kupujemy w momecie wygaśięcia obligacji 10-letią retę o stałych, roczych płatościach, płatą a początku kolejych lat, skalkulowaą przy stałej stopie techiczej rówej wewętrzej stopie zwrotu (YTM) z obligacji. Jaka jest rocza wypłata z tej rety? Podać ajbliższą odpowiedź. A) 1280 PLN B) 1282 PLN C) 1284 PLN D) 1286 PLN E) 1288 PLN 9

10 Matematyka fiasowa r. 9. Kredyt hipoteczy w wysokości PLN spłacay jest w 40 rówych, roczych ratach, płatych z dołu przy stopie i = 5%. Bezpośredio po spłacie 8 raty ulega zmiaie stopa procetowa. Jedocześie kredytobiorca decyduje się a skróceie pozostałego okresu kredytowaia. Pozostała część kredytu będzie teraz spłacaa przez koleje 20 lat, w rówych, płatych z dołu, roczych ratach, ze zmiejszoą stopą r = 4%. Niech S r ozacza sumę odsetek zapłacoych w pierwszych 10 latach owego kredytu (tj. w latach 9, 10,, 18 licząc od mometu zaciągięcia pożyczki), atomiast S i sumę odsetek które byłyby zapłacoe w tym samym okresie w orygialej formie. Ile wyosi A) 35% B) 40% C) 140% D) 155% E) 180% S i? Podaj ajbliższą odpowiedź. S r 10

11 Matematyka fiasowa r leti kredyt hipoteczy X jest spłacay w rówych ratach a koiec kolejych lat z efektywą stopą oprocetowaia i 1 = 6% w skali roku. Na koiec 15 roku (po zapłaceiu 15- tej raty) kredytobiorca ma możliwość zaciągięcia dodatkowego kredytu Y w wysokości rówej wielkości aktualego zadłużeia z tytułu kredytu dotychczasowego. Przyjmujemy założeie, że kredytobiorca zawsze skorzysta z tej opcji, o ile będzie wówczas wypłacaly (ie dojdzie wcześiej do jego bakructwa). Dodatkowy kredyt spłacay jest w 15 rówych ratach płatych a koiec kolejych lat przy tej samej stopie i 1 = 6%. Warukiem uruchomieia całości kredytu 30-letiego było opłaceie jedorazowej składki (etto) P = za ubezpieczeie iewypłacalości kredytobiorcy, skalkulowaej przy roczej stopie techiczej i 2 = 4%. Prawdopodobieństwo bakructwa kredytobiorcy w każdym z lat 1,2,...,30 wyosi 0.5% o ile ie doszło do iego wcześiej (bakructwo jest ieodwracale i może wystąpić tylko raz). W przypadku bakructwa kredytobiorcy, ubezpieczyciel przejmuje a siebie spłacaie kredytu i musi spłacić wszystkie pozostałe do zapłaty raty w termiach ich płatości (rówież wyikające z zaciągiętego kredytu dodatkowego, o ile miał miejsce). Jaka jest kwota zaciągiętego kredytu X? Podaj ajbliższą wartość. A) B) C) D) E)

12 Matematyka fiasowa r. Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Matematyka fiasowa Arkusz odpowiedzi * Imię i azwisko:... Pesel:... OZNACZENIE WERSJI TESTU... Zadaie r Odpowiedź Puktacja 1 B 2 D 3 B 4 B 5 E 6 D 7 B 8 C 9 C 10 D * Oceiae są wyłączie odpowiedzi umieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia Komisja Egzamiacyja. 12