1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o

Transkrypt

1 1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady z próby. Rozkład t Studeta o -1 stopiach swobody ma statystyka postaci: t X m S 1, gdzie X 1 1 X i, S X i X i1 i1 2 a zmiee losowe X i mają rozkład N(m,). Przy tych samych, powyższych założeiach statystyka 2 S ma rozkład chi-kwadrat ( 2 ) o -1 stopiach swobody. 2 2 Dla obu tych rozkładów z próby

2 są tablice wartości zmieych przy daym prawdopodobieństwie, ozaczaym symbolem. Estymacja parametrów Jedym z główych zagadień wioskowaia statystyczego jest estymacja ( szacowaie). Estymacja polega a szacowaiu wartości parametrów bądź postaci rozkładu populacji a podstawie próby. Estymacja parametrycza może dotyczyć takich parametrów jak wartość średia, wariacja, odchyleie stadardowe. Estymacja przedziałowa. Te sposób szacowaia parametrów polega a określeiu przedziału, który zawiera prawdziwą wartość parametru. Przedział liczbowy (losowy), który zawiera prawdziwą wartość parametru z określoym z góry prawdopodobieństwem 1- azywamy przedziałem ufości. Wartość1- azywamy współczyikiem ufości, a poziomem istotości ( błąd estymacji). Długość przedziału ufości zwiększa się wraz ze wzrostem współczyika ufości. Przedział ufości dla średiej.

3 Model I Populacja geerala ma rozkład ormaly N(m,). Wielkości m i szacujemy a podstawie małej próby. Korzystamy ze statystyki t, X m t 1, S o rozkładzie Studeta o -1 stopiach swobody. Przedział ufości dla średiej m ma postać przedziału otwartego: x t s s, x t 1 1, gdzie t odczytujemy z tablic rozkładu Studeta dla daego i r=-1 stopi swobody. Model II Populacja geerala ma rozkład ormaly N(m,). Wielkości m i szacujemy a podstawie dużej próby. Korzystamy ze statystyki u, u X m, S o rozkładzie ormalym N(0,1). Przedział ufości dla średiej m ma postać przedziału otwartego:

4 x u s x u s,, gdzie u odczytujemy z tablic rozkładu Studeta dla daego i r= liczby stopi swobody. Przykład: W pewym doświadczeiu chemiczym bada się czas całkowitego zakończeia pewej reakcji chemiczej. Czas ma rozkład ormaly. Dokoao 12 doświadczeń i otrzymao 46 [s] i odchyleie stadardowe s=13 [s]. Przyjmując współczyik ufości 1-=0,99 oszacować metodą przedziałową oczekiway czas zakończeia rekcji. Rozwiązaie: Korzystamy z modelu I. Ustalamy -1=11, szukamy t dla rozkładu Studeta przy 11 stopiach swobody i =0,01. Otrzymujemy: t =3,106. Wystarczy teraz dae z przykładu i ustaloą wartość tablicową wstawić do wzoru. Otrzymujemy rozwiązaie: m46 3,106 13, , m 4612,17; 4612,17 m33,83; 58,17 z prawdopodobieństwem 0,99. Przykład. W celach atropometryczych dokoao a wylosowaych iezależie 400 studetach z pewego miasta pomiaru długości stopy. Długość ta ma rozkład

5 ormaly. Otrzymao z tej próby =26,4 [cm] oraz s=1,7 [cm]. Oszacować za pomocą przedziału ufości przy współczyiku ufości 0,9 średią długość stopy studetów z tego miasta. Rozwiązaie: Korzystamy z modelu II. Ustalamy =400, szukamy u dla rozkładu Studeta przy ajwiększej liczbie stopi swobody i =0,1. Otrzymujemy: u =1,645. Wystarczy teraz dae z przykładu i ustaloą wartość tablicową wstawić do wzoru. Otrzymujemy rozwiązaie: m26,4 1,645 1,7 ; ,4 1,645 1,7 400 m 26,4 0,14; 26,4 0,14 m 26,26; 26,54 z prawdopodobieństwem 0,9. HIPOTEZY STATYSTYCZNE Hipoteza statystycza to przypuszczeie dotyczące rozkładu populacji geeralej, podlegające sprawdzeiu (weryfikacji). Hipoteza zerowa (H 0 ) to taka hipoteza, która podlega bezpośrediej weryfikacji.

