Równoliczno zbiorów. Definicja 3.1 Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne jeeli istnieje. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~.

Transkrypt

1 16 Rówoliczo zbiorów Defiicja 3.1 Powiemy, e iepuste zbiory A i B s rówolicze jeeli istieje f : A B. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~. Twierdzeie 3.1 (podstawowa właso rówoliczoci zbiorów) Dla dowolych zbiorów A,B,C mamy (1) A~A (2) A~B B~A (3) A~B B~C A~C. Ad (1). Jeeli A=, to wobec defiicji mamy A~A. Jeeli A, to oczywicie ida : A A, wic A~A. Ad (2). Zakładamy, e A~B. Ozacza to, e albo A= = B i wówczas oczywicie B~A, albo e istieje f : A B. Istieje wówczas 1 f : B A (patrz wiczeia z algebry). Mamy wic B~A. Ad (3). Jeeli który ze zbiorów A,B,C jest pusty, to (3) jest oczywiste. Przyjmijmy wic, e s to zbiory iepuste. Zakładamy, e A~B i B~C. Istiej wic fukcje f : A B ; g : B C. Z wicze z algebry wiadomo, e wówczas f g : A C, czyli A~C. Defiicja 3.2 Zbiór D azywamy skoczoym jeeli N P()~D. W tym przypadku mówimy, e zbiór D jest -elemetowy ( ma - elemetów). Niepusty zbiór D azywamy ieskoczoym jeeli ie jest o skoczoy, czyli N ~(P()~D). Defiicja 3.3 Fukcj a:n P azywamy cigiem. Dokładiej cigiem elemetów zbioru P (iekoieczie wszystkich). Cig jest to wic dowola fukcja, której dziedzi jest zbiór N. W przypadku fukcji a:n P dla N zamiast pisa a() bdziemy pisali a. Zamiast pisa a(n) bdziemy pisali {a } N i tym symbolem b. czsto ozaczali cig jako fukcj a:n P. Nie prowadzi to z reguły do dwuzaczoci. Cigi s wic specyficzymi fukcjami. Nie zapomiajmy jedak, e cig to fukcja i w szczególoci mówi moemy o cigach róowartociowych, mootoiczych itd. Jeeli dla pewego cigu {a } N ma miejsce rówo {a } N = A, to mówimy, e A jest zbiorem wyrazów cigu {a } N, lub e elemety zbioru A ustawilimy w cig. Sposoby defiiowaia (okrelaia) cigów: 1) poprzez podaie ogólego wzoru. (Np. N a dowolego wyrazu cigu. ( Np. a 77 = ). +1 ). Tu jestemy w staie poda atychmiast poda warto

2 17 2) rekurecyjie. (Np. a 1 3, a 2 4, N >2 a a -1 2a -2 ). Tu aby poda warto kolejego wyrazu cigu aley za wartoci wyrazów poprzedich. 3) poprzez podaie opisu słowego. (Np. roscy cig liczb pierwszych). Defiicja 3.4 Niech {a } N bdzie pewym cigiem ( a:n P ) i { k } k N roscym cigiem liczb aturalych (:N N i k,s N k<s k < s ). Superpozycj a azywamy podcigiem cigu {a } N. Dla k N zgodie z wczeiej przyjtymi umowami i defiicj superpozycji mamy (a)(k) = a((k)) = a( k ) = a k. Tak wic podcigi cigu {a } N ozacza bdziemy przez {a } k k N. Obrazowo mówic podcig daego cigu to cig z iego powstały przez opuszczeie pewej iloci wyrazów z zachowaiem kolejoci ieskoczoej iloci pozostałych. Np. Podcigiem cigu {} N s: {2} N, {+1} N, {2+7} N. Cig {-1} N ie jest podcigiem tego cigu, podobie jak cig (1,3,2,4,5,6,...). Defiicja 3.5 Zbiór A azywamy przeliczalym jeeli jest o: pusty, skoczoy lub rówoliczy ze zbiorem N. Uwagi 1) Kady zbiór rówoliczy ze zbiorem przeliczalym jest przeliczaly Niech A bdzie zbiorem przeliczalym i A~B. Jeeli A =, to B =, jeeli A jest skoczoy, czyli N P()~A. Wówczas P()~A A~B wic P()~B, jeeli N~A A~B, to N~B. W kadym wic przypadku B okazał si by zbiorem przeliczalym. 