Tw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.
|
|
- Jacek Pluta
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a, ci g {b } ma graic b, przy czym»ade z wyrazów ci gu {b } ie rówa si zeru, ai te» jego graica b ie jest rówa zeru, to ci g { a b } ma graic a b. Tw. 5. Ci g o wyrazie ogólym u q ma sko«czo graic tylko dla < q, przy czym: a). Je»eli < q <, to lim q 0 b). Je»eli q, to q, wi c lim q Tw. 6. Je»eli ci g {a } o wyrazach ieujemych ma graic a, to ci g { p a }, gdzie p jest ustalo liczb atural, ma graic p a. Tw. 7. O trzech ci gach Je»eli wyrazy ogóle trzech ci gów {a }, {u }, {b } speªiaj dla 0 ierówo± : a u b i je»eli ci gi {a }, {b } maj wspól graic g, tz: lim a lim b g to ci g {u } ma t sam graic, czyli: lim u g Wzór : lim a, dla a > 0 Wzór : lim ( + a ) a e, je»eli lim a 0 i a 0.
2 u + Zauwa»my,»e dla N i > 0 oba wyra»eia podpierwiastkowe s dodatie. Zatem ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my wyraz ogóly ci gu {u } korzystaj c z wzoru: a b a b a+b u Widzimy,»e dla liczik jest rówy atomiast miaowik d»y do, czyli caªy uªamek d»y do 0, a wi c lim u 0.. u + Zauwa»my,»e dla N i > 0 wyra»eie podpierwiastkowe jest dodatie, wi c ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my wyraz ogóly ci gu {u } korzystaj c z wzoru: a b a b a+b u Podzielmy teraz liczik i miaowik powy»szego uªamka przez : u Korzystaj c z twierdze«, i 6 obliczamy graic ci gu {u }: lim lim u lim + lim +lim +lim u + 5 Zauwa»my,»e dla N i > 0 wyra»eie podpierwiastkowe jest dodatie, wi c ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my wyraz ogóly ci gu {u } korzystaj c z wzoru: a b a b a+b u Podzielmy teraz liczik i miaowik powy»szego uªamka przez : u
3 Korzystaj c z twierdze«, i 6 obliczamy graic ci gu {u }: lim u lim 5 lim +lim lim +lim u + 5 Musi zachodzi : () ( 5) Z powy»szego rysuku odczytujemy,»e: () ( ; 5 > < ; )
4 Poiewa» N i > 0, wi c waruek () zawsze jest speªioy a tym samym ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my teraz wyraz ogóly ci gu korzystaj c z wzoru: a b a b u + 5 ( ) Podzielmy teraz liczik i miaowik powy»szego uªamka przez : u Korzystaj c z twierdze«, i 6 obliczamy graic ci gu {u }: lim u 5 lim lim lim + 5 +lim a+b 0 lim +lim lim
5 .5 u Musi zachodzi : () 6 9 ( 5) Widzimy wi c,»e dla N i > 0 waruek () jest speªioy a tym samym ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my teraz wyraz ogóly ci gu {u } korzystaj c z wzoru: a b a b a+b 5
6 u () Podzielmy liczik i miaowik powy»szego uªamka przez : u Korzystaj c z twiedze«,, i 6 obliczamy graic ci gu {u }: lim u lim lim ( 6)+lim lim +lim lim 9+lim lim 5.6 u + Najpierw zauwa»my,»e dla N i > 0 wyra»eie podpierwiastkwe jest zawsze dodatie, a wi c wszystkie wyrazy ci gu {u } s okre±loe. Przeksztaª my wyraz ogóly ci gu korzystaj c z wzoru: a b (a b)(a + ab + b ) a b a b a +ab+b u ( + ) ( + ) Podzielmy teraz liczik i miaowik przez : ( + ) + ( + ) + ( + ) u ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + (+ ) ) Korzystaj c z twierdze«, i 6 obliczamy graic ci gu: lim lim u lim lim + +lim 8 lim +lim +lim 6 + lim +lim u Zauwa»my,»e dla wyra»eie podpierwiastkowe jest rówe 0, atomiast dla N i > jest oo dodatie. Zatem wszystkie wyrazy ci gu {u } s okre±loe. Przeksztaª my teraz wyraz ogóly ci gu korzystaj c z wzoru: a b (a b)(a + ab + b ) 6
