Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Transkrypt

1 Maemayka ubezpieczeń mająkowych r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam rozkład wykładiczy z warością oczekiwaą rówą jede. Niech dla każdej liczby auralej : Ψ ( u) = & Pr( U 0 < 0 U < 0 U < 0... U < 0U 0 = u) ozacza fukcję (zmieej rzeczywisej u) prawdopodobieńswa ruiy w ciągu pierwszych okresów czasu. Jase jes że: Ψ ( u ) = exp( ( u + c) ). Sosując odpowiedi wzór rekurecyjy wyzaczoo asępe wyrazy ciągu fukcji kóre dla u 0 okazały się mieć posać: Ψ ( u ) = exp( ( u + c) ) + ( u + c) exp( ( u + c) ) ( u + c)( u + c) Ψ ( u ) = exp( ( u + c) ) + ( u + c) exp( ( u + c) ) + exp( ( u + c) ) Zajdź posać fukcji Ψ 4 ( u). Przy założeiu że c = jej warość w pukcie u = wyosi: 5 Ψ 4() = exp( ) + exp( ) + 4exp( 4) + exp( 5) 8 Ψ 4() = exp( ) + exp( ) + 4exp( 4) + exp( 5) 4 Ψ 4() = exp( ) + exp( ) + 4exp( 4) + exp( 5) 8 Ψ 4() = exp( ) + exp( ) + 4exp( 4) + exp( 5) 6 Ψ 4() = exp( ) + exp( ) + 4exp( 4) + exp( 5)

2 Maemayka ubezpieczeń mająkowych r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam rozkład wykładiczy z warością oczekiwaą rówą jede. Jeśli paramery procesu wyoszą: c = l u = 6l o prawdopodobieńswo ruiy w ieskończoym horyzocie czasu wyosi:

3 Maemayka ubezpieczeń mająkowych r. Zadaie. Rozważamy klasyczy proces adwyżki z zerową adwyżką począkową U = c gdzie: () S N () c jes sumą składek zgromadzoych do momeu N jes procesem Poissoa z paramerem iesywości λ () S = Y i jes sumą warości pierwszych szkód i= warości szkód Y Y... są i.i.d iezależe od procesu N O rozkładzie warości pojedyczej szkody wiemy ylko yle że: Pr( Y [ 0] ) = E( Y ) =/ 5 Wobec ego warość oczekiwaa deficyu w momecie ruiy (pod warukiem że do ruiy dojdzie) może przyjmować róże warości. Przedział kóry zawiera wszyskie e warości (i ic poado) jes posaci: Y ( )

4 Maemayka ubezpieczeń mająkowych r. Zadaie 4. Niech dla kierowcy posiadającego rocze ubezpieczeie OC oraz AC: N ozacza liczbę wypadków skukujących w szkodach z obu ubezpieczeń N O ozacza liczbę wypadków skukujących w szkodach ylko z OC N A ozacza liczbę wypadków skukujących w szkodach ylko z AC. Przy daej warości paramerów ryzyka ( Λ Θ) charakeryzujących kierowcę zmiee e są warukowo iezależymi zmieymi losowymi o rozkładach Poissoa z warościami oczekiwaymi rówymi odpowiedio: E(N Λ Θ) = Λ E( N O Λ Θ) = Λ 4 E( N A Λ Θ) = Λ + Θ Rozkład paramerów ryzyka ( Λ Θ) w populacji kierowców posiadających rocze ubezpieczeie OC oraz AC charakeryzuje się ym że: ( Λ Θ) są iezależe E( Λ ) = Var ( Λ ) = E( Θ ) = Var ( Θ ) = Kowariacja liczby wypadków z OC z liczbą wypadków z AC: Cov N + N N + wyosi: ( ) O N A

5 Maemayka ubezpieczeń mająkowych r. Zadaie 5. Proces pojawiaia się szkód w czasie N ( ) jes procesem o przyrosach iezależych o rozkładzie ujemym dwumiaowym daym dla każdego ieujemego oraz dodaiego s wzorem: Γ ( ( ) ( ) ) ( r s + k) s k ( q) ( ) r Pr N + s N = k = q k = 0... k! Γ r s gdzie r = 5 oraz q = o paramery procesu. Oblicz graicę prawdopodobieńsw warukowych: ( N( + s) N( ) = N( + s) N( ) 0) limpr > 0 s 5 l l 5l Uwaga: Iuicyjie - pyaie doyczy prawdopodobieńswa iż w momecie w kórym dojdzie do przyrosu procesu wysąpi rówocześie więcej iż jeda szkoda 5

