Rysunek 1: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone liniami kropkowanymi, a strzałki przerywanymi

Transkrypt

1

2 Aaliza fal złożoych Autorzy: Zbigiew Kąkol, Bartek Wiedlocha Przyjrzyjmy się drgaiu poprzeczemu struy. Jeżeli strua zamocowaa a obu końcach zostaie ajpierw wygięta, a astępie puszczoa, to wzdłuż struy rozchodzą się drgaia poprzecze. Zaburzeia te odbijają się od zamocowaych końców i w wyiku iterferecji powstaje fala stojąca. Zwróćmy uwagę, że drgaia struy wytwarzają w otaczającym struę powietrzu dźwiękowe fale podłuże (fale akustycze). Poieważ jedyym warukiem, jaki musi być spełioy, jest ieruchomość obu końców struy, czyli istieie węzłów fali stojącej a tych końcach, to mogą powstać w tej struie fale stojące o różej długości. Pierwsze trzy rodzaje drgań jakie powstają w struie o długości L zamocowaej a końcach zostały pokazae a Rys. 1. Rysuek 1: Fale stojące dla struy zamocowaej a obu końcach; węzły są zazaczoe liiami kropkowaymi, a strzałki przerywaymi Widzimy, że dla kolejych drgań L = 1 λ,,. Możemy więc zapisać ogóly związek a długość fali powstającej 2 1 L = λ 2 L = 3 λ 2 3 w struie λ = (1) gdzie = 1, 2, 3,... Korzystając z tego, że prędkość fali v = λ/t = λf oraz z rówaia Prędkość fal i rówaie falowe-( 7 ) a prędkość fali harmoiczej rozchodzącej się wzdłuż aprężoego szura (struy) możemy obliczyć częstotliwość fal stojących w struie f = v = F μ (2) Najiższą częstość azywamy częstością podstawową, a pozostałe wyższymi harmoiczymi czyli alikwotami. Zazwyczaj w drgaiach występują, oprócz drgaia podstawowego, rówież drgaia harmoicze, a dźwięki jakie odbieramy są wyikiem akładaia się tych drgań. O jakości istrumetu (jego barwie) decyduje właśie to ile alikwotów jest zawarte w dźwięku i jakie są ich atężeia. Przykładowo, drgaie wypadkowe struy będące złożeiem tou podstawowego ( = 1) i wyższych harmoiczych ( = 3, 5, 7) o różych amplitudach jest pokazae a Rys. 2.

3 Rysuek 2: Fala wypadkowa będąca złożeiem czterech fal harmoiczych. Zwróćmy uwagę, że wypadkowe drgaie (chociaż okresowe) ie jest harmoicze (ie daje się opisać fukcją sius lub cosius). Zagadieie przedstawieia dowolego drgaia okresowego jako sumy drgań harmoiczych ujmuje twierdzeie Fouriera, które mówi, że DEFINICJA Defiicja 1: Dowole drgaie okresowe o okresie T możemy przedstawić jako kombiację liiową (sumę) drgań harmoiczych o okresach daych wzorem T = T/, gdzie jest liczbą aturalą. Dotyczy to dowolej fukcji okresowej więc moża a przykład skostruować za pomocą fal siusoidalych (które są wszędzie zakrzywioe) przebieg piłokształty, który jest złożoy z odcików prostych. Rysuek 3: Złożeie = 10 drgań harmoiczych postaci si(ωt)/ (wykres góry) oraz pięć pierwszych drgań składowych (wykres doly) ZADANIE

4 Zadaie 1: Piszczałka orgaowa Treść zadaia: Iym przykładem jest piszczałka orgaowa zamkięta, w której źródłem dźwięku jest drgające powietrze. Jeżeli a krawędź otwartego końca piszczałki skierujemy strumień powietrza to moża w iej wytworzyć falę stojącą. Na otwartym końcu piszczałki powstaje strzałka, a a jej końcu zamkiętym węzeł. Spróbuj wykreślić, drgaie podstawowe i trzy pierwsze drgaia harmoicze jakie powstają w piszczałce zamkiętej. Przyjmując, że długość piszczałki wyosi L, oblicz długości tych fal. Jaki ogóly związek opisuje długości fal stojących w piszczałce zamkiętej? ROZWIĄZANIE: Dae: L długość piszczałki. Na Rys. 4 pokazae są: drgaie podstawowe i trzy pierwsze drgaia harmoicze jakie powstają w piszczałce zamkiętej. Jedyym warukiem, jaki musi być spełioy, jest istieie strzałki a otwartym końcu piszczałki i węzła a jej końcu zamkiętym. Rysuek 4: Drgaia podstawowe i drgaia harmoicze w piszczałce Na podstawie pokazaych a rysuku czterech drgań możemy apisać ogóly związek a długość fali powstającej w piszczałce zamkiętej λ = 4L 2 1 (3) gdzie = 1, 2, 3,...

5 Publikacja udostępioa jest a licecji Creative Commos Uzaie autorstwa - Na tych samych warukach 3.0 Polska. Pewe prawa zastrzeżoe a rzecz autorów i Akademii Góriczo-Huticzej. Zezwala się a dowole wykorzystaie treści publikacji pod warukiem wskazaia autorów i Akademii Góriczo-Huticzej jako autorów oraz podaia iformacji o licecji tak długo, jak tylko a utwory zależe będzie udzielaa taka sama licecja. Peły tekst licecji dostępy a stroie Czas geeracji dokumetu: :57:05 Orygialy dokumet dostępy pod adresem: lik=1dcacefeca2b59f887b2f8a4b40fb1f6 Autor: Zbigiew Kąkol, Bartek Wiedlocha