Czas trwania obligacji (duration)

Transkrypt

1 Czas rwaia obligacji (duraio) Do aalizy ryzyka wyikającego ze zmia sóp proceowych (szczególie ryzyka zmiay cey) wykorzysuje się pojęcie zw. średiego ermiu wykupu obligacji, zwaego rówież czasem rwaia obligacji (duraio). DURATION EFEKTYWNE Najbardziej właściwa bazująca a graficzej zależości pomiędzy ceą obligacji a YTM. P P ED P YTM YTM 2 P P P 2YTM ED efekywe duraio P-, P+ - cea obligacji po spadku (wzroście) YTM YTM-, YTM+ - oczekiwaa sopa zwrou po spadku (wzroście) () Do prakyczych obliczeń sosuje się iewielką zmiaę YTM (im miejsza ym wyik dokładiejszy) Jeżeli zmiaa YTM jes wysarczająco mała, wówczas wzór () moża zapisać jako (2) P P ED P (2) YTM YTM

2 DURATION MACAULAYA Odmieą ale rówoważą kocepcję Duraio zapropoował Frederic Macaulay. Średi ermi wykupu obligacji D (duraio) day jes wzorem: D C YTM C YTM C YTM P (3) Podejście MACAULAYA wprowadza ową ierpreację Duraio w sosuku do wcześiej przedsawioego Duraio Efekywego. Ze wzoru wyika, że średi ermi wykupu może być ierpreoway jako średi ważoy czas do ermiu wykupu, przy czym wagami są warości bieżące dochodów z yułu posiadaia obligacji. Duraio jes o środek ciężkości warości bieżącej dochodów z yułu posiadaia obligacji. Wyjaśia o łumaczeie pojęcia duraio jako średiego ermiu wykupu. Oóż po upłyięciu czasu rówego duraio wykupioa jes połowa obligacji", jeśli uwzględimy oprócz warości omialej rówież odseki, a płaości ważymy z uwzględieiem zmieej warości pieiądza w czasie. YTM = 5% YTM = 5% 2

3 Przykład. Daa jes obligacja z rzyleim ermiem wykupu, o warości omialej, oproceowaiu omialym %, a odseki płacoe są co roku. Sopa dochodu w okresie do wykupu ej obligacji wyosi YTM = 7%. Wyika z ego, że warość ej obligacji wyosi 7,87. Duraio wyosi:,7 D = + 2, ,7 3 = 2,75 7,87 Średi ermi wykupu obligacji wyosi 2,75 roku. W przypadku gdy odseki z yułu posiadaia obligacji płacoe są częściej iż co roku, sosuje się asępujący wzór, będący uogólieiem : D m C YTM / m P Zasada jes u aka sama, przy czym ależy pamięać, że sopa dochodu doyczy okresu wypłacaia odseek. Przykład. Podobie jak w poprzedim przykładzie, daa jes obligacja z rzyleim ermiem wykupu, o warości omialej, oproceowaiu omialym %, przy czym odseki płacoe są co pół roku. Sopa dochodu w okresie do wykupu ej obligacji wyosi YTM 7% (czyli sopa półrocza wyosi 3,5%). Wyika z ego, że warość ej obligacji wyosi 7,99. Po podsawieiu do wzoru orzymujemy: 5,35 D = + 2 5, , , , ,35 6 7,99 2 = 2,68 / m (4) 5,36/2 = 2,68 Porówując wyiki uzyskae w dwóch poprzedich przykładach moża wioskować, że zwiększeie częsości płaceia odseek zmiejsza średi ermi wykupu obligacji (przy sałych pozosałych charakerysykach obligacji). Obligacja zerokupoowa Przykład. Daa jes obligacja zerokupoowa z rzyleim ermiem wykupu. Jej warość omiala wyosi, a YTM = 6%. Wyika z ego, że warość ej obligacji wyosi 83,96. Po podsawieiu do wzoru orzymujemy: D = 3,6 3 83,96 = 3 W przypadku obligacji zerokupoowej średi ermi wykupu jes rówy długości okresu do ermiu wykupu. Z kolei w odiesieiu do obligacji z odsekami średi ermi wykupu jes miejszy iż długość okresu do ermiu wykupu. 3

