Egzaminy. na wyższe uczelnie zadania

Transkrypt

1 zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia -(a - 4) - 3(a 5) = 0 jest ajmiejsza? 3. Dla jakich wartości parametru a wielomia W() = 3 - a a - 8 ma trzy róże pierwiastki rzeczywiste? 4. Rozwiąż rówaie log 6 ( 4) - log 36 =. 5. Trzy liczby dodatie tworzą ciąg geometryczy. Zajdź te liczby, wiedząc, że ich suma jest rówa 3, a suma ich odwrotości wyosi 3. 5 II. Politechika Wrocławska. Podstawą trójkąta róworamieego jest odciek AB o końcach A (-, 3), B (, -), a wierzchołek C tego trójkąta leży a prostej l o rówaiu 3 - y - 4 = 0. Oblicz pole trójkąta ABC.. Rozwiąż rówaie = = W trapezie opisaym a okręgu kąty ostre przy podstawie mają miary a i a, a długość krótszego ramieia wyosi c. Oblicz długość krótszej podstawy tego trapezu. Wyik doprowadź do ajprostszej postaci. 4. Day jest ieskończoy ciąg geometryczy:, - ( ), 4 ( ),... Wyzacz ekstrema lokale fukcji S() ozaczającej sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. 5. Rozwiąż ierówość Rozwiązaie zilustruj a rysuku wykoując wykresy fukcji występujących po obu stroach tej ierówości. 6. Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątego jest rówa trzem promieiom kuli wpisaej w te ostrosłup. Oblicz cosius kąta pomiędzy sąsiedimi ściaami boczymi tego ostrosłupa. III. Szkoła Główa Gospodarstwa Wiejskiego. Która podwyżka cey jest większa: jedorazowa o 33%, czy trzykrota po 0% każda?. Wykoać działaie: matematyka

2 zadaia 3. W kulę wpisao sześcia. Obliczyć stosuek pola powierzchi kuli do pola powierzchi sześciau. 4. Uczeń, którego zapytao ile ma lat, odpowiedział: za 6 lat będę miał dwa razy tyle lat ile miałem przed czterema laty. Ile lat ma uczeń? 5. Wiadomo, że log = a. Obliczyć log5. 6. Rozwiąż rówaie ( - ) - 3 = Zaleźć zbiór wszystkich puktów płaszczyzy, których suma kwadratów odległości od puktów A(-4, 0) i B(4, 0) jest rówa Liczby i są pierwiastkami wielomiau W() = 3-6 a b. Zaleźć trzeci pierwiastek. 9. Obliczyć wartość cos, jeżeli wiadomo, że 6si 5cos = 4si cos 0. Rozwiąż rówaie 3 = 3.. Wyzaczyć przedziały, w których fukcja f () = określoa ¹ jest malejąca.. Długości boków trójkąta prostokątego tworzą ciąg arytmetyczy, a przeciwprostokąta ma długość 30. Obliczyć długości przyprostokątych tego trójkąta. 3. Rzucoo dwa razy kostką sześcieą do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo, że suma uzyskaych oczek jest liczbą pierwszą, jeżeli wiadomo, że iloczy liczb oczek wyosi co ajmiej Kąt a w trójkącie spełia rówaie sia si a si 3 a... =. Obliczyć a. 5. Na kole o promieiu r = opisao trójkąt róworamiey, w którym wysokość opuszczoa a podstawę ma długość h = 4. Obliczyć długości boków trójkąta. 6. Rozwiązać ierówość 9 - < Długość boku rombu i długości jego przekątych tworzą ciąg geometryczy. Obliczyć iloraz tego ciągu. 8. Fukcja f () = a 3 b osiąga w pukcie 0 = - ekstremum wyoszące 4. Obliczyć a i b. 9. Wykazać, że jeżeli długość wysokości trapezu róworamieego jest średią geometryczą długości podstaw, to w trapez te moża wpisać okrąg. 0. Wyzaczyć liczbę pierwiastków rówaia = m w zależości od wartości parametru m Î R. IV. Szkoła Główa Gospodarstwa Wiejskiego, Iformatyka i Ekoometria. Dla m Î N iech A m = {(, y): Î R, y Î R, y m} oraz B m = {(, y): Î R, y Î R, y 4y m 4}. Dla jakich m Î N zachodzi B m Ì A m?. Wykazać, że jeżeli liczby a, b, c tworzą ciąg arytmetyczy, to liczby N a, N b, N c (N > 0) tworzą ciąg geometryczy. 3. Dae są pukty A(, ) oraz B(-, -). Zaleźć zbiór wszystkich puktów M(, y), których różica odległości od puktów A oraz B jest stała i rówa 0. /

