Fizyka Kawatowa i Statystycza Wykad 5 Potecjay periodycze Powstawaie struktury pasmowej eergii Rozpatrzmy cig wzrastajcej liczby studi potecjau w staie podstawowym i poooych blisko siebie: Dla dwóch takich studi: symetrycze fukcje falowe ukadu studi okazuj si gadkim symetryczym zoeiem fukcji falowych staów podstawowych pojedyczej studi atysymetrycze fukcje falowe - takim samym atysymetryczym zoeiem Jak si okazuje rozwizaie atysymetrycze ma wiksz redi krzywiz - temu rozwizaiu odpowiada wic wiksza (średia) eergia kietycza: E ki = - - (x) * d m dx (x) dx w stosuku do rozwizaia symetryczego dla caego ukadu.
Fizyka Kawatowa i Statystycza Wykad 5 Gdy zbliamy dwie studie do siebie roie roszczepieie eergii staów wasych ukadu studi: gdy zika ciaa rozdzielajca studie zika wgbieie w staie symetryczym w obszarze pomidzy studiami. W efekcie jego eergia staje si isza i stau atysymetryczego jak a rysuku obok. W zbiorze N blisko siebie leżących okresowo ułożoych studi każda warto wasą eergii ukadu ma swój odpowiedik w zbiorze N wartoci wasych pojedyczej studi. Odstp pomidzy eergiami ukadu moe by iewielki - tworz oe pasmo eergetycze. Pasma eergii odgrywaj du rol w fizyce krysztaów gdzie z kadym wzem sieci moemy zwiza studi potecju. Studie te w krysztale uooe s okresowo co prowadzi do powstaia pasm eergii. Liczba biorcych udzia studi (wzów sieci) jest przy tym bardzo dua (0 3 ). Powoduje to, e odstpy pomidzy wartociami eergii w pamie s iezwykle mae (kwazi-cigy rozkad eergii w pasmie).
Fizyka Kawatowa i Statystycza Wykad 5 3 Oscylator harmoiczy w mechaice kwatowej Dotychczas aalizowalimy ukady, w których sia dziaaa tylko a graicy obszarów - bo tylko tam potecja ulega zmiaie. Najprostszym przypadkiem kiedy tak ie jest (a do tego bardzo waym jedowymiarowym modelem) jest oscylator harmoiczy, dla którego sia F = - k x ; k >0 osc osc To zaczy, e w rówaiu Schrödigera wystpuje potecja m V ( x )= kosc x = x Rówaie Schrödigera przyjmuje wic posta: - d m x (x)= E (x) m d x
Fizyka Kawatowa i Statystycza Wykad 5 4 Wprowadzamy zmiee bezwymiarowe: x = ; 0 = i otrzymujemy rówaie w postaci zredukowaej Rozwizaiem tego rówaia s fukcje ieelemetare - poszukuje si rozwizaia w postaci szeregu. Odgadujemy rozwizaie w postaci ( )= C e H( ) gdzie H(ξ) jest szeregiem potgowym - do wyzaczeia. Fukcja ekspoecjala w rowizaiu wzia si ze zbadaia postaci asympotyczej rówaia tj. dla moa zaiedba w rówaiu λ: - z rozizaiem w postaci ( )= C e 0 - ; m E = d ( ) ( - ) ( )=0 d - d ( ) - ( )=0 d
Fizyka Kawatowa i Statystycza Wykad 5 5 Wstawiamy pe posta rozwizaia do rówaia ruchu. Poiewa rowizaie asymptycze jest wszdzie iezerowe wic obie stroy rówaia moa przez ie podzieli. Otrzymuje si rówaie a szereg H(ξ): d H dh - ( - ) H = 0 d d Okazuje si, e rozwizaiem tego rówaia jest wielomia a ie szereg. Jest to tzw. wielomia Hermite a: Jak wida posta tego wielomiau zaley od liczby kwatowej (stopie wielomiau). H ( )=(- ) e e - Przykad dla = 0 H 0 = = H = ξ = H = 4ξ - = 3 H 3 = 8ξ 3 - ξ