4 ZMODYFIKOWANE DURATION MACAULAYA W prakyce sosuje się częso zmodyfikowaą posać wzoru: D MD (5) YTM Wprowadzoa koreka służy zrówaiu warości uzyskaej za pomocą DURATION EFEKTYWNEGO (kórego fiasowa ierpreacja jes ajbardziej aurala) a DURATION MACAULAYA, kóre z kolei jes prossze do obliczeń i wprowadza alerayą (czasową) ierpreację. (ODRĘBNIE PRZEPROWADZONO WYPROWADZENIE ZMODYFIKOWANEGO WZORU MACAULAYA NA PODSTAWIE WZORU NA DURATION EFEKTYWNE) W prakyce ozacza o, że wyzaczamy DURATION MACAULAYA (bo ławiej), w posaci PROSTEJ lub ZMODYFIKOWANEJ, ale częso sosujemy je jak DURATION EFEKTYWNE. Zgodie z ierpreacją DURATION EFEKTYWNEGO, średi ermi wykupu pozwala a określeie (w przybliżeiu), jak zmiei się warość obligacji, gdy zmiaie ulegie sopa dochodu w okresie do wykupu. Sosuje się u przybliżoe wzory: P P P D YTM YTM YTM P - warość obligacji po zmiaie sopy dochodu; P - warość obligacji przed zmiaą sopy dochodu; YTM - sopa dochodu obligacji po zmiaie; YTM - sopa dochodu obligacji przed zmiaą. P P MD YTM YTM P (7) W ym sesie średi ermi wykupu obligacji jes miarą elasyczości cey obligacji względem sopy YTM. (6) 4

5 Przykład. Daa jes obligacja rzyleia, o warości omialej, oproceowaiu omialym %, przy czym odseki płacoe są co roku. Jej warość wyosi 3,62. Moża a ej podsawie wyzaczyć YTM ej obligacji - wyosi 5%, jak rówież średi ermi wykupu - wyosi 2,75 roku. Załóżmy, że zmieia się sopa dochodu obligacji - wyosi obecie 6%. Po zasosowaiu wzoru (3.) orzymujemy: P P,6,5 = 2,75 =,262 = 2,62% P,5 Wyika z ego, że wraz ze wzrosem YTM o p.p. (z 5% a 6%) cea obligacji spadie o około 2,62%. Wzór wskazuje, jak zareaguje warość obligacji a zmiaę sopy dochodu. W ym sesie zaem średi ermi wykupu obligacji jes miarą ryzyka zmiay cey. Sugeruje o jeszcze jedą ierpreację ego pojęcia: obligacja -leia z odsekami, mająca czas rwaia rówy D (D<), jes rówoważa z obligacją zerokupoową, kórej ermi wykupu wyosi D, przy ym a rówoważość rozumiaa jes właśie w sesie ryzyka zmiay cey. Wyika z ego, że średi ermi wykupu moża sosować do uporządkowaia obligacji wysępujących a ryku ze względu a ryzyko zmiay cey. Im wyższa warość średiego ermiu wykupu, ym ryzyko o jes większe. Podsumowując: Średi ermi wykupu (a ym samym ryzyko cey) jes ym WIĘKSZY, im: NIŻSZE oproceowaie obligacji, DŁUŻSZY ermi do wykupu, NIŻSZA sopa dochodu w okresie do wykupu (YTM) 5

6 WYPUKŁOŚĆ (covexiy) jako lepsze przybliżeie miary ryzyka cey Trzeba pamięać, że DURATION wskazuje ylko a przybliżoą reakcję cey a zmiaę YTM. Przykład. Dae są e same co w poprzedim przykładzie, a więc aalizowaa jes obligacja rzyleia, o warości omialej, oproceowaiu % i odsekach płacoych co roku. Wiadomo, że YTM = 5%. Wedy warość obligacji wyosi 3,62. Jeśli sopa dochodu wzrośie do 6%, o warość obligacji wyiesie,69. Wyika z ego, że spadek warości obligacji wyosi: (,69-3,62)/3,62= -,258. Widać zaem, że warość spadie dokładie o 2,58%, podczas gdy w poprzedim przykładzie wzór przybliżoy z zasosowaiem duraio wskazał a spadek o 2,62%. Wyika z ego, że średi ermi wykupu obligacji jes ylko oszacowaiem rzeczywisej zmiay warości. Jes o przy ym ocea koserwaywa", gdyż szacuje z iedomiarem wzros warości, gdy spada sopa dochodu, i szacuje z admiarem spadek warości, gdy rośie sopa dochodu. Oszacowaie jes ym lepsze, im miejsza jes zmiaa sopy dochodu. Zjawisko o wyika z wypukłości krzywej ilusrującej zależość warości obligacji od sopy dochodu. Dodakową obok DURATION miarą poprawiającą przybliżeie zmia cey obligacji rówież przy większej zmiaie YTM jes WYPUKŁOŚĆ (CONVEXITY) P P 2P C P 2 2YTM,5 C YTM 2 (8) C YTM C YTM (9) Wzory e pozwalają przedsawić doychczasowa zależość: P P MD YTM YTM P W dokładiejszej posaci posaci: P P MD YTM (7) YTM CYTM 2 YTM P () (****) 6