EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 Miejsce na naklejk z kodem szkoy dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdajcego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 11). Ewentualny brak zgo przewodniczcemu zespou nadzorujcego egzamin.. Rozwizania zada i odpowiedzi zamie w miejscu na to przeznaczonym.. W rozwizaniach zada przedstaw tok rozumowania prowadzcy do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. Uywaj dugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie uywaj korektora, a bdne zapisy przekrel. 6. Pamitaj, e zapisy w brudnopisie nie podlegaj ocenie. 7. Obok kadego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, któr moesz uzyska za jego poprawne rozwizanie. 8. Moesz korzysta z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 9. Wypenij t cz karty odpowiedzi, któr koduje zdajcy. Nie wpisuj adnych znaków w czci przeznaczonej dla egzaminatora. 10. Na karcie odpowiedzi wpisz swoj dat urodzenia i PESEL. Zamaluj pola odpowiadajce cyfrom numeru PESEL. Bdne zaznaczenie otocz kókiem i zaznacz waciwe. yczymy powodzenia! MAJ ROK 007 Za rozwizanie wszystkich zada mona otrzyma cznie 50 punktów Wypenia zdajcy przed rozpoczciem pracy PESEL ZDAJCEGO KOD ZDAJCEGO

2 Zadanie 1. (5 pkt) Dana jest funkcja f x x1 x dla x R. a) Wyznacz zbiór wartoci funkcji f dla x,. b) Naszkicuj wykres tej funkcji. c) Podaj jej miejsca zerowe. d) Wyznacz wszystkie wartoci parametru m, dla których równanie rozwizania. f x m nie ma a) Niech x,, wtedy: x 1 0, czyli x1 x 1 oraz x 0, czyli x x. Zatem dla x, otrzymuj: f x x1 x x1x. Funkcja f dla x, jest funkcj sta, a jej zbiorem wartoci jest zbiór. b) Po zastosowaniu definicji wartoci bezwzgldnej funkcj f zapisuj w nastpujcej postaci: dla x, f x x1 dla x,1 dla x 1,

3 Szkicuj wykres funkcji f. y - 1 x -1 - Funkcja ma jedno miejsce zerowe w przedziale,1 (co wida na sporzdzonym wykresie). Miejsce zerowe funkcji f wyznaczam, korzystajc z jej wzoru w tym przedziale: 1 x 1 0, std x0. c) Równanie f x m nie ma rozwiza, gdy prosta o równaniu y m nie przecina wykresu funkcji f, czyli dla m lub m.

4 4 Zadanie. (5 pkt) Rozwi nierówno: log x 1 log 5 x log x Wyznaczam dziedzin nierównoci logarytmicznej: x x x Rozwizania tych nierównoci zaznaczam na osi liczbowej: Dziedzin danej nierównoci jest przedzia 1,5. Korzystam ze wzoru na sum logarytmów i otrzymuj nierówno równowan: x x x log 1 5 log x Funkcja logarytmiczna przy podstawie 1 jest malejca, wic po opuszczeniu logarytmów i zmianie zwrotu nierównoci otrzymuj nierówno równowan: x 15 x x 1. Przedstawiam j w postaci iloczynowej: x1 x15x x 1 x x x x x x x x x x x x x Rozwizaniem nierównoci jest suma przedziaów 1, 4,. Rozwizaniem nierównoci logarytmicznej jest cz wspólna otrzymanego zbioru i dziedziny: 1, 45,.

5 5 Zadanie. (5 pkt) Kapsua ldownika ma ksztat stoka zakoczonego w podstawie pókul o tym samym promieniu co promie podstawy stoka. Wysoko stoka jest o 1 m wiksza ni promie pókuli. Objto stoka stanowi objtoci caej kapsuy. Oblicz objto kapsuy ldownika. Sporzdzam pomocniczy rysunek: h r Zapisuj zaleno miedzy dugoci promienia stoka i jego wysokoci: hr 1. Objto V kapsuy zapisuj jako sum objtoci stoka i pókuli: 1 V r h r 1 1 std V r r. r r 1 r Zaleno midzy objtoci z treci zadania ma posta: VS V, std V S stoka i objtoci V kapsuy wynikajc 1 1 r r1 r r r r r r 1 r1r 1 r. Obliczam objtoci V kapsuy ldownika: m V. 7

6 6 Zadanie 4. ( pkt) Dany jest trójkt o bokach dugoci 1,,. Oblicz cosinus i sinus kta lecego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkta. Wykonuj rysunek pomocniczy, na którym zaznaczam poszukiwany kt: 1 Wykorzystuj twierdzenie cosinusów do zapisania równania: 1 cos i obliczam warto cosinusa kta : 7 cos. 8 Warto funkcji sinus kta wyznaczam z tosamoci trygonometrycznej. sin cos 1 sin 1, sin Kt jest ktem ostrym, wic sin. 8

7 7 Zadanie 5. (7 pkt) Wierzchoki trójkta równobocznego ABC s punktami paraboli y x 6x. Punkt C jest jej wierzchokiem, a bok AB jest równolegy do osi Ox. Sporzd rysunek w ukadzie wspórzdnych i wyznacz wspórzdne wierzchoków tego trójkta. Aby sporzdzi rysunek wyznaczam wspórzdne wierzchoka danej paraboli: 6 9, wic wierzchoek paraboli ma wspórzdne y x x x Wykonuj rysunek ilustrujcy tre zadania:,9. 9 y C A 60 0 B x Trójkt ABC jest równoboczny, wic kt BAC ma miar 60. Wspóczynnik kierunkowy prostej przechodzcej przez punkty A i C jest wic równy tg60. Wyznaczam równanie prostej AC: prosta y x b przechodzi przez punkt C,9 równy b 9. Prosta AC ma równanie: y x 9., wic wspóczynnik b jest

8 8 Aby wyznaczy wspórzdne punktu A rozwizuj ukad równa: y x 9 y x 6x Po dokonaniu podstawienia y x 6x otrzymuj równanie x 9 6 x x x, które po uporzdkowaniu przyjmuje posta: x Rozwizaniem równania s liczby: x1, x. Wspórzdne punktów przecicia prostej AC z parabol nastpujce:,6 oraz,9. 6 s wic y x x Punkt,9 jest wierzchokiem paraboli, wic punkt A ma wspórzdne,6. Wspórzdne punktu B wyznaczam wykorzystujc fakt, i osi symetrii paraboli 6 jest prosta x. Punkt B jest wic obrazem punktu A w symetrii y x x wzgldem tej prostej, czyli B,6.