7 a b a b a +ab+b u ( ) ( +5 7) ( ) ( +5 7) ( +5 7) ( +5 7) Podzielmy liczik i miaowik przez : u ( +5 7) ( ) (+ 5 7 ) Korzystaj c z twierdze«,,, i 6 obliczamy graic ci gu: + ( +5 7) ( ) 7 lim ( 5)+lim lim u lim +lim + 0 +lim (+ 5 7 ) lim +lim lim + 5 (lim +lim lim 7 ) (+0 0) u 5 7 Zauwa»my ajpierw,»e dla N i liczba jest zawsze liczb parzyst atomiast 7 jest liczb ieparzyst. A wi c miaowik powy»szego uªamka jest zawsze ró»y od 0 a tym samym ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my teraz ogóly wyraz ci gu: u ( ) Korzystaj c z twierdze«, i obliczamy graic ci gu: 7 5 lim u lim lim 5 lim lim u Zauwa»my ajpierw,»e dla N i miaowik uªamka jest zawsze wi kszy od 0 a tym samym ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my teraz ogóly wyraz ci gu: u 5 5 ( ) Korzystaj c z twierdze«, i obliczamy graic ci gu:
8 lim u lim 5 lim 9 lim +lim u Zauwa»my ajpierw,»e dla N i miaowik uªamka jest zawsze wi kszy od 0 a tym samym ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my teraz ogóly wyraz ci gu: u Korzystaj c z twierdze«, i obliczamy graic ci gu: lim u 5 + ( ) lim lim 5 lim 0 +lim u Zauwa»my ajpierw,»e dla N i miaowik uªamka jest zawsze wi kszy od 0 a tym samym ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my teraz ogóly wyraz ci gu: u ( 8 7 ) Korzystaj c z twierdzeia obliczamy graic ci gu: lim u lim ( 56 ) lim ( 8 7 ) 56 Czyli ci g te jest rozbie»y do..5 u Zauwa»my ajpierw,»e dla N i miaowik uªamka jest zawsze wi kszy od 0 a tym samym ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my teraz wyraz ogóly ci gu {u }: u ( ) Korzystaj c z tw.,, 5 obliczamy graic ci gu: 8
9 lim u lim ( 9 ( ) ) lim lim 9 lim ( ) u ( ) + + Zauwa»my ajpierw,»e dla N i miaowik drugiego uªamka jest wi kszy od 0, wi c wszystkie wyrazy ci gu {u } s okre±loe. Przeksztaª my teraz wyraz ogóly ci gu {u }: u Korzystaj c z twierdze«i obliczamy graic ci gu: lim u lim lim lim lim u + Wyra»eie podpierwiastkowe jest dla N i zawsze wi ksze od 0 a wi c wszystkie wyrazy ci gu {u } s okre±loe. Poadto zachodzi ierówo± : < + < + < + < + < + < < + < Zatem wyrazy badaego ci gu {u } s zawarte mi dzy odpowiedimi wyrazami ci gów a i b Korzstaj c z twierdzeia i wzoru obliczamy graice tych ci gów: lim a lim lim b lim lim lim Korzystaj c z twierdzeia 7 o trzech ci gach otrzymujemy: lim u 9
10 .55 u Wyra»eie podpierwiastkowe jest dla N i zawsze wi ksze od 0 a wi c wszystkie wyrazy ci gu {u } s okre±loe. Poadto zachodzi ierówo± : 0 < < < < 0 0 < < 0 A wi c wyrazy badaego ci gu {u } s zawarte mi dzy odpowiedimi wyrazami ci gów a 0 i b 0. Graice tych ci gów wyosz (korzystamy z tw. i wzoru ): lim a lim 0 0 lim b lim (0 ) lim 0 lim 0 0 Korzystaj c teraz z twierdzeia 7 o trzech ci gach otrzymujemy: lim u 0.56 u Oba wyra»eia podpierwiastkowe s wi ksze od 0 a wi c wszystkie wyrazy ci gu {u } s okre±loe. Korzystaj c z tw. i wzoru mamy: lim u lim ( ) lim 0 00 lim u ( ) + ( ) Wyra»eie podpierwiastkowe jest dla N i dodatie a wi c wszystkie wyrazy ci gu {u } s okre±loe. Po sprowadzeiu uªamków do wspólego miaowika dostajemy: u ( 8 ) + ( 9 ) Zachodz ast puj ce ierówo±ci: 0