2) Rówoliczo zbioru N z A ozacza oczywicie, e A jest zbiorem wyrazów pewego cigu róowartociowego. Przykłady Oczywicie N jest zbiorem przeliczalym. Zbiory liczb parzystych i ieparzystych jako z im rówolicze ( f() 2, g() 2-1 ) te s przeliczale. Okae si w dalszej czci wykładu, e R jest zbiorem ieprzeliczalym. Defiicja 3.6 Zbiór, który ie jest przeliczaly azyway ieprzeliczalym. Kady zbiór rówoliczy ze zbiorem ieprzeliczalym jest ieprzeliczaly. Twierdzeie 3.2 Na to, by iepusty zbiór A był przeliczaly potrzeba i wystarcza, aby był o zbiorem wyrzzów pewego cigu. Czyli iepusty zbiór A jest przeliczaly gdy istieje cig {a } N (iekoieczie róowartociowy) taki, e A = {a } N. (waruek koieczy) Zakładamy, e A jest zbiorem przeliczalym. Rozwamy przypadki: (i) A jest rówoliczy z N (ii) A jest skoczoy. Ad (i)

3 18 Ad. (ii) Istieje wówczas fukcja a : N A, czyli cig {a } N. Poiewa a jest surjekcj, to A = {a } N. Dla pewego k N mamy P(k)~A. Istieje wic bijekcja a:p(k) A. Oczywicie a(p(k)) = A. Defiiujemy cig b:n A astpujco: a() dla k N b. Łatwo zauway, e {b } N = A. a(k) dla > k (waruek wystarczajcy) Zakładamy, e A jest zbiorem wyrazów pewego cigu. Istieje wic cig {b } N taki, e {b } N = A. Jeeli A jest skoczoy, to jest oczywicie przeliczaly. Przyjmijmy wic, e A ie jest skoczoy. Wówczas (*) N ~(P()~A) Poiej zdefiiujemy róowartociowy cig {a } N taki, e {a } N = A. Defiiujemy ( 1) a 1 b 1 Gdyby zbiór M 1 { N: b a 1 = b 1 } =, to A~P(1) wbrew (*). Zatem M 1. Istieje wic k 2 mim 1. Defiiujemy (2) a 2 b k2 ( a 2 jest wic ajwczeiejszym wyrazem cigu {b } N, który jest róy od b 1 = a 1. W szczególoci a 1 a 2 ) Gdyby zbiór M 2 { N: b {a 1, a 2 }} =, to A~P(2) wbrew (*). Zatem M 2. Istieje wic k 3 mim 2. Defiiujemy (3) a 3 b k3. ( a 3 jest wic ajwczeiejszym wyrazem cigu {b } N, który jest róy od wszystkich wczeiej od iego okreloych elemetów: a 1 i a 2 ) Przyjmijmy, e okrelilimy ju wyraz (4) () a b k bdcy ajwczeiejszym wyrazem cigu {b } N, który jest róy od wszystkich wczeiej od iego okreloych elemetów: a 1, a 2,..., a -1. Gdyby zbiór M { N: b {a 1,..., a }} =, to A~P() wbrew (*). Zatem M. Istieje wic k +1 mim. Defiiujemy (5) (+1) a +1 b k+1 ( a +1 jest wic ajwczeiejszym wyrazem cigu {b } N, który jest róy od wszystkich wczeiej od iego okreloych elemetów: a 1,..., a. W te sposób okrelilimy idukcyjie cig {a } N. Jest o oczywicie róowartociowy (co wyika z procesu jego tworzeia) i {a } N = A (bo cig {b } N wyczerpywał wszystkie wyrazy zbioru A. Cig {a } N jest podcigiem cigu {b } N powstałym przez opuszczeie tylko tych wyrazów które w cigu {b } N powtarzały si). W zwizku z powyszym A jest rówoliczy z N, a wic przeliczaly. Własoci zbiorów przeliczalych Twierdzeie 3.3 Kady podzbiór zbioru przeliczalego jest przeliczaly. Kady adzbiór zbioru ieprzeliczalego jest ieprzeliczaly. Niech A bdzie podzbiorem zbioru przeliczalego B. Jeeli B =, to twierdzeie jest oczywiste. W przeciwym wypadku a mocy poprzediego twierdzeia B = {b } N. Jeeli A = lub A jest skoczoy, to twierdzeie jest oczywiste. Przyjmijmy wic, e A jest ieskoczoym podzbiorem zbioru B (sił rzeczy ieskoczoego). Niech {a } N bdzie cigiem powstałym z {b } N poprzez opuszczeie tych i tylko tych jego wyrazów, które ie ale do A z zachowaiem kolejoci pozostałych. (pozostaie ieskoczeie wiele wyrazów). {a } N. jest wic podcigiem {b } N oraz {a } N = A, zatem A jest przeliczaly.

