Nieklasyczne modele kolorowania grafów

Transkrypt

1 65 Nieklasycze modele kolorowaia grafów

2 66 Kolorowaie sprawiedliwe Def. Jeli wierzchołki grafu G moa podzieli a k takich zbiorów iezaleych C,...,C k, e C i C j dla wszystkich i,j,...,k, to mówimy, e G jest sprawiedliwie k-kolorowaly. Najmiejsza liczba k, dla której graf G jest sprawiedliwie k-kolorowaly jest sprawiedliw liczb chromatycz grafu i ozaczamy j symbolem χ (G). Uwaga: Prawdziwe jest oszacowaie χ(g) χ (G), gdy kade sprawiedliwe pokolorowaie jest jedoczeie pokolorowaiem klasyczym. Przykład: Róica χ (G) χ(g) moe by dowolie dua przykładem s grafy S.

3 67 Kolorowaie sprawiedliwe Tw. Dla dowolego grafu G zachodzi χ (G) (G) +. Tw. Prawdziwe jest oszacowaie dole ( G), ( G ( N( v) { v})) χ α + gdzie α(g) jest liczb stabiloci grafu (moc ajlicziejszego zbioru iezaleego w G) atomiast v jest dowolym wierzchołkiem grafu G. Dowód: liczba wierzchołków zaetykietowaa kolorem przydzieloym v ie przekracza α(g (N(v) {v}))+, skoro chcemy otrzyma pokolorowaie sprawiedliwe, to kroto kadego iego koloru ie przekracza α(g (N(v) {v}))+.

4 68 Kolorowaie sprawiedliwe Tw. Wzory a sprawiedliw liczb chromatycz w przypadku podstawowych klas grafów: χ ( Q ) χ ( K, ) + / χ ( ) + W χ ( C ) k + χ ( C ) k ( ) / Tw. χ ( K r r ) ( K r,..., r ). 3,..., s s Wiosek χ ( K r s ),..., wszystkich i,j. r s wtedy i tylko wtedy, gdy r i r j dla

5 69 Kolorowaie sprawiedliwe Tw. Niech G bdzie grafem dwudzielym o wierzchołkach. Jeli G składa si z r składowych i r /k dla pewej liczby aturalej k, to G jest sprawiedliwie k-kolorowaly. Dowód: załómy, e G jest sum grafów dwudzielych (V U,E ),..., (V r U r,e r ), porzdkujemy wierzchołki ustawiajc je w cig V,...,V r,u,...,u r, przy czym w obrbie kadego ze zbiorów wierzchołki s posortowae dowolie, dzielimy te cig a segmety o rozmiarach /k, ( )/k,..., ( k + )/k, kady z tych segmetów jest zbiorem iezaleym, gdy w przeciwym razie istieje segmet S taki, e S obejmuje r podzbiorów (V i,u i ) wraz z dodatkowym wierzchołkiem, co ozacza /k r + + /k > /k sprz, Tw. Jeli G jest sum sprawiedliwie k-kolorowalych grafów, to G jest sprawiedliwie k-kolorowaly.

6 70 Kolorowaie sumacyje Def. Niech c bdzie wierzchołkowym pokolorowaiem grafu G. Sum chromatycz (wierzchołkow) grafu G azywamy liczb gdzie ( G) mi ( G, c), ( G, c) c v V ( G) c( v). Pokolorowaiem optymalym jest kade takie pokolorowaie c, e ( G) ( G, c). Przez c max ozaczamy ajwyszy kolor uyty przez pokolorowaie c, atomiast s(g) jest miimal liczb kolorów uytych przez pokolorowaie optymale. Jak poprzedio, C i ozacza zbiór iezaley zawierajcy wierzchołki o kolorze i (w pokolorowaiu c).

7 7 Kolorowaie sumacyje Tw. Dla dowolego optymalego pokolorowaia c zachodzi C C... Cc. max Dowód: Przypumy, e C i < C j dla i < j. Jeli wierzchołki alece do zbioru C i otrzymaj kolor j oraz wierzchołki alece do C j otrzymaj kolor i, to otrzymae pokolorowaie jest poprawe oraz jego suma jest miejsza o (j i)( C j C i ) > 0 od sumy pokolorowaia wyjciowego. Sprzeczo. Tw. Dla dowolego optymalego pokolorowaia c zachodzi i< j v C j u C i { u, v} E( G). Dowód: Gdyby pewie wierzchołek v ze zbioru C j ie był połczoy z adym wierzchołkiem z pewego zbioru C i dla i < j, to v moe otrzyma kolor i. Sprzeczo.