11 ( 9 ) < ( 8 ) + ( 9 ) < ( 9 ) + ( 9 ) ( 9 ) < ( 8 ) + ( 9 ) < ( 9 ) 9 < ( 8 ) + ( 9 ) < 9 A wi c wyrazy badaego ci gu {u } s zawarte mi dzy odpowiedimi wyrazami ci gów a 9 i b 9. Graice tych ci gów wyosz (korzystamy z tw. i wzoru ): lim a lim 9 9 lim b lim ( 9 ) lim 9 lim 9 9 Korzystaj c teraz z twierdzeia 7 o trzech ci gach otrzymujemy: lim u 9.58 u Zauwa»my,»e dla N i miaowik uªamka jest iezerowy, wi c ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Skorzystajmy teraz z wzoru udowodioego w zadaiu.59: (+) Mamy wi c: u ( ) (+) Korzystaj c z tw, i obliczamy graic ci gu: lim u lim +lim lim u Na pocz tku zauwa»my,»e dla ka»dego N i miaowik uªamka jest iezerowy, wi c ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Skorzystajmy teraz z wzoru udowodioego w zadaiu.56: u ( ) ( ) Korzystaj c z twierdzeia obliczamy graic ci gu:
12 lim u lim + lim + lim u Zauwa»my ajpierw,»e dla ka»dego N i miaowik uªamka jest iezerowy, wi c ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Skorzystajmy teraz z wzoru udowodioego w zadaiu.6: ( (+) ) u ( ) + + Korzystaj c z twierdzeia i obliczamy graic ci gu: lim u lim +lim +lim lim +0+0 ( (+) ) ( ) ( (+) ) ( +) u Zauwa»my ajpierw,»e dla ka»dego N i miaowik uªamka jest wi kszy od, wi c ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Nast pie zauwa»my,»e liczik tego uªamka jest -t sum cz stkow ci gu geometryczego, w którym a oraz q. Podobie miaowik tego uªamka jest -t sum cz stkow ci gu geometryczego, w którym a oraz q. W zadaiu.6 udowodili±my,»e -ta suma cz stkowa post pu geometryczego wyosi: S a q q, dla q Zastosujmy te wzór do aszego uªamka: u ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ] [( ) ] ( ) ( ) Korzystaj c z tw., i obliczamy graic ci gu: lim u lim lim lim lim lim 0 0
13 .6 u +a+a +...+a Zauwa»my ajpierw,»e dla ka»dego N i miaowik uªamka jest wi kszy od, wi c ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Nast pie zauwa»my,»e liczik tego uªamka jest -t sum cz stkow ci gu geometryczego, w którym a oraz q a. Podobie miaowik tego uªamka jest -t sum cz stkow ci gu geometryczego, w którym a oraz q. W zadaiu.6 udowodili±my,»e -ta suma cz stkowa post pu geometryczego wyosi: S a q q, dla q Zastosujmy te wzór do miaowika uªamka i obliczmy graic ci gu {u } dla a : u ( ) Korzystaj c z tw., i dostajemy: ( + ) ( + ) lim u lim ( + ) lim lim lim lim 0 A wi c dla a ci g jest rozbie»y do iesko«czoo±ci. Zastosujmy teraz wzór a sum cz stkow do liczika i miaowika uªamka ci gu {u } dla a : u a a ( ) a a a a a a Korzystaj c z twierdze«, i obliczamy graic : lim u lim lim a lim lim lim a lim lim lim lim a a lim a 0 a Na podstawie twierdzeia 5 oraz waruku a otrzymujemy,»e ci g o wyrazie ogólym a ma sko«czo graic dla dla < a < i wyosi oa 0, zatem graica ci gu {u } wyosi: lim u 0 a ( a) Podsumowuj c, ci g {u } jest ma sko«czo graic dla < a < i wyosi oa ( a), atomiast dla a ci g jest rozbie»y..6 u k + k k Zauwa»my ajpierw,»e dla ka»dego N, i k C miaowik uªamków jest dodati, wi c ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Poiewa» wszystkie uªamki maj wspóly miaowik, wi c wyraz ogóly ci gu mo»emy zapisa :
14 u k Skorzystajmy teraz z wzoru udowodioego w zadaiu.59: (+) u (+) + k k k Dla k 0 mamy: u lim u Dla k mamy: u lim u Dla k mamy: u + + Korzystaj c z twierdze«i zajdujemy graic : lim u lim +lim lim +0 Dla k > mamy: u + k k + k k + k Korzystaj c z twierdze«i zajdujemy graic : lim u lim k +lim k lim Dla k < 0 mamy: u + k ( +) k Poiewa» w rtym przypadku liczik wraz z wzrostem ro±ie ieograiczeie, wi c: lim u Podsumowuj c, dla k < ci g jest rozbie»y do plus iesko«czoo±ci, dla k graic ci gu jest a dla k > graic ci gu jest 0.