Fizyka Kawatowa i Statystycza Wykad 5 6 Dlaczego wielomia a ie szereg ieskoczoy? Gdyby to był szereg ieskończoy: dla tej postaci rówaia a szereg H(ξ) gdy roie (stopie wielomiau!) to dla ξ = cost. (x) = C e H( ) A przecie fukcja falowa musi by skoczoa wszdzie. - Ale jaka powia by waciwa warto, a której aley oberwa szereg potgowy? Szczegóy rozumowaia moa zale a str. 48-49 podrczika A.Sukieickiego i A.Zagórksiego Fizyka ciaa staego. Istota sprawy : szukajc postaci dla szeregu aley jego ogól posta s j H( )= a j ; a 0 j=0 podstawi do rówaia a te szereg. 0 s 0 Aby to rówaie byo speioe wszystkie wspóczyiki przy wszystkich potgach ξ musz jedoczeie zika. ;
Fizyka Kawatowa i Statystycza Wykad 5 7 Okazuje si, e dla rozwaaej postaci rówaia tak jest gdy = 0 ; =, = 0,,,... a E Ale = wic widzimy, e eergia w kwatowym oscylatorze harmoiczym ma dozwoloe wartoci E = ( ) ; =0,,,3.... - a stay opisuje fukcja falowa: (x) = C e H ( ) Wioski: eergia kwatowego oscylatora harmoiczego jest skwatowaa w ajiszym staie kwatowym tj. dla = 0 eergia ukadu ie jest zerowa! E0= ) tak ie jest dla studi prostoktej ) sta podstawowy oscylatora kwatowego odpowiada tzw. drgaiom zerowym. Odgrywaj oe wa rol w przyrodzie p. gaz He ie pozwala si skropli tylko przy pomocy obiaia temperatury (trzeba zaczie zwikszy ciieie)
Fizyka Kawatowa i Statystycza Wykad 5 8 Istieie drga zerowych wyika z zasady ieozaczooci Heiseberga ajmiejsza eergia mechaicza oscylatora p = m x Ec m gdzie p x szukamy E c = mi. dla x= p m dla p= Ec= mi = Porówaie klasyczego oscylatora harmoiczego z jego kwatowym odpowiedikiem a) w oscylatorze kwatowym pooeie czstki okreloe jest przez gstoć prawdopodobieństwa (x) (x) 0 awet bardzo daleko od rodka waha x = 0 b) maksima (x) : dla ieparzystych wypadaj w pewej odlegoci od x = 0 dla parzystych - dla x = 0
Fizyka Kawatowa i Statystycza Wykad 5 9 Dopiero dla redia gsto prawdopodobiestwa przypomia rozkad klasyczy.
Fizyka Kawatowa i Statystycza Wykad 5 0 Rozwizywaie rówaia Schrödigera bywa kopotliwe i mude a czasem wrcz trude. Czy moa wyzaczy eergi oscylatora oraz jego fukcje wase bez uciekaia si do tego rówaia? Rozpatrzmy operator peej eergii oscylatora harmoiczego: p Hˆ ˆ = m xˆ m Wprowadza si astpujce operatory m pˆ = x ˆ i m = m xˆ - i pˆ m T trasformacj operatorow moa odwróci: x= ˆ ( a) ˆ m p= ˆ i m ( - a) ˆ Jakie reguy komutacyje speiaj wprowadzoe przez as operatory?
Fizyka Kawatowa i Statystycza Wykad 5 Zasada komplemetaroci wymaga aby Aby tak byo: [a,a ˆ ˆ ] = [a,a] ˆ ˆ = 0 [, ] = 0 [ x, ˆ p] ˆ = i Moemy teraz przedstawi operator Hamiltoa za pomoc owych operatorów p H ˆ ˆ = m xˆ m H ˆ = - ( - a ˆ aa) ˆ ˆ ( a ˆ aa) ˆ ˆ 4 4 H ˆ = ( a ˆ ) = ( a ˆ ) aa ˆ ˆ = Ostateczie formalie wyik trasformacji przypomia E = ( ) Zbadajmy wasoci operatora ( a ˆ ) =(H ˆ - ) =( E - )
Fizyka Kawatowa i Statystycza Wykad 5 Stwierdzamy: fukcja wasa oscylatora harmoiczego jest fukcj was operatora ( a ˆ ) jego warto wasa jest E - = Wiosek:operator ˆ = jest operatorem liczby obsadze Ses fizyczy operatorów operatorów â oraz a ˆ ˆ = = [H ˆ ] ˆ = [ E [a,a ˆ ˆ ]= ] = ( ) Operator liczby obsadze pokaza am, e fukcja â odpowiada staowi a ie : operator a ˆ jest wic operatorem kreacji Podobie moa wykaza (prosz to sobie sprawdzi!), e operatorâ jest operatorem aihilacji tz. ˆ = ( - )