4 Niech teraz C bdzie zbiorem ieprzeliczalym i C D. Gdyby D był przeliczaly, to C jako jego podzbiór a mocy pierwszej czci twierdzeia był by przeliczaly. 19 Wiosek Kady podzbiór zbioru liczb aturalych jest przeliczaly a wic i kady zbiór rówoliczy z którym z tych podzbiorów jest rówoliczy. Okazuje si, e jedyymi zbiorami przeliczalymi s te które rówolicze s z pewym podzbiorem zbioru liczb aturalych. Twierdzeie 3.4 Suma dwóch zbiorów przeliczalych jest zbiorem przeliczalym. Niech A i B bd zbiorami przeliczalymi. Jeeli który z ich jest zbiorem pustym, to twierdzeie jest oczywiste. Przyjmijmy wic, e oba s iepuste. Przyjmijmy, e A = {a } N i B = {b } N. Defiiujemy cig {c } N astpujco: N c 2-1 a c 2 b, czyli {c } N = {a 1, b 1, a 2, b 2,... }. Oczywicie {c } N =A B, co wiadczy o przeliczaloci zbioru A B. Wioski 1) Suma kadej skoczoej iloci zbiorów przeliczalych jest zbiorem przeliczalym. (łatwy dowód idukcyjy) 2) Zbiór Z = N {0} N - jest przeliczaly. Twierdzeie 3.5 Iloczy kartezjaski zbiorów przeliczalych ( iepustych) jest zbiorem przeliczalym. Niech A {a } N i B {b } N bd zbiorami przeliczalymi. Tworzymy ieskoczo tablic : (a 1,b 1 ), (a 1,b 2 ), (a 1,b 3 ), (a 1,b 4 ), (a 1,b 5 ),... (a 2,b 1 ), (a 2,b 2 ), (a 2,b 3 ), (a 2,b 4 ), (a 2,b 5 ),... (a 3,b 1 ), (a 3,b 2 ), (a 3,b 3 ), (a 3,b 4 ), (a 3,b 5 ), Oczywicie kady elemet zbioru AxB w powyszej tablicy si zajduje. Elemet (a k,b r ) zajduje si w k-tym wierszu i r-tej kolumie powyszej tablicy. Tworzymy teraz cig: (a 1,b 1 ), (a 1,b 2 ), (a 2,b 1 ), (a 1,b 3 ), (a 2,b 2 ), (a 3,b 1 ),... Z łatwoci stwierdzamy, e AxB jest zbiorem wyrazów powyszego cigu, a wic jest o przeliczaly. Zaprezetowaa w powyszym dowodzie metoda tworzeia cigu azywa si przektiow metod wyboru. Defiicja 3.7 Niech N\{1} i A 1,..., A +1 dowolymi zbiorami iepustymi. Defiiujemy: A 1 x... x A +1 (A 1 x... x A )xa +1. Z samej defiicji iloczyu kartezjaskiego -zbiorów wyika, e twierdzeie 3.5 moa i a te przypadek uogóli. Twierdzeie 3.6

5 20 Suma przeliczalej iloci zbiorów przeliczalych jest zbiorem przeliczalym. Niech {A } N bdzie cigiem zbiorów przeliczalych. WPU sum A =1. Jeeli wszystkie zbiory A s puste, to i ich suma jest zbiorem pustym a wic przeliczalym. Jeeli wród zbiorów A wystpuje zbiór iepusty, to i ich suma jest iepusta. Na zbiór A =1 ie maj wpływu ewetuale zbiory puste wystpujce w cigu {A } N. Moemy wic przyj, e {A } N jest cigiem zbiorów przeliczalych i iepustych i w kosekwecji przyj ozaczeia (*) N A {a m } m N. Tworzymy ieskoczo tablic elemetów zbioru A : =1 a 11, a 12, a 13,... a 21, a 22, a 23,... a 31, a 32, a 33, i aalogiczie jak w poprzedim twierdzeiu tworzymy cig, który jak łatwo wida jest cigiem wszystkich elemetów zbioru A =1, co wiadczy o jego przeliczaloci. Twierdzeie 3.7 Niech A bdzie iepustym zbiorem przeliczalym i f: A B. Wówczas f(a) jest zbiorem przeliczalym.. Zbiór A jako iepusty przeliczaly ma posta A = {a } N. Wówczas f(a) = {f(a )} N, czyli jest przeliczaly. Przykłady zbiorów przeliczalych. Oczywicie zbiór N jest przeliczaly. Zbiór Z = N{0}N - jako suma zbiorów przeliczalych jest przeliczaly. Przypomijmy, e zbiór W {x R: r Z m N x = r m }. Defiiujemy fukcj f:zxn R astpujco: (r,m) ZxN f(r,m) r m. Łatwo zauway, e f(zxn) = W. Poiewa ZxN jako iloczy zbiorów przeliczalych jest przeliczaly, to a mocy poprzediego twierdzeia rówie zbiór W jest przeliczaly. Niebawem udowodimy, e zbiór R jest ieprzeliczaly. Przyjmujc w tym momecie, e tak jest, wioskujemy, e rówie zbiór IW jest ieprzeliczaly, gdy w przeciwym wypadku zbiór R = W IW jako suma zbiorów przeliczalych byłby przeliczaly. 3. Zbiór liczb rzeczywistych

6 21 Przyjmujemy, e zae s słuchaczowi (czytelikowi) własoci podstawowych działa i ierówoci w zbiorze liczb rzeczywistych. Defiicja 3.1 Niech D R. Powiemy, e zbiór D jest ograiczoy z góry (z dołu) jeeli (1) M R x D x M ( (1 ) m D x D m x ). Jeeli zbiór D R ograiczoy jest z góry i z dołu, to azywamy go po prostu ograiczoym. Zauwamy, e waruek ograiczooci zbioru zapisa moemy astpujco: (2) M R x D x M. Defiicja 2.2 Liczb g azywamy kresem górym iepustego zbioru D R jeeli x D x g ( p R p < g x D p < x). Liczb d azywamy kresem dolym iepustego zbioru D R jeeli x D d x ( p R d < p x D x < p). Oczywicie jeeli iepusty podzbiór D R ma kres góry (doly), to jest ograiczoy z góry (z dołu). Kres góry, doly iepustego zbioru D R ozaczamy odpowiedio przez supd i ifd. Przykłady 1=sup( 0,1). Istotie mamy oczywicie x (0,1) x < 1. Niech p<1. Jeeli p 0, to p+1 p+1 2 ( 0,1) i p < 2 Jeeli p < 0, to 1 2 (0,1) i p < 1 2. Zauwamy, e sup( 0,1) ( 0,1). Zupełie aalogiczie wykaza moa, e 1=sup( 0,1>. Tym razem sup( 0,1> ( 0,1>. W przypadku, gdy kres góry (doly) zbioru jest elemetem tego zbioru, to azywamy go maksimum (miimum) i zamiast supd (ifd) piszemy wówczas maxd (mid). Naturalym jest pytaie: czy kady zbiór ograiczoy z góry (z dołu) posiada kres góry (doly)?. Odpowied a to pytaie jest pozytywa, ale dowód stosowego twierdzeia jest b. trudy. Twierdzeie 3.1 (zasada cigłoci) (doly). Kady ograiczoy z góry (z dołu) iepusty podzbiór zbioru R posiada kres góry Jeeli iepusty zbiór D R jest ieograiczoy z góry (z dołu) to piszemy supd =. (ifd = - ). Twierdzeie 3.2 Przedział < 0,1> jest zbiorem ieprzeliczalym. Przypumy, e < 0,1> jest zbiorem przeliczalym. Jest o wówczas zbiorem wyrazów pewego cigu {a } N. Mamy wic (*) < 0,1> = {a } N

7 22 Podzielmy przedział < 0,1> a trzy przedziały : < 0, 1 3 >, < 1 3, 2 3 >, < 2 3, 1> i wybierzmy z ich te do którego ie aley a. 1 (Przedział taki jest dokładie jede gdy a 1 { 1 3, 2 3 } i s dwa w przeciwym wypadku, ale jede z ich p. wczeiejszy wybra zawsze moa). Wybray przedział ozaczmy przez I 1 a jego krace odpowiedio przez d 1 oraz g 1. Mamy wic (1) a 1 I 1 = <d 1,g 1 > < 0,1> g 1 d 1 < 1 3. Przedział I 1 dzielimy teraz a trzy rówe przedziały i wybieramy z ich te do którego ie aley a 2. (Nie jest wykluczoe, e a 2 I 1 = <d 1,g 1 >, co przecie ie uiemoliwia wyboru). Wybray przedział ozaczmy przez I 2 a jego krace odpowiedio przez d 2 oraz g 2. Mamy wic (2) a 2 I 2 = <d 2,g 2 > <d 1,g 1 > < 0,1> g 2 d 2 < Z przedziałem I 3 postpujemy aalogiczie. Załómy, e okrelilimy ju przedział I o poiszej własoci () a I = <d,g > <d -1,g -1 >... <d 1,g 1 > < 0,1> g d < 1 3. Przedział I dzielimy teraz a trzy rówe przedziały i wybieramy z ich te do którego ie aley a +1. (Nie jest wykluczoe, e a +1 I = <d,g >, co przecie ie uiemoliwia wyboru). Wybray przedział ozaczmy przez I +1 a jego krace odpowiedio przez d +1 oraz g +1. Mamy wic (+1) a +1 I +1 = <d +1,g +1 > <d,g - >... <d 1,g 1 > < 0,1> g +1 d +1 < W te sposób zdefiiowalimy dwa cigi {d } N i {g } N elemetów przedziału < 0,1> o astpujcej własoci (**) N a I 0 d 1 d 2... d d g +1 g... g 2 g 1 1. Cig {d } N jest ograiczoy z góry p. przez 1. Wobec zasady cigłoci zbiór {d } N posiada kres góry. Istieje wic (c) sup{d } N. Zauwamy jedak, e ograiczeiem górym zbioru {d } N jest wobec (**) kady elemet zbioru {g } N. Zatem z (**) i defiicji supremum mamy (d) N d c g. czyli (e) N c I < 0,1>. Poiewa c < 0,1> = (1) = {a } N, to (f) k N c = a k. czyli wobec (**) c = a k I k a to przeczy (e). Uzyskaa sprzeczo jest kosekwecj przypuszczeia (1). Tak wic < 0,1> jest ieprzeliczaly. Wiosek Zbiór liczb rzeczywistych jako adzbiór zbioru ieprzeliczalego jest ieprzeliczaly. Twierdzeie 3.3 Kady iezdegeeroway przedział a prostej jest zbiorem ieprzeliczalym. Niech P bdzie przedziałem iezdegeerowaym w R. Istiej wówczas liczby a,b R takie, e a < b i oczywicie <a, b> P. Łatwo sprawdzi, ze fukcja f: <0, 1> <a, b> okreloa wzorem x <0, 1> f(x) (b-a)x + a jest odwzorowaiem wzajemie jedozaczym, wic <a, b> jest ieprzeliczaly i w efekcie P jako adzbiór zbioru ieprzeliczalego te jest ieprzeliczaly.