wi c warunek konieczny zbie»no±ci szeregu jest speªniony. 12 = 9 12 = 3 4 k(k+1) k=1 ( k+1 k(k+1) n+1 = 1 1 n+1 = 1 0 = 1 36 = =
32 (+) Jest to szereg o wyrazach dodatich Poadto wyraz ogóly tego szeregu jest zbie»y do 0, wi c waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy s (+) 2 s 2 s + 2 (2+) 2 + 2 3 2 + 6 3 6 + 6 4 6 2 3 s 3 s
Bardziej szczegółowoszereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,
.. si Poiewa» si < 1; 1 >, wi c zbadajmy szereg zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu: () si = si, ale si < 0; 1 > Zatem si 1 () Po prawej stroie powy»szej ierówo±ci mamy szereg
Bardziej szczegółowo> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)
.65. si() W szeregu tym wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Zbadajmy wi c szereg: si() zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu. Poiewa» si(), wi c si() = Po prawej
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowoWykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoZauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)
Odpowiedzi do zadań z szeregów, cz I. Zauważoe błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub a ćwiczeiach. Z góry dziękuję :-. a +, wsk. skorzystać z rówości a b a b, astępie a+b wyciągąć ajwyższe potęgi z liczika
Bardziej szczegółowoPrace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska
Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione
Aaliza matematycza Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 7 Sumy i iloczyy uogólioe Dla dowolych liczb a k, a k+, a k+,..., a l okre±lamy sum uogólio i iloczy uogólioy: a k + a k+ + a k+ +... + a l, l a k
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/3 Zadaie Niech a k >, (k =,, b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a ( + a ( + a + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e liczby
Bardziej szczegółowoZbiory. Zadanie 5. Wykaza to»samo±ci (a) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C), (b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) [(A C) \ D],
x FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zbiory Zadaie 1. Opisa zbiory A B, A B, A \ B, B \ A je±li A = {x R : x 3x < 0, }; B = {x R : x 3x + 4 0} Zadaie. Niech A, B, C, D b d podzbiorami przestrzei X. Udowodi,»e A \
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoCiąg liczbowy. Granica ciągu
Temat wykładu: Ciąg liczbowy. Graica ciągu Kody kolorów: Ŝółty owe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa kometarz * materiał adobowiązkowy Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 1 Zagadieia 1. Przykłady
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoMatematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa
Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech a k >, (k =,, ) b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a )( + a ) ( + a ) + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
585. Wskaż liczbę rzeczywistą k, dla której podaa graica istieje i jest dodatią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość graicy dla tej wartości parametru k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wymierą, podaj ją w postaci
Bardziej szczegółowoZbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoTw: (O promieniu zbieżności R szeregu potęgowego ) Jeżeli istnieje granica. to R = ) ciąg liczb zespolonych
Automatya i Rootya Aaliza Wyład dr Adam Ćmil cmil@agh.du.pl SZEREGI POTĘGOWE ( c ciąg licz zspoloych c ( z z - szrg potęgowy, gdzi ( c - ciąg współczyiów szrgu, z C - środ, ctrum (ustalo, z C - zmia. Dla
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223
Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości
Bardziej szczegółowoć Ó ć Ź ć ć ć ć ć ć Ś Ą ć ź Ź ć Ź Ź ć ć ć Ą Ź ĄĄ ć ź ć ć ć ć ć ć Ą ź Ó ć ć ć ć ć ć ć Ą ć ź ć ć ć Ś Ą ź ć Ó ć ć ć Ł ć ć Ą ć ć Ą Ó ć ć ć ć ź ć ć ć ć ć ć Ść ć ć Ó ć Ę ć ć ÓĄ Ś ć ć ć Ą ć ć Ź ź Ś ć Ź ć ć ć
Bardziej szczegółowoMateriał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi
Materiał powtarzay w II etapie II. Ciągi 3 1, dla parzystych 1. Wyzacz sześć początkowych wyrazów ciągu a = { +1, dla ieparzystych. Które wyrazy ciągu a = są rówe 1? 3. Pomiędzy liczby 7 i 5 wstaw 5 liczb
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA I UŠAMKI PIOTR NIADY
GEOMETRIA I UŠAMKI PIOTR NIADY Alicja raz czy dwa zajrzaªa do ksi»ki czytaej przez siostr, ale ie byªo tam ai ilustracji, ai kowersacji. A jaki mo»e by po»ytek z ksi»kipomy±laªa Alicjaw której ie ma ai
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoLiczby zmiennoprzecinkowe
Liczby zmiennoprzecinkowe 1 Liczby zmiennoprzecinkowe Najprostszym sposobem reprezentowania liczb rzeczywistych byªaby reprezentacja staªopozycyjna: zakªadamy,»e mamy n bitów na cz ± caªkowit oraz m na
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoMetoda najszybszego spadku
Metody Gradietowe W tym rozdziale bdziemy rozwaa metody poszuiwaia dla fucji z przestrzei R o wartociach rzeczywistych Metody te wyorzystuj radiet fucji ja rówie wartoci fucji Przypomijmy, czym jest zbiór
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoFAQ ANALIZA R c ZADANIA
FAQ ANALIZA R c ZADANIA Caªki wersja wst pa uwaga a bª dy!!! Fukcje pierwote Zadaie. Rozgrzewka. Obliczy caªki ieozaczoe, tz zale¹ fukcje pierwote. W awiasach wymieioe s arz dzia jakie mog by potrzebe
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoUczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o
Plan uczenie neuronu o ci gªej funkcji aktywacji uczenie jednowarstwowej sieci neuronów o ci gªej funkcji aktywacji uczenie sieci wielowarstwowej - metoda propagacji wstecznej neuronu o ci gªej funkcji
Bardziej szczegółowoRównoliczno zbiorów. Definicja 3.1 Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne jeeli istnieje. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~.