6 Hipoteza alteratywa (H 1 ) jest zaprzeczeiem lub alteratywą dla hipotezy zerowej. Hipotezy parametrycze to takie hipotezy, które dotyczą wartości parametrów. Weryfikacja hipotez statystyczych odbywa się za pomocą testów statystyczych. Tworząc testy staramy się, aby ie popełiać podwójych błędów, -odrzucić hipotezę prawdziwą (błąd 1. rodzaju) -przyjąć hipotezę fałszywą (błąd 2. rodzaju). Testy istotości to takie testy statystycze, w których podejmujemy decyzję o odrzuceiu hipotezy zerowej lub stwierdzamy brak podstaw do jej odrzuceia. Ewetualy błąd 1. rodzaju popełia się z iewielkim prawdopodobieństwem zwaym poziomem istotości. Budowa testu istotości opiera się a zaych statystykach, dla których wyzacza się wartości z próby oraz ustala się obszar krytyczy testu. Jeśli obliczoa wartość zajduje się w obszarze, to odrzucamy hipotezę zerową.

7 Test dla wartości średiej. Model 1. Populacja ma rozkład N(m,). Niezae parametry szacujemy z małej próby. Stawiamy hipotezy: H 0 : m=m 0 H 1 : mm 0 Z wyików próby obliczamy wartość statystyki t: t obl x m s 0 1 Obszar krytyczy dla tej hipotezy alteratywej określa ierówość: tt. Wielkość t odczytujemy z tablic rozkładu Studeta dla daego poziomu istotości i r=-1 stopi swobody. Jeśli obliczoa z próby wartość spełia ierówość z obszaru krytyczego, tz. t obl t to odrzucamy hipotezę zerową, w przeciwym przypadku ie ma podstaw do odrzuceia tej hipotezy. Model 2. Populacja ma rozkład N(m,) lub dowoly o skończoej wariacji. Niezae parametry szacujemy z dużej próby. Stawiamy hipotezy:

8 H 0 : m=m 0 H 1 : mm 0 Z wyików próby obliczamy wartość statystyki u: x m s 0 u obl Obszar krytyczy dla tej hipotezy alteratywej określa ierówość: uu. Wielkość u odczytujemy z tablic rozkładu Studeta dla daego poziomu istotości i r= stopi swobody. Jeśli obliczoa z próby wartość spełia ierówość z obszaru krytyczego, tz. u obl u to odrzucamy hipotezę zerową, w przeciwym przypadku ie ma podstaw do odrzuceia tej hipotezy. Uwaga. Jeśli w tym teście ( dla obu modeli) określimy ie hipotezy alteratywe to ulegą zmiaie obszary krytycze. Tz. 1. Jeżeli H 1 :m>m 0 to obszar krytyczy: t>t 2 lub u>u Jeżeli H 1 :m<m 0 to obszar krytyczy t<-t 2 lub u<-u 2. Przykład 1 Wylosowao iezależie 12 gospodarstw rolych w pewej wsi i otrzymao wyiki dotyczące ploów owsa.

9 Średia z próby wyiosła 22,3 [q/ha], a odchyleie stadardowe 0,98 [q/ha]. Na poziomie istotości 0,05 zweryfikować hipotezę, że średi plo owsa w całej wsi wyosi 22,6. Rozwiązaie: Stawiamy hipotezy: H 0 : m=22,6 H 1 : m22,6 Obliczamy: t obl 22,3 22,6 0, Obszar krytyczy: tt. t =2,201, dla =0,05 i -1=11 stopi swobody Poieważ t obl < t to ie ma podstaw do odrzuceia H 0! Przykład 2 Dziee zużycie wody w fabryce podlega wahaiom losowym. Na podstawie obserwacji z 315 di stwierdzoo, że średie dziee zużycie wyosi 1029 [m 3 ], a wariacja 191[m 6 ]. Zweryfikować a poziomie istotości 0,01 hipotezę, że średie dziee zużycie wody jest większe iż 1028 [m 3 ]. Rozwiązaie: Stawiamy hipotezy:

10 H 0 : m=1028 H 1 : m>1028 Obliczamy: u obl ,57 Obszar krytyczy: uu 2. u 2 =2,326, dla 2=0,02 i stopi swobody Poieważ u obl >u 2. to odrzucamy H 0 (!) Przykład 3. Aby oceić ilość siaa a obszarze łąk pokrywających 20 ha, pobrao losowo150 prób o powierzchi 1 m 2 każda, zebrao z każdej cały plo siaa, a astępie obliczoo dla tych 150 prób średią 218,2 g z odchyleiem stadardowym 38,0 g. Sprawdzić a poziomie istotości 0,01 hipotezę, że średia ilość siaa wyosi 210 g. Rozwiązaie: Stawiamy hipotezy: H 0 : m=210 H 1 : m210 Obliczamy: u obl 218, ,59 Obszar krytyczy: u u u =2,576, dla =0,01 i stopi swobody Poieważ u obl >u. to odrzucamy H 0 (!)