9 9 Zadanie 6. (4 pkt) Niech A, B bd zdarzeniami o prawdopodobiestwach P A i PA 0,85 i PB 0,75 PA B 0,8. P B. Wyka, e jeeli, to prawdopodobiestwo warunkowe spenia nierówno Poniewa P AB 1 z wasnoci prawdopodobiestwa, wic 1P AB P A PB P A B. Std po przeksztaceniu otrzymuj: P AB P A PB 1 B 0,85 0,75 1 P A B 0,6 P A Korzystam z definicji prawdopodobiestwa warunkowego: P A B P A B i otrzymuj 0,8 P B 0,6 0,75 P A B.

10 10 Zadanie 7. (7 pkt) mx y Dany jest ukad równa: x my m. Dla kadej wartoci parametru m wyznacz par liczb x,y, która jest rozwizaniem tego ukadu równa. Wyznacz najmniejsz warto sumy x y dla m, 4. Rozwizaniem ukadu równa m x m 1 m y. m 1 mx y x my m m Sum x y zapisuj w postaci funkcji f m dla kadego m R jest para liczb m m 1, m R. Aby znale najmniejsz warto sumy w danym przedziale obliczam pochodn funkcji f: fm m 1 m 6m, m R. Obliczam miejsca zerowe pochodnej funkcji f: m 0 f gdy m 6m 0. Rozwizaniami równania s liczby: m1 1, m 1, przy czym m1,4. Badam znak pochodnej w przedziale,4 :, wic funkcja f jest rosnca w przedziale Poniewa f m 0dlam,1, 1, wic funkcja f jest. Poniewa f m 0dlam 1,4 malejca w przedziale 1, 4. Std wnioskuj, e funkcja f przyjmuje najmniejsz warto w jednym z koców przedziau,4.

11 Obliczam warto funkcji f na kocach przedziau: i porównuj otrzymane liczby. 6 Najmniejsz wartoci sumy x y jest f f oraz f 17

12 1 Zadanie 8. ( pkt) Dana jest funkcja f okrelona wzorem a) Naszkicuj wykres funkcji f. b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f. f sin x sin x x dla x 0,, sin x. Korzystam z definicji wartoci bezwzgldnej i zapisuj wzór funkcji f w postaci: f x sin x sin x sin x sin x sin x sin x dla sin x 0 dla sin x 0 f x sin x1 dla sin x0 sin x1 dla sin x0. Szkic wykresu funkcji w podanym zbiorze jest nastpujcy: y 1 x -1 Na podstawie wzoru wyznaczam miejsca zerowe funkcji: f x 0 dla x takich, e sin x 1 0 lub sin x 1 0, czyli dla x, oraz x.

13 1 Zadanie 9. ( pkt) Przedstaw wielomian 4 W x x x x 4x 1 w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o wspóczynnikach cakowitych i takich, e wspóczynniki przy drugich potgach s równe jeden. Dany wielomian 4 W x x x x 4x 1 przedstawiam w takiej postaci, aby mona byo zastosowa wzory skróconego mnoenia: 4 W x x x x 4x 4x 1. Grupuj wyrazy i przedstawiam wyraenie w postaci rónicy kwadratów dwóch wyrae: Wx x x x 1. Wykorzystuj wzory skróconego mnoenia do rozkadu wielomianu na iloczyn dwóch wielomianów stopnia drugiego: x x 1 x x 1 W x x x x x x x x x x.

14 14 Zadanie 10. (4 pkt) Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koa do pola powierzchni rombu wynosi Wyznacz miar kta ostrego rombu. 8. Sporzdzam rysunek pomocniczy i wprowadzam nastpujce oznaczenia: a dugo boku rombu, r promie koa wpisanego w romb, P K pole koa wpisanego w romb, P R pole rombu, kt ostry rombu. D C a r A E B Zgodnie z wprowadzonymi oznaczeniami PK r, R P a r. Z warunków zadania wynika proporcja: PK r, std P a r 8 R r a 8. Z otrzymanej równoci wyznaczam promie okrgu: r a. 4 DE Z trójkta prostoktnego AED wyznaczam sinus kta : sin AD r a a 4 sin. a Zatem 60.

15 15 Zadanie 11. (4 pkt) Suma n pocztkowych wyrazów cigu arytmetycznego a wyraa si wzorem S n n n dla n 1. a) Oblicz sum 50 pocztkowych wyrazów tego cigu o numerach parzystych: a a a... a Sn b) Oblicz lim. n n n a) Wyznaczam wzór ogólny cigu a n, korzystajc z wasnoci sum czciowych cigów: an Sn Sn 1 a n n n n n n Wyznaczam warto wyrazu a 7 i rónicy cigu ( a, a 4,..., a 100 ), r 8. Obliczam sum n 50 pocztkowych wyrazów cigu o numerach parzystych: S S n b) Obliczam granic cigu n : lim n Sn n n lim n n n.

16 16 BRUDNOPIS