16 Rówoliczo zbiorów Defiicja 3.1 Powiemy, e iepuste zbiory A i B s rówolicze jeeli istieje f : A B. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~. Twierdzeie 3.1 (podstawowa właso rówoliczoci zbiorów)
Bardziej szczegółowoRAP pa¹dziernika S n = S 0 + i=1. p r q l = p r q l r. N n(a,b)
RAP 4 5 pa¹dzierika 008 Wykªad : PSL metoda zliczaia ±cie»ek Wykªadowca: Adrzej Ruci«ski Pisarz:Bartosz Naskr cki i Marek Kaluba Wst p B dziemy dalej studiowa zachowaia osobika, którego gr zajmowali±my
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowo*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowoRozmieszczenie liczb pierwszych
Rozmieszczeie liczb pierwszych Euler Pierwszy owoczesy wyik pochodzi od Eulera: TWIERDZENIE: Szereg p primes p est rozbieży. Szkic dowodu: Dla s > zachodzi rówość ( ) = s = i= ( + p s i ) + p 2s i +....
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Bardziej szczegółowoMarek Be±ka, Statystyka matematyczna, wykªad Wykªadnicze rodziny rozkªadów prawdopodobie«stwa
Mare Be±a, Statystya matematycza, wyªad 3 38 3 Statystyi zupeªe 3. Wyªadicze rodziy rozªadów prawdopodobie«stwa Zacziemy od deicji Deicja 3. Rodzi rozªadów {µ θ } θ Θ azywamy wyªadicz rodzi rozªadów -
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoO pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A
RCHUNEK ZIORÓW 2 DZIŁNI N ZIORCH Sum (uni ) zbiorów i nazywamy zbiór, którego elementami s wszystkie elementy nale ce do zbioru lub do zbioru. = {x : x x } ZDNIE = = = Wyznacz sumy:,, C, D, E, D E dla
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoA.1. Asymptotyka bez notacji asymptotycznej. Przykªad A.1. Zbada zachowanie asymptotyczne liczb Fibonacciego. Pokaza,»e. F n = round ( 1 5 Φ n )
A Notacjaasymptotycza Badaj c du»e obiekty kombiatorycze cz sto ie jest koiecze pozaie dokªadej warto±ci okre±loej wielko±ci (szczególie gdy wzór dokªady jest skomplikoway), a jedyie jej warto± przybli»o,
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach
12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce a aklejk z kodem szkoy dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-RAP-06 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 0 miut Istrukcja dla zdajcego Sprawd, czy arkusz egzamiacyjy zawiera 4 stro (zadaia ) Ewetualy
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowo10. arccos 3 + 4x, 11. tg sin cos x, 12. arcctg x ctg 2x, arcsin(2x 1) arcsin 2x 1, 21. sin2 x 2 1,
. Nawiasy Dopisz nawiasy jak w przykªadzie: ln cos 4 + = ln((cos(4)) ) +. sin,. ln 3 +, 3. tg ctg, 4. sin, 5. log 3 4, 6. arcsin sin, 7. tg 4 3, 8. log, 9. cos +3, 0. arccos 3 + 4,. tg sin cos,. arcctg
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjy (wykłady) Wykład r 12: Fukcja wykładicza cd. Ciągłość fukcji. Pochoda fukcji Semestr zimowy 2018/2019 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Podobie jak w przykładach
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-062 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.
FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoCaªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci
Bardziej szczegółowo