Numeryczny opis zjawiska zaniku

Transkrypt

1 FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej wielkości, są proporcjoale ze zakiem mius do samej tej wielkości. Możemy to sformułować astępująco ie dbając a razie o precyzję. Przypuśćmy, że upłyął dostateczie krótki przedział czasu. ielkość zmieiła się o małe. Zapiszemy to: c, gdzie c jest stałą, charakterystyczą dla omawiaego procesu. Przypomijmy kilka ogólie zaych przykładów. Przykład Ruch ciała o masie m pod wpływem siły oporu, proporcjoalej do prędkości (rys. ): F b, () gdzie b jest stałą. Rówaie ruchu ma postać: Przyspieszeie a to w przybliżeiu: Zbierając wzory () (4) otrzymujemy: Dostaliśmy więc rówaie o postaci : () F ma. (3) a. (4) t b m. (5) t b m. Rys.. Siła oporu Przykład Rozładowaie kodesatora o pojemości C przez opór R (rys. ). Dla takiego obwodu apięcie a kodesatorze jest rówe (6)

2 8 FOTON 8, iosa 05 V C Q ; (7) C gdzie Q ozacza ładuek. Napięcie to jest