Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona

Transkrypt

1 Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów statystyczych: dwumiaowego, Poissoa, ormalego w przypadku tzw. złej i dobrej statystyki (parametry rozkładów, zwrócić uwagę a różice i sposób (waruki) przechodzeia od jedego do drugiego rozkładu). Podstaw prawa rozpadu promieiotwórczego.

2 Krótki opis teoretyczy W większości doświadczeń przeprowadzaych a pracowi jądrowej dążymy do tego aby rejestrowae liczby zliczeń w obecości źródła promieiotwórczego były dostateczie duże tak, żeby estymowaie otrzymaych wyików oprzeć a własościach rozkładu ormalego (Gaussa). Każdej powyższej sytuacji towarzyszy pomiar tzw. tła czyli rejestracja impulsów pochodzących z rozpadów promieiotwórczych w otaczającym as środowisku. Powtarzając pomiar w tym samym przedziale czasu zauważymy rozrzut otrzymaych wyików pomiarów. Nie jest to podyktowae złym wykoywaiem pomiarów, ale statystyczym charakterem samego zjawiska promieiotwórczości. Wykoujemy serię pomiarów i =,, 3, 4, 5, 6,... ( całkowita liczba pomiarów), których realizacja z kolejych pomiarów staowi zbiór zmieych losowych iezależych, dyskretych o wartościach ze zbioru liczb całkowitych, ieujemych k = 0,,, 3, 4,... Prowadząc pomiary tła ie jesteśmy w staie określić, które z jąder atomowych się rozpadają, ie możemy też określić kokretej liczby rozpadających się jąder. Jedo co możemy oszacować to średią liczbę rozpadów w daym przedziale czasu t i to właśie liczba k am to wskazuje. Jeżeli mamy M jąder i prawdopodobieństwo rozpadu promieiotwórczego pojedyczego jądra w dowolym, ale ustaloym czasie t ozaczymy przez p, to prawdopodobieństwo zliczeia k rozpadów w tym przedziale jest prawdopodobieństwem k "sukcesów'" w M "próbach" (p(k)).. Wobec tego faktu rozkład liczby zliczeń jest rozkładem dwumiaowym b(k, M). Jeżeli teraz przedział czasu t jest a tyle mały, że liczba jąder promieiotwórczych w M "próbie" praktyczie się ie zmieia w czasie jego trwaia, tz. k << M oraz p( k) <<, to wtedy rozkład prawdopodobieństwa p(k) opisujemy tzw. rozkładem Poissoa, otrzymaym z rozkładu dwumiaowego w wyiku przejścia graiczego: M, i p( k) 0. Formułę tego rozkładu pierwszy opracował fracuski matematyk Simeo-Deis Poisso w 837 roku, a praktyczie zastosował i opisał w książce "The law of small umbers" Ladislaus vo Bortkiewicz w roku 898: Wzór rozkładu Poissoa λ k P( k, M ) = e λ, k! gdzie λ jest parametrem rozkładu P(k). Własości rozkładu: jest uormoway tz., że P( k, λ) =, k = 0 wartość oczekiwaa rozkładu E ( k) = λ, parametry rozrzutu zmieej losowej k wokół wartości oczekiwaej : wariacja (azywaa też dyspersją) V (k) = λ, odchyleie stadardowe σ ( k) = λ. Z powyższych rówań wyika, że rozkład Poissoa scharakteryzoway jest tylko jedym parametrem λ. Najlepszym estymatorem wartości oczekiwaej zmieej losowej k jest średia arytmetycza k, obliczoa ze wzoru:

3 3 ki k = i=, Obliczając wartość średią, czyli wartość oczekiwaą rozkładu Poissoa P(k, λ) zobaczymy, że parametr λ jest po prostu wartością średią zmieej losowej k, czyli jest rówy średiej arytmetyczej liczby zliczeń impulsów dużej serii pomiarowej λ = k. Przy czym wraz ze wzrostem wartości średiej arytmetyczej liczby zliczeń rozkład Poissoa robi się coraz bardziej symetryczy i dla dostateczie dużej wartości średiej przechodzi w rozkład Gaussa. Biorąc pod uwagę powyższą charakterystykę rozkładu Poissoa zarówo dyspersja jak i odchyleie stadardowe związae są ze średią arytmetyczą liczby zliczeń. Ozacza to, że jeżeli będziemy rejestrować wyiki pomiarów liczby zliczeń impulsów dla wielkiej liczby rówych przedziałów czasu t, to w zaczej części tych przedziałów liczba zdarzeń k będzie różić się od k ie więcej iż o k. Przykłady rozkładu Poissoa P(k, λ) dla liczb λ =, 4, 9, 5. Liia ciągłą zazaczoo dla porówaia rozkład ormaly Gaussa N(λ, pierwiastek z λ).

4 4 Techika pomiarów: Ćwiczeie polega a pomiarze liczby impulsów liczika G-M ekspoowaego promieiowaiem kosmiczym w kolejych, jedakowych odstępach czasu t zgodie z poiższymi wskazówkami:. Dobrać czas trwaia pojedyczego pomiaru tak, aby średia liczba zliczeń dla tego czasu wyosiła 7-0 impulsów.. Zmierzyć co ajmiej 00-krotie liczbę zliczeń dla zadaego przedziału czasu t. Opracowaie wyików:. Wypełić poiższe tabelki: Numer i-tego pomiaru (i =,,...) - całkowita liczba pomiarów 3... Liczba zliczeń k impulsów w i- tym pomiarze Wybieramy dae k i wypełiamy tabelkę: Liczba pomiarów N k z daym k Częstość występowaia daego k: p(k) = N k /. Wyliczyć średią arytmetyczą liczby zliczeń impulsów. 3. Sporządzić wykres fukcji N k (k) dla dwu przypadków: a. uwzględić tylko pierwszy pomiar, b. uwzględić tylko pierwsze 0 pomiarów. 4. Sporządzić wykres doświadczalych częstości p(k) i a tym samym wykresie akreślić prawdopodobieństwo p k obliczoe z formuły rozkładu Poissoa: k ( keksp) P( k) = exp( keksp). k! Porówać te wykres z wykresem otrzymaym w pkt. 3b). 5. Obliczyć estymator wariacji badaego rozkładu (obciążoy i ieobciążoy): S = ( ki k ), i= S * ( ) = k i k. i= Otrzymae wyiki porówaj z wartością teoretyczą wariacji V(k).

5 Studet wiie wykazać się zajomością:. Podstawowego prawa rozpadu promieiotwórczego.. Rozkładów statystyczych: dwumiaowego, Gaussa i Poissoa. 5