3 zadaia 4. Korzystając z rachuku wektorowego udowodić, że przekąte w rombie są prostopadłe. 5. Obliczyć z defiicji pochodą fukcji f () = ctg. 6. Obliczyć i doprowadzić do ajprostszej postaci pochodą fukcji f () = l(cos ) cos. 7. Niech h(a) ozacza ilość rozwiązań układu rówań Æ y y = = 5 Narysować wykres fukcji h(a), a Î R. 8. Firma paliwowa zmuszoa jest do podiesieia cey litra bezyy. Co jest korzystiejsze klieta: jeda podwyżka o %, czy też dwie koleje jedoprocetowe podwyżki? 9. Z trzech kostek: czworościeej, dziesięciościeej i dwudziestościeej losowo wybrao jedą i wykoao ią rzut uzyskując cztery oczka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucoo kostką dziesięciościeą? 0. W urie jest połowa kul białych, a połowa czarych. Za każdą wylosowaą kulę białą otrzymujemy, zaś za każdą wylosowaą kulę czarą płacimy. Jaka jest wartość oczekiwaa wygraej przy dwukrotym losowaiu ze zwracaiem kuli?. Jakie powiy być wymiary prostopadłościau o ajwiększej objętości, którego siatka wycięta jest z kawałka papieru, który jest kwadratem o boku a? a. Udowodić idukcyjie, że liczba postaci 3 4 Î N jest podziela przez Obliczyć graicę lim - ¹ 4. Podać defiicję ciągłości fukcji i korzystając z iej sprawdzić, czy poiższa fukcja jest ciągła. Sporządzić wykres tej fukcji. Æ - Ë 0 f = 0 Ÿ 0-5. Napisać rówaie styczej do wykresu fukcji f() = w pukcie 0 =. 6. W trapezie ABCD dae są AC = a, vdac = vabc = a. Proste AD i BC, w których zawierają się ramioa trapezu, są prostopadłe. Oblicz pole trapezu. 7. Sześcia o daej długości krawędzi a przeciamy płaszczyzą przechodzącą przez przekątą podstawy i achyloą pod kątem a <. Obliczyć pole otrzymaego 4 przekroju. 8. Sformułować prawa de Morgaa rachuku zdań i udowodić je. 9. Udowodić, że log a b log b a, gdzie a, b > 0 oraz a, b ¹. 0. Rozwiązać rówaie =. IV. Uiwersytet Wrocławski, Wydział Matematyki i Iformatyki TEST WIELOKROTNEGO WYBORU. Czy ierówość 3 < 003 jest prawdziwa Ì 4 06 matematyka

4 zadaia a) = b) = c) = d) =. Czy poday wielomia ma co ajmiej jede pierwiastek rzeczywisty a) b) c) d) Czy istieją takie liczby iewymiere a, b, że a) liczby a b i a - b są wymiere b) liczby a b i ab są wymiere c) liczby a b i 3a 6b są wymiere d) liczby a 3b i a 4b są wymiere 4. Czy liczba! jest podziela przez 3 a) = 8 b) = 5 c) = d) = 5 5. Dla dowolej liczby całkowitej k iepodzielej przez, liczba 6k ie jest podziela przez. Czy powyższe zdaie jest prawdziwe a) = 4 b) = 5 c) = 6 d) = 7 6. Czy część wspóla sfery i płaszczyzy może być a) okręgiem b) elipsą ie będącą okręgiem c) zbiorem jedopuktowym d) zbiorem dwupuktowym 7. Czy liczba podzbiorów 3-elemetowych zbioru -elemetowego jest parzysta a) = 000 b) = 00 c) = 00 d) = Dae są takie liczby całkowite,, 3,..., 00, że = Czy stąd wyika, że co ajmiej jeda z liczb,, 3,..., 00 jest a) parzysta b) ieparzysta c) podziela przez 3 d) iepodziela przez 3 9. Niech a, b, c ozaczają boki trójkąta, a P jego pole. Czy każdego trójkąta prawdziwa jest ierówość a) P a b c b) P a b c c) P abc d) P abc 0. Czy dowolego rosącego ciągu arytmetyczego a, a,..., a 0 o wyrazach dodatich, zachodzi ierówość a) a 0 0 a b) a 9 9 a c) a a 7 a 4 a 5 d) a a 8 a 4 a 7. Day jest prostopadłościa o podstawie kwadratowej. Bok podstawy ma długość a, atomiast krawędź bocza ma długość b. Czy długość główej przekątej prostopadłościau (tz. przekątej ie będącej przekątą ściay) jest rówa a b, jeżeli a) a =, b = b) a = 6, b = 3483 c) a = 3399, b = 33 d) a = 7, b = 344. Day jest sześcia S. Rozważamy wszystkie trójkąty, których wierzchołki są wierzchołkami sześciau S. Czy wśród tych trójkątów jest co ajmiej jede trójkąt a) ostrokąty b) prostokąty c) rozwartokąty d) rówoboczy /