8 7 Kolorowaie sumacyje Tw. Dla grafu G zachodz oszacowaia: () () ( + ) ( G) ( G) + m Dowód: () wyika z faktu, e kolory maj wartoci ie miejsze i oraz suma jest ajwiksza jeli wszystkie kolory s parami róe. () Z poprzediego twierdzeia wyika, e liczba krawdzi łczcych wierzchołki z C j, j > z wierzchołkami z C... C j wyosi co ajmiej C j (j ). Zatem ( G, c) C + C j ( j ) + C j> + m

9 73 Kolorowaie sumacyje Tw. Prawdziwe s astpujce wzory a sum chromatycz: gdzie C r,s jest komet z r promieiami i warkoczem długoci s., / 3 ) ( (6) ) ( ) ( (5) }, mi{ ) ( (4) parzyste 4,gdy / 3 ieparzyste,gdy ) / 3( ) ( (3) / 3 ) ( () / 3 ) ( (),, r s C K s r s r K W C P s r s r

10 74 Kolorowaie zwarte Def. Podzbiór A liczb aturalych azywamy przedziałem jeli zawiera wszystkie liczby pomidzy mia oraz maxa. Def. Niech G bdzie dowolym grafem. Fukcja odwzorowujca zbiór krawdzi grafu w zbiór liczb aturalych jest pokolorowaiem zwartym jeli ssiedie krawdzie otrzymuj róe kolory oraz dla kadego wierzchołka v, zbiór kolorów przydzieloych krawdziom icydetym do v jest przedziałem. Przykład Zwarte 4 pokolorowaie drzewa

11 75 Kolorowaie zwarte Tw. Grafy dajce si pokolorowa w sposób zwarty s grafami klasy. Dowód: Niech c bdzie zwartym pokolorowaiem grafu G. Defiiujemy fukcj g: E {0,..., } astpujco: g(e) c(e) mod dla kadej krawdzi e. Tak okreloa fukcja g jest pokolorowaiem krawdzi grafu, poiewa zbiór kolorów przydzieloych krawdziom icydetym do wolego wierzchołka v jest przedziałem o mocy ie wikszej i. Przykład: Implikacja odwrota ie jest prawdziwa:

12 76 Iloczy kartezjaski grafów Def. Niech bd dae grafy G (V, E ), G (V, E ). Iloczy kartezjaski G G to graf o zbiorze wierzchołków V V i zbiorze krawdzi E( G G ) {{( v ( v, v ),( u u, u { v )}: ( v, u u } E Przykład: Wyzaczmy graf C 4 P 3. d a c b u v w )}. { v (d,u) (d,v) (d,w), u (a,u) } E (a,v) (a,w) ) (c,u) (c,v) (c,w) (b,u) (b,v) (b,w)

13 77 Kolorowaie zwarte Tw. Załómy, e grafy G (V, E ), G (V, E ) maj zwarte pokolorowaia c oraz c, zuywajce odpowiedio r i r kolorów. Wówczas G G moa pokolorowa zwarcie za pomoc r + r kolorów. Dowód: Dla dowolego wierzchołka v j V i, i, defiiujemy liczby: mic i (v i ) mi{ c({v,u}): {v,u} E i }, maxc i (v i ) max{ c({v,u}): {v,u} E i }. Okrelamy pokolorowaie grafu G G defiiujc kolor dla kadej krawdzi: krawd postaci {(v,u),(w,u)}, gdzie {v,w} E otrzymuje kolor c ({v,w})+mic (u), krawd postaci {(v,u),(v,w)}, gdzie {u,w} E otrzymuje kolor c ({u,w})+maxc (v)+. Krawdzie pierwszego typu otrzymuj parami róe kolory tworzce przedział {mic (v)+mic (u),..., maxc (v)+mic (u)}. Krawdzie drugiego typu otrzymuj parami róe kolory tworzce przedział {mic (u)+maxc (v)+,..., maxc (u)+maxc (v)+}.

14 78 Kolorowaie uporzdkowae Def. Fukcja c: V(G) {0,...,k} jest uporzdkowaym k-pokolorowaiem wierzchołków grafu G, jeli kada cieka łczca wierzchołki u,v takie, e c(u) c(v) zawiera wierzchołek w o kolorze c(w) > c(u). Najmiejsz liczb k, dla której istieje uporzdkowae k-pokolorowaie grafu G azywamy uporzdkowa liczb chromatycz grafu G i ozaczamy symbolem χ r (G). Uporzdkowae kolorowaie krawdzi grafu to kolorowaie wierzchołków grafu krawdziowego.uporzdkoway ideks chromatyczy (ajmiejsze k, dla którego istieje pokolorowaie krawdzi za pomoc k kolorów) ozaczamy ' symbolem ( G). χ r Fakt. Jeli G jest grafem spójym, to w kadym jego uporzdkowaym k- pokolorowaiu kolor k jest uyty jedokrotie.