Fizyka Kawatowa i Statystycza Wykad 5 3 A jak zale fukcj falow oscylatora? Operator aihilacji w dziaaiu a sta podstawowy (ajiszy!) oscylatora musi da zero: m d = x 0=0 m dx Jest to proste rówaie róiczkowe a ajiszy sta kwatowy oscylatora harmoiczego. Wszystkie wysze moa otrzyma z = ( ) 0! gdzie operator kreacji jest operatorem róiczkowym a ˆ = m x - ˆ d _ m dx Ruch harmoiczy czstki kwatowej Rozpatrzmy ruch czstki pod wpywem siy harmoiczej Czstk bdzie reprezetowa gaussowska paczka fal o zadaej szerekoci σ ze redim pdem rówym zeru oraz wartoci oczekiwa pooeia x 0 odpowiadajcej położeiu klasyczej czstki. Rozkadamy paczk falow (x) a fukcje bazy tj. fukcje wase oscylatora harmoiczego (x) = =0 c (x)
Fizyka Kawatowa i Statystycza Wykad 5 4 Rozwizaie zaleego od czasu rówaia Schrödigera z paczk fal (x) jako poczatkow fukcj falow w chwili t = 0: (x, t)= =0 c i (x) exp - E t gdzie E = ω ( ½) jest eergi oscylatora w staie. Sumowaie moa wykoa i otrzymuje si gsto prawdopodobiestwa (x,t) = exp 4 s 4 4 0 c s si( t) c cos( t) Otrzymaliy rozkad Gaussa z oscylujac wartoci redi (t)= x cos ( t) x0 0 4 0 s 4 4 c (x - c x 0 ) oraz oscylujc szerokoci (t) = 4 ( t)4 4 0 si cos ( t) / ( )
Fizyka Kawatowa i Statystycza Wykad 5 5 0 jest ozaczeiem wprowadzoym a pocztku rozwaa o oscylatorze m kwatowym. jest szerokoci stau podstawowego oscylatora. 0 Ksztat fukcji falowej odpowiadajcej czstce wedug aszego modelu oscyluje wewtrz oscylatora przy czym warto oczekiwaa prawdopodobiestwa zalezieia czstki zachowuje si dokadie tak jak dla czstki klasyczej szeroko rozkadu gstoci prawdopodobiestwa atomiast oscyluje z podwojo czstoci ω tylko gdy pocztkowa szeroko paczki fal σ = σ 0 to szeroko ta pozostaje staa. Taki sta azywamy staem koheretym oscylatora {hyperlik: http://web.ift.uib.o/amos/mov/ho/}. Dla dowolej chwili czasu sta te jest staem o ajmiejszej ieozaczooci x p=. Sta podstawowy oscylatora harmoiczego jest szczególym staem koheretym - jest staem wasym ukadu. Ie (wysze) stay koherete ie s staami wasymi, lecz superpozycjami staów wasych oscylatora. Poiewa stay wase rói si eergi wic sta koherety (za wyjtkiem stau postawowego) jest superpozycja staów z róa liczb kwatów eergii.
Fizyka Kawatowa i Statystycza Wykad 5 6 Wagi z jakimi stay te wchodz do superpozycji s dae rozkadem Poissoa {hyperlik: http://pl.wikipedia.org/wiki/rozk%c5%8ad_poissoa} < > -<> e! gdzie <> jest wartoci oczekiwa liczby kwatów eergii tak, e < > =< E > a <E> jest wartoci oczekiwa eergii oscylatora. Wpływ siły zewętrzej a oscylator harmoiczy: Gdy sia dziaa a oscylator harmoiczy w staie podstawowym to reaguje o przechodzc do iego stau koheretego (sta podstawowy jest z atury swojej ajiższym staem koheretym). Jeli w jakiej chwili sia przestaie dziaa to sta koherety oscyluje tak jak te a rysuku c) powyej. Stay koherete odgrywaj du rol w optyce kwatowej oraz w elektroice kwatowej. Stay a rys. a) i b) powyej ie s staami koheretymi. Oscylacje szerokoci rozkadu prawdopodobiestwa ozaczaj, e ieozaczoo jedej zmieej zmiejsza si okresowo kosztem drugiej. Z tego wzgldu stay koherete (zwae staami ciitymi) odgrywaj du rol w teorii pomiarów sabych sygaów.