6 Maemayka ubezpieczeń mająkowych r. Zadaie 6. Ryzyko X wyceiamy zgodie z formułą: Π ( X ) = y + E ( X y) [ ] y + gdzie y = F X ( ε ) jes kwaylem rzędu ( ε ) rozkładu zmieej X. Przyjmijmy dla uproszczeia że zmiea X ma rozkład ormaly o zerowej warości oczekiwaej i jedoskowej wariacji. Dla ε = przeprowadziliśmy obliczeia i w wyiku orzymaliśmy: Π X ) ( = Wobec ego Π X ) z dobrym przybliżeiem wyosi:.545( Wskazówka: aproksymacja liiowa z wykorzysaiem pierwszej pochodej obarczoa jes błędem a yle małym że pozwoli a wskazaie prawidłowej odpowiedzi 6

7 Maemayka ubezpieczeń mająkowych r. Zadaie 7. Zmiea losowa: X = Y Y N ma złożoy rozkład Poissoa o warości oczekiwaej λ =. W abeli poiżej podao rozkład prawdopodobieńswa składika Y. W ejże abeli podao akże obliczoe dla = prawdopodobieńswa Pr X = k. k ( ) k Pr ( Y = k) Pr( X = k) Wobec ego Pr ( X = 5) z dobrym przybliżeiem wyosi:

8 Maemayka ubezpieczeń mająkowych r. Zadaie 8. W pewym ubezpieczeiu mamy do czyieia z ciągłym liiowym wzrosem liczby ryzyk w porfelu co wyraża założeie iż zmiea T ( 0) wyrażająca mome zajścia losowo wybraej szkody z ego porfela w ciągu roku (o ile oczywiście do szkody dojdzie) ma rozkład day gęsością: 8 4 f () = Niech T ozacza odsęp w czasie od momeu zajścia szkody do jej likwidacji. Zmiea a ma rozkład wykładiczy z warością oczekiwaą rówą dwa (laa). Zakładamy że zmiee losowe T oraz T są iezależe. Prawdopodobieńswo iż szkoda do kórej doszło w ciągu roku pozosaie ie-zlikwidowaa a koiec ego roku z dobrym przybliżeiem wyosi:

9 Maemayka ubezpieczeń mająkowych r. Zadaie 9. Łącza warość szkód z polisy wyosi: X = Y + K + Y N (zero jeśli N = 0 ). Przy daej warości parameru ryzyka Λ zmiea X ma rozkład złożoy Poissoa: E N Λ = z oczekiwaą liczbą szkód rówą ( ) Λ i rozkładem pojedyczej szkody gamma o gęsości ( y) Λy ( Λ y) f Y Λ = exp. Zróżicowaie parameru ryzyka Λ w populacji ubezpieczoych opisuje rozkład Gamma o paramerach ( 0) z. o gęsości a półosi dodaiej daej wzorem: 0 λ ( λ) = 0 λ e f Λ. Warość oczekiwaa (bezwarukowa) zmieej X wyosi: π 0 0π 4 0π 0 π 0π Wskazówka: Γ = π 9

10 Maemayka ubezpieczeń mająkowych r. Zadaie 0. (poprawioe po egzamiie) Ozaczmy przez łączą warość szkód zaisiałych w roku przez ę jej X X 0 X część kóra doyczy szkód zlikwidowaych przed końcem roku zaś przez część pozosałą. Warukowe momey ych zmieych (przy daej warości parameru ryzyka μ ) spełiają założeia: E( X 0 μ ) = μ p E( X μ ) = ( p) μ Var( X μ ) = μ 0 pb Var( X μ ) = μ ( p) b Cov( X 0 X μ ) = 0 zaś rozkład parameru ryzyka μ spełia założeia: E ( μ ) = μ Var( μ ) = a Najlepszy ieobciążoy liiowy predykor zmieej μ opary a iformacji o zmieej oraz zaych warościach paramerów p b μ a jes posaci: X ( ) 0 BLUP( μ X ) cx d 0 = 0 + Współczyik c wysępujący w powyższym wzorze jes posaci: c = a p( μb + a ) pa c = μ b + p a a c = μ b + pa a c = b + pa pa c = b + p a 0

11 Maemayka ubezpieczeń mająkowych r. Egzami dla Akuariuszy z 9 paździerika 006 r. Maemayka ubezpieczeń mająkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i azwisko... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadaie r Odpowiedź Pukacja A C E 4 E 5 D 6 B 7 E 8 D 9 A 0 C * Oceiae są wyłączie odpowiedzi umieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia Komisja Egzamiacyja.