5 zadaia 3. Niech a = 0. Czy stąd wyika, że a) si a < si 7a b) si 3a < cos 8a c) cos a < si 6a d) cos 4a < cos 5a 4. Czy lim k - l = 0 ¹ a) k = 6, l = b) k = 8, l = 7 c) k = 7, l = 4 d) k = 4, l = 7 5. Czy wśród podaych figur istieją figury o dowolie dużym polu a) trójkąty o obwodzie 3 b) czworokąty wpisae w okrąg o promieiu 4 c) pięciokąty opisae a okręgu o promieiu 5 d) sześciokąty wypukłe, których co ajmiej 4 boki mają długość 6 6. Niech R a będzie liczbą rozwiązań rówaia - = a w liczbach rzeczywistych. Czy stąd wyika, że a) R < b) R > c) R 3 < 3 d) R 4 > 4 7. Trójkąt prostokąty jest wpisay w okrąg o promieiu. Czy stąd wyika, że a) co ajmiej jede bok trójkąta ma długość wymierą b) co ajmiej jede bok trójkąta ma długość iewymierą c) co ajmiej jede bok trójkąta ma długość większą od 3 d) co ajmiej jede bok trójkąta ma długość miejszą od 3 8. Niech f 4 6 Czy stąd wyika, że 3 = a) f (-) 0 b) f (0) 0 c) f () 0 d) f () Czy rówość log a c log b c = log a c log b c jest prawdziwa a) a =, b = 3, c = 6 b) a =, b = 5, c = 0 c) a = 3, b = 5, c = 8 d) a = 3, b = 4, c = 0. Czy dowolych liczb rzeczywistych, y, z prawdziwa jest ierówość a) y z y z - b) y z - y - z c) y y z z d) z y z y. Czy istieją takie liczby całkowite dodatie m,, że liczba m przy dzieleiu przez 8 daje resztę a) b) 5 c) 6 d) 7. W pewym kraju 50% mieszkańców to kobiety, 60% mieszkańców ma komputer, 80% mieszkańców ie lubi szpiaku. Czy stąd wyika, że a) więcej iż połowa kobiet ie lubi szpiaku b) więcej iż połowa posiadaczy komputera to kobiety c) miej iż połowa mieszkańców lubiących szpiak ma komputer d) miej iż połowa osób ie posiadających komputera lubi szpiak 3. Czy liczba - jest wymiera a) = 000 b) = 00 c) = 00 d) = matematyka

6 zadaia 4. Rozważamy wszystkie wielościay wypukłe, których każda ściaa jest trójkątem. Niech w, k, s ozaczają odpowiedio liczby wierzchołków, krawędzi i ścia takiego wielościau. Czy stąd wyika, że a) k = 3s b) k = 3w c) w s d) s w 5. Czy podaa liczba jest różicą kwadratów dwóch liczb całkowitych a) b) c) d) Day jest taki ciąg (a ) o wyrazach dodatich, że lim a = 0 ¹ Czy stąd wyika, że a) lim a = 0 ¹ b) ciąg (b ) określoy wzorem b = a ie jest zbieży do zera c) lim = 0 ¹ a a d) lim = 0 ¹ a 7. Wykoujemy 3 rzuty kostką do gry i możymy liczby oczek wyrzucoych w poszczególych rzutach. Niech p będzie prawdopodobieństwem, że otrzymay iloczy jest podziely przez. Czy stąd wyika, że a) p 5 > b) 6 p 3 > 3 c) p 5 > d) p 6 > 8. Niech = oraz y = y Czy rówość = y jest prawdziwa a) = b) = c) = 3 d) = 4 9. W -kącie wypukłym wpisaym w okrąg wszystkie kąty wewętrze są rówe. Czy stąd wyika, że -kąt jest foremy, jeśli a) = 5 b) = 6 c) = 8 d) = Komisja składa się z 0 osób. Z jej człoków utworzoo 3 siedmioosobowe podkomisje, przy czym żade dwie podkomisje ie mają idetyczego składu, a każda osoba zasiada w co ajmiej jedej podkomisji. Czy stąd wyika, że a) istieje osoba, która zasiada we wszystkich trzech podkomisjach b) istieją dwie podkomisje, które mają dokładie czterech wspólych człoków c) istieje osoba, która zasiada w dokładie dwóch podkomisjach d) dowolych dwóch osób istieje podkomisja, do której obie ależą, lub podkomisja, do której ie ależy żada z ich. Odpowiedzi a b c d a b c d a b c d N T N T T NNN T T N N N T T N T T N T T N N N 3 N T T N 3 NN TN 3 T N T N 4 N T N T 4 NN TT 4 T N N T 5 N T N N 5 NN TT 5 T T N N 6 T N T N 6 T T T N 6 NNNT 7 T T T N 7 T N T T 7 T T N T 8 T T N T 8 NTTN 8 T T T T 9 NN NN 9 T T N T 9 T N N T 0 N T T T 0 T T N N 30 T N T N /