Matematyczne podstawy kognitywistyki

Transkrypt

1 Matematycze podstawy kogitywistyki Jerzy Pogoowski Zakªad Logiki i Kogitywistyki UAM pogo@amu.edu.pl Struktury ró»iczkowe Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 1 / 2

2 Wst p Ró»iczkowaie Poj cie pocodej (fukcji rzeczywistej jedej zmieej) fukcjouje w matematyce od prawie czterystu lat i w krajac cywilizowayc jest omawiae w edukacji szkolej. Przy jego pomocy ustala mo»a p. szybko± zmia wielko±ci zale»ej od iej wielko±ci, ekstremale warto±ci przyjmowae przez fukcj opisuj c bada zale»o±, itp. Pocoda fukcji w daym pukcie to poj cie dotycz ce lokalyc wªaso±ci fukcji tego, w jaki sposób zmieiaj si warto±ci fukcji dla argumetów z dowolie maªego otoczeia wybraego puktu. Zajdowaie pocodyc fukcji czyli ic ró»iczkowaie jest procedur iezbyt skomplikowa. Aby si z i oswoi wystarcza dobre rozumieie poj cia graicy, omówioego a poprzedim wykªadzie. Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 2 / 2

3 Pocoda fukcji jedej zmieej Deicja Iloraz ró»icowy Zaªó»my,»e fukcja f o warto±ciac rzeczywistyc jest okre±loa w pewym otoczeiu puktu x, czyli w pewym przedziale otwartym (x a, x + a), gdzie a >. Niec < < a. Ilorazem ró»icowym fukcji f w pukcie x dla przyrostu zmieej iezale»ej azywamy liczb : f (x +) f (x). Powszecie u»ywa si te» ast puj cyc ozacze«oraz termiologii dla fukcji y = f (x): 1 Liczb, czyli przyrost zmieej iezale»ej ozacza si przez x. 2 Liczb f (x + ) f (x ), czyli przyrost zmieej zale»ej ozacza si przez y. 3 Przy tyc ozaczeiac iloraz ró»icowy ma posta : y = f (x + x) f (x). x x Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 3 / 2

4 Pocoda fukcji jedej zmieej Deicja Pocoda fukcji w pukcie Iloraz ró»icowy f (x +) f (x) fukcji f (x) w pukcie x dla przyrostu ma prost iterpretacj geometrycz : jest rówy tagesowi acyleia sieczej do krzywej y = f (x) w puktac (x, f (x )) oraz (x +, f (x + )). Je±li fukcja f jest okre±loa w pewym otoczeiu puktu x oraz f (x+) f (x) istieje graica ilorazu ró»icowego: lim, to t graic azywamy pocod fukcji f w pukcie x i ozaczamy przez f (x ). Je»eli istieje pocoda fukcji f w pukcie x, to mówimy,»e f jest ró»iczkowala w pukcie x. Dla pocodej fukcji y = f (x) u»ywa si tak»e ast puj cyc ozacze«: dy, df, przy czym symbole te ale»y traktowa jako caªo±ci, dx dx a ie jako iloraz (dwóc iesko«czeie maªyc wielko±ci). Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 4 / 2

5 Pocoda fukcji jedej zmieej Iterpretacje Iterpretacja geometrycza Iloraz ró»icowy f (x +) f (x) fukcji f (x) w pukcie x dla przyrostu jest rówy tagesowi acyleia sieczej do krzywej y = f (x) w puktac (x, f (x )) oraz (x +, f (x + )). Gdy d»y do, to pukt (x +, f (x + )) przybli»a si do puktu (x, f (x )). Tak wi c, w tym przypadku graicza siecza jest stycz do krzywej y = f (x) w pukcie (x, f (x )). Je»eli fukcja f ma pocod w pukcie x, to stycz do krzywej y = f (x) w pukcie (x, f (x )) jest prosta o wspóªczyiku kierukowym f (x ), przecodz ca przez pukt (x, f (x )). Rówaiem styczej do krzywej y = f (x) w pukcie (x, f (x )) (ró»iczkowalej w pukcie x ) jest: y = f (x ) (x x ) + f (x ). Rówaiem ormalej do krzywej y = f (x) w pukcie (x, f (x )) jest (przy zaªo»eiu,»e f (x ) < ): y = 1 f (x) (x x ) + f (x ). Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 5 / 2

6 Pocoda fukcji jedej zmieej Iterpretacje Iterpretacja mecaicza Wyobra¹my sobie pukt poruszaj cy si po osi liczbowej R w te sposób,»e w cwili t jego poªo»eie okre±la fukcja x(t). Rozwa»ymy dwa przypadki. Poªo»eie jest liiow fukcj czasu: x(t) = v t + w. Wtedy przyrostowi czasu = t odpowiada przyrost drogi: x = x(t + t ) x(t ) = v (t + t ) + w v t w = v. Stosuek przyrostu drogi do przyrostu czasu jest wtedy rówy: x = v, czyli jest wielko±ci staª. t = x(t+t ) x(t) = v Wtedy stosuek te azywamy pr dko±ci rucu puktu. Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 6 / 2

7 Pocoda fukcji jedej zmieej Iterpretacje Iterpretacja mecaicza Poªo»eie jest dowol fukcj czasu. Przypu± my z kolei,»e x(t) jest caªkiem dowol fukcj czasu. Nie ma wtedy»adego powodu, aby iloraz ró»icowy x = x(t +) x(t) fukcji x(t) w pukcie t t dla przyrostu byª wielko±ci staª, albowiem mo»e o istotie zale»e od przyrostu t =. Warto± tego ilorazu azywamy ±redi pr dko±ci w pukcie (cwili) t dla przyrostu t. Rozwa»eie mo»liwo±ci przej±cia do graicy ±rediej pr dko±ci przy przyro±cie t d» cym do zera (przy zaªo»eiu,»e graica ta istieje) byªo jedym z przeªomowyc mometów w zyce. Graica ta (o ile istieje) zale»y tylko od t i jest rówa pocodej fukcji x (zale»ej od czasu t) w pukcie t. Nazywamy j pr dko±ci cwilow w cwili t i zwykle ozaczamy przez v(t ). Mamy zatem: v(t ) = x x (t ) = lim. t t Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 7 / 2

8 Pocoda fukcji jedej zmieej Przykªady Fukcja f (x) = x. Poka»emy,»e f (x ) = x 1 dla wszystkic x R oraz 1. (x +) = ( ) k x k k = ( ) x + ( ) 1 x 1 + ( 2 k= f (x+) f (x) = ( )x +( 1)x 1 +( 2)x ( ) x = lim 1 ) x ( = 1 (( ) 1 x 1 + ( ) 2 x ( ) ) = = ( ) 1 x 1 + ( ) 2 x ( ) 1 ( ( ) x 1 + ( ) 2 x ( ) 1 ) = ( ) 1 x 1 = x 1. ) Fukcja f (x) = x. Niec x >. Poka»emy,»e f (x ) = 1 f (x+) f (x) = x+ x = (x +) x f 1 (x ) = lim x++ = 1 x 2 x. ( x++ x) = 1 x++ x 2 x. Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 8 / 2

9 Pocoda fukcji jedej zmieej Przykªady Fukcja f (x) = si x. Poka»emy,»e f (x ) = cos x. Zakªadamy,»e si x podczas wicze«sªucacze ustalili,»e lim = 1. x x f (x+) f (x) = si(x +) si x = 2 si x+ x 2 cos x ++x 2 si lim = cos(x + 1 ), a wi c 2 2 si cos(x + 1 ) = 1 lim cos(x ) = cos x. Fukcja f (x) = cos x. Poka»emy,»e f (x ) = si x. f (x+) f (x) = cos(x +) cos x = 1 ( 2) si x ++x si x + x 2 = 1 ( 2) si 2x + si 2 2 = = si(x + 2 ) si 2, a zatem lim ( si(x + 2 ) si = ) = lim si(x + 2 ) 1 = si x. Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 9 / 2

10 Pocoda fukcji jedej zmieej Przykªady Niec f (x) = x. Poka»emy,»e ie istieje f (). Gdy x <, to f (x ) = 1, poiewa»: f (x+) f (x) x+ x lim = lim Gdy x >, to f (x ) = 1, poiewa»: lim f (x+) f (x) = lim x+ x = lim = lim (x+)+x (x+) x = 1 = 1 1 Dla x = mamy: f (x+) f (x) f () f () 2 lim = lim = = 1 f (x+) f (x) f () f () 3 lim = lim = = Poiewa» graice: lewostroa i prawostroa ilorazu ró»icowego w pukcie x = s ró»e, wi c ie istieje graica tego ilorazu przy, czyli ie istieje f (). Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 1 / 2

11 Reguªy obliczaia pocodyc Fakty o pocodyc Zaªó»my,»e fukcje f i g s okre±loe w pewym otoczeiu puktu x oraz»e s ró»iczkowale w tym pukcie. Wtedy ró»iczkowale w tym pukcie s rówie» fukcje: f + g, f g, f g, c f (dla c R). Zacodz wzory: (f + g) (x ) = f (x ) + g (x ), (f g) (x ) = f (x ) g (x ) (f g) (x ) = f (x ) g(x ) + f (x ) g (x ), (c f ) (x ) = c f (x ). Poadto, je±li g (x ), to fukcja f rówie» jest ró»iczkowala w g pukcie x oraz: ( f ) (x g ) = f (x) g(x) f (x) g (x) (g(x)) 2. W szczególo±ci, przy tyc zaªo»eiac: ( 1 ) (x g ) = g (x) (g(x)) 2. Zaªó»my,»e fukcja g jest ró»iczkowala w pukcie x, atomiast fukcja f jest ró»iczkowala w pukcie u = g(x ). Wtedy fukcja zªo»oa f g jest ró»iczkowala w pukcie x oraz zacodzi: (f g) (x ) = f (g(x )) g (x ). Je±li (f g)(x) = f (g(x)), to f azywamy fukcj zew trz zªo»eia f g, za± g fukcj wew trz tego zªo»eia. Je±li stosujemy zapis: y = f (u), u = g(x), to w otacji Leibiza piszemy: dy dx = dy du du dx. Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 11 / 2

12 Reguªy obliczaia pocodyc Fakty o pocodyc Dla przykªadu, udowodimy»e: (f g) (x ) = f (x ) g(x ) + f (x ) g (x ). Zauwa»my ajpierw,»e: je±li g jest ró»iczkowala w pukcie x, to g jest ci gªa w pukcie x, czyli lim g(x + ) = g(x ). Mamy: (f g)(x+) (f g)(x) lim = f (x+) g(x+) f (x) g(x+)+f (x) g(x+) f (x) g(x) lim = lim ( f (x +) f (x) g(x + ) + f (x ) g(x +) g(x) ) = lim ( f (x +) f (x) g(x + )) + lim (f (x ) g(x +) g(x) ) = f (x+) f (x) g(x+) g(x) lim lim g(x + ) + f (x ) lim ) = f (x ) g(x ) + f (x ) g (x ). Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 12 / 2

13 Reguªy obliczaia pocodyc Fakty o pocodyc Przykªad: pocoda fukcji zªo»oej. Obliczymy pocod fukcji f (x) = x w pukcie x = 1. Fukcja f jest zªo»eiem fukcji g(x) = x oraz (x) = x 4 + 1: f (x) = (g )(x) = g((x)) = g(x 4 + 1) = x Mamy: g (x) = 2 x 1 oraz (x) = 4 x 3. Tak wi c: f (x) = (g ) (x) = g ((x)) 1 (x) = 2 (x) 4 x 3 = 2 x Dla x = 1 mamy: f (1) = = 2 2 = 2. 3 x Przykªad: pocoda ilorazu. Wiemy ju»,»e (si x) = cos x oraz (cos x) = si x. Mamy poadto: 1 Dla x π + π ( Z): (tg x) = ( si x ) = 1 2 cos x 2 Dla x π ( Z): (ctg x) = ( cos x ) = 1 si x cos 2 x si 2 x.. Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 13 / 2

14 Reguªy obliczaia pocodyc Fakty o pocodyc Przykªad: pocoda fukcji wykªadiczej. Z poprzediego wykªadu wiemy,»e fukcja wykªadicza jest ci gªa w ka»dym pukcie. Dowodzi si,»e lim x ax a = 1 oraz»e lim x 1 = l a dla a >. x x Niec f (x) = a x, gdzie a >. Wtedy f (x ) = a x l a, poiewa»: a lim x + a x = a x a lim 1 = a x l a. Zaªó»my,»e f jest ci gªa i mootoicza w pewym otoczeiu puktu x oraz ró»iczkowala w x. Niec poadto f (x ). Wtedy fukcja f 1 odwrota do fukcji f rówie» jest ró»iczkowala w pukcie y = f (x ) oraz zacodzi: (f 1 ) (x ) = 1 f (x). Przykªad. Niec f (x) = log a x, gdzie x >, a >, a 1. Poiewa» fukcja logarytmicza log a x jest fukcj odwrot do fukcji wykªadiczej a x, wi c: (log a x) = 1 (a x ) = 1 x l. W szczególo±ci: a (l x) = 1. x Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 14 / 2

15 Reguªy obliczaia pocodyc Wzory do zapami taia Zalecamy sªucaczom zapami taie poi»szyc wzorów: (x ) = x 1 ( 1 x ) = x +1 ( x) = 2 x 1 (si x) = cos x ( 1 ) = 1 x x 2 (cos x) = si x (tg x) = 1 cos 2 (ctg x) = 1 x si 2 x (a x ) = a x l a (e x ) = e x (log a x) = 1 (l x) = 1 x l a x Ze wzgl du a usªugowy jedyie carakter tego kursu, ie podajemy wyprowadze«dalszyc wzorów a pocode cz sto u»ywayc fukcji. Zaiteresowai sªucacze mog poszuka ic w literaturze zalecaej w sylabusie lub mog zmierzy si z samodzielym ic wyprowadzeiem. Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 15 / 2

16 Pocode wy»szyc rz dów Deicja Zaªó»my,»e fukcja f jest okre±loa i ró»iczkowala w pewym otoczeiu puktu x. Je»eli jej pocoda f ma pocod w pukcie x, to t pocod azywa si drug pocod (pocod drugiego rz du) fukcji f w pukcie x i ozacza przez f (x ). Ie ozaczeie to: d2 f dx 2 (x ). Przyjmuj c,»e pocoda rz du zerowego fukcji f to sama fukcja f, mo»a posªuguj c si deiowaiem przez idukcj okre±li pocode -tego rz du w sposób ast puj cy: Zaªó»my,»e fukcja f jest okre±loa i ma pocod f ( 1) rz du 1 (gdzie 1) w pewym otoczeiu puktu x. Je»eli fukcja f ( 1) ma pocod w pukcie x, to azywamy j -t pocod (pocod rz du ) fukcji f w pukcie x i ozaczamy przez f () (x ). Ie ozaczeie: d f dx (x ). Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 16 / 2

17 Pocode wy»szyc rz dów Przykªady Pocoda wielomiau. Niec p. f (x) = 7 x x 2 4 x Mamy wtedy kolejo: f (x) = 21 x x 4, f (x) = 42 x + 1 f (3) (x) = 42, f (4) (x) = = f () (x) dla wszystkic 4. Sius i cosius. Wiemy ju»,»e (si x) = cos x oraz (cos x) = si x. Mamy zatem: 1 (si x) = (cos x) = si x 2 (cos x) = ( si x) = cos x Spadek swobody puktu materialego pod wpªywem przyspieszeia ziemskiego g. Droga przebyta przez te pukt w czasie t wyra»a si wzorem f (t) = 1 2 g t2. Pr dko± spadaia (czyli pocoda tej fukcji) wyzaczoa jest zatem wzorem v(t) = f (t) = g t. Zmiaa tej pr dko±ci w czasie, czyli przyspieszeie jest pocod pr dko±ci spadaia, a wi c drug pocod drogi przebytej w daym czasie: a(t) = v (t) = f (t). Z racuku wyika,»e a(t) = (g t) = g, czyli to przyspieszeie jest staªe. Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 17 / 2

18 Pocode wy»szyc rz dów Pocode wy»szyc rz dów a dziaªaia a fukcjac Wzór Leibiza Zaªó»my,»e fukcje f oraz g s okre±loe w pewym otoczeiu puktu x i maj sko«czoe pocode f () (x ) i g () (x ). Wtedy fukcje f + g, f g, c f (dla c R) rówie» maj sko«czoe pocode w pukcie x oraz: (f + g) () (x ) = f () (x ) + g () (x ) (f g) () (x ) = f () (x ) g () (x ) (c f ) () (x ) = c f () (x ). Wzór Leibiza. Zaªó»my,»e fukcje f oraz g s okre±loe w pewym otoczeiu puktu x i maj sko«czoe pocode f () (x ) i g () (x ). Wtedy fukcja f g rówie» ma sko«czo pocod w pukcie x oraz: (f g) () (x ) = k= ( k) f ( k) (x ) g (k) (x ). Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 18 / 2

19 Zac ta do reeksji My±l przekorie! Jak rozumiesz stwierdzeie: stopa bezrobocia ro±ie coraz szybciej? Jaki jest ses zyczy wy»szyc pocodyc (p. dla fukcji opisuj cej zale»o± przebytej drogi od czasu)? Czy potramy zwerbalizowa (po polsku, agielsku, japo«sku, kaszubsku, itd.) jaki jest ses zyczy p. siódmej pocodej fukcji opisuj cej (jak ± wielce skomplikowa ) zale»o± przebytej drogi od czasu? Czy do mówieia o ró»iczkowalo±ci fukcji koiecze jest zaªo»eie aksjomatu ci gªo±ci? Wspomiao,»e istiej fukcje, które ie maj pocodej w»adym pukcie. Jak wygl da wykres takiej fukcji? Czy ró»iczkowaie jest procesem algorytmiczym? Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 19 / 2

20 Podsumowaie Co musisz ZZZ Pocoda fukcji w pukcie. Pocoda fukcji. Reguªy obliczaia pocodyc: pocoda fukcji zªo»oej, pocoda fukcji odwrotej, pocoda iloczyu i ilorazu fukcji. Pocode wy»szyc rz dów. Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 2 / 2