15 79 Kolorowaie uporzdkowae Przykład: Optymale (uywajce miimal liczb kolorów) pokolorowaia grafu Petersea. ( a ) 5 ( b) Lemat Zbiór kolorów S uytych jedokrotie w uporzdkowaym pokolorowaiu grafu G staowi jego separator lub S V(G). Wiosek Jeli G K, to powyszy zbiór S jest separatorem.

16 80 Kolorowaie uporzdkowae Tw. Jeli G K, to zachodzi wzór χ ( G) mi { S + max{ χ( G ),..., χ( G S Sep( G) )}}, gdzie Sep(G) jest zbiorem wszystkich miimalych separatorów grafu G (przez separator miimaly S rozumiemy taki, e ade właciwy podzbiór S ie jest separatorem w G) oraz G,...,G j s składowymi spójoci grafu G S. Dowód: wiemy, e zbiór jedokrotie uytych kolorów staowi separator S, jeli istieje wierzchołek v w S taki, e S \{v} jest separatorem w G, to usuwamy v z S, powyszy krok powtarzamy, a dla kadego v S mamy, e S \{v} ie jest separatorem, co ozacza, e separator S jest miimaly, uwzgldiajc, e χ r (K ) oraz korzystajc z powyszych faktów moa twierdzeie dowie idukcyjie wzgldem. j

17 8 Kolorowaie uporzdkowae Tw. Zachodz astpujce wzory: χ( K χ( C χ( W χ( P r,..., r gdzie T jest drzewem. Tw. χ r (P P ). s ) ) ) ) χ( T ) log log log ( ) ( ) max{ r +,,..., r log +, +, + 3, s } +, Wiosek Istiej grafy plaare dla których χ r.

18 8 Kolorowaie cieek Def. cieki P, P azywamy kolidujcymi w G, jeli zawieraj wspól krawd. Def. Niech G bdzie grafem prostym, atomiast P pewym zbiorem (multizbiorem) cieek w G. Przyporzdkowaie ciekom w P liczb aturalych,...,k azywamy k-pokolorowaiem zbioru P, o ile dowole dwie kolidujce cieki otrzymuj róe barwy. Def. Jeli G jest grafem oraz P zbiorem cieek w G, to grafem kofliktów jest graf, którego wierzchołki odpowiadaj ciekom w P. Dwa wierzchołki w grafie kofliktów s ssiedie, jeli odpowiadajce im cieki s kolidujce. Uwaga Problem optymalego (uywajcego miimalej liczby kolorów) pokolorowaia zbioru P jest rówoway problemowi optymalego kolorowaia wierzchołków grafu kofliktów.

19 83 Kolorowaie cieek Def. Jeli G jest grafem, a P zbiorem cieek w G, to χ G (P) jest ajmiejsz liczb atural k, dla której istieje k-pokolorowaie zbioru P. Def. Dla G oraz P defiiujemy obcieie krawdzi e jako liczbcieek zawierajcych e i ozaczamy symbolem L G (e,p). Obcieiem L G (P) zbioru P defiiujemy astpujco: L ( P) max{ L ( e, P)}. Lemat χ G (P) L(P). e E ( G) Przykład: Graf S 4 ({a,b,c,d}, {{a,b},{a,c},{a,d}}) oraz zbiór P { b-a-c, b-a-d, c-a-d } to przykład, gdy powysza ierówo jest ostra. Uwaga: Powysze pojcia moa w aturaly sposób uogóli a przypadek digrafów. G G

20 84 Kolorowaie cieek Def. Zgłoszeiem a grafie G azywamy dowol uporzdkowa par wierzchołków (u,v). W przypadku grafów ieskierowaych zgłoszeia (u,v) oraz (v,u) s tosame. Def. Niech R bdzie zbiorem zgłosze a grafie G. Routig zbioru R polega a wyborze takiego zbioru cieek P R, e kada cieka z P R realizuje jedo zgłoszeie z R, oraz zalezieiu optymalego pokolorowaia tego zbioru cieek. Defiiujemy χ( R) L( R) gdzie mi s liczoe po wszystkich moliwych zbiorach realizujcych R. Problem routigu polega a miimalizacji χ(r). Uwaga χ(r) L(R). mi{ χ( P P R mi{ L( P P R R )} liczba chromatycza, R )} obciazeie,

21 85 Kolorowaie cieek Uwaga Problem routigu dla digrafów defiiujemy aalogiczie. Kolejo wierzchołków w zgłoszeiu jest w tym przypadku istota. Def. Dla digrafu D (V, A) defiiujemy graf prosty G(D) (V, E): {u,v} E ( (u,v) A lub (v,u) A ). Tw. Dla dowolego digrafu D zachodzi L D (R) L G(D) (R) L D (R). Przykład: Lewa ierówo jest osigaa dla gwiazdy S 4 ({a,b,c,d}, {{a,b},{a,c},{a,d}}) digrafu D 4, gdzie A {(a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (c,a), (d,a)} oraz zbioru zgłosze R {(b,c), (c,d), (d,b)}. Tw. χ D ( R) χ G ( D) ( R). Tw. Jeli G,R,P to, odpowiedio, graf, zbiór zgłosze oraz zbiór cieek, to χ ( R) G χ ( R) G E( G) L( R), ( L( P) ) l +, gdzie l to maksymala długocieki w P.

22 86 Kolorowaie cieek Tw. Jeli G jest drog, to dla dowolego zbioru cieek P zachodzi rówo χ(p) L(P). Wiosek Istieje wielomiaowy algorytm rozwizujcy problem kolorowaia cieek w przypadku gdy G jest ciek. Tw. Niech G bdzie grafem prostym. Rówo χ(p) L(P) jest spełioa dla dowolego zbioru cieek w G wtedy i tylko wtedy, gdy G jest drog. Tw. Jeli G jest cyklem, to dla dowolego zbioru zgłosze R zachodzi χ(r) L(R). Wiosek Dla zadaego zbioru cieek w cyklu C istieje wielomiaowy -przyblioy algorytm kolorowaia zbioru cieek P.

23 Wybrae zastosowaia 87

24 88 Kolorowaie cieek sieci optycze pojedycze włóko przeosi sygały o róych długociach fal, wic jedo połczeie pomidzy wzłami umoliwia przesłaie wielu strumiei daych, długo fali dla daego pakietu daych jest ustalaa przed trasmisj, pakiety daych oczekujce a trasmisj wysyłaj zgłoszeia i rozwizyway jest problem routigu, kolory cieek długoci fal Uogólieia: stosukowo iewielkim kosztem moa dokoa zmiay długoci fali w wle poredim, wic róe fragmety cieki mog otrzymywa róe kolory, jeli istieje kilka połcze pomidzy par wzłów, to w ograiczoym zakresie pozwalamy a uycie tej samej barwy dla kilku kolidujcych cieek,

25 89 Kolorowaie sumacyje szeregowaie zada daych jest zada J,...,J, kade zadaie wymaga dostpu do podzbioru zasobów M,...,M, czasy wykoywaia zada s jedostkowe, przez koflikt rozumiemy sytuacj, w której dwa zadaia J i,j j wykouj si w tym samym czasie i wymagaj dostpu do wspólego zasobu, tz. M i M j, dymy do zalezieia takiego harmoogramu, aby ie wystpowały koflikty oraz redi czas oczekiwaia zadaia a wykoaie był miimaly, tworzymy graf kofliktów, którego wierzchołki odpowiadaj zadaiom oraz pomidzy wierzchołkami J i,j j istieje krawd, o ile M i M j, zajdujemy optymale sumacyje pokolorowaie c grafu kofliktów; wówczas zadaie J i wykoywae jest w przedziale czasu [c(j i ), c(j i )],

26 90 Kolorowaie uporzdkowae relacyje bazy daych dae jest zapytaie do relacyjej bazy daych, zamierzamy uszeregowa złczeia poszczególych relacji w taki sposób, e w daej turze (przedziale czasowym) moa wykoa dwie operacje złczeia relacji, jeli ada relacja ie uczesticzy w obu złczeiach, miimalizujemy liczb tur potrzebych a złczeie wszystkich relacji ( czas potrzeby a wykoaie zapytaia), w tym celu tworzymy graf G (ag. qurey graph), którego wierzchołki odpowiadaj relacjom oraz krawdzie operacjom złczeia, zajdujemy drzewo spiajce T grafu G, którego uporzdkoway ideks chromatyczy jest miimaly, kolorujemy T w sposób uporzdkoway, wówczas kolor przydzieloy krawdzi ozacza tur, w której aley wykoa odpowiadajce jej złczeie tabel; std, liczba kolorów jest rówa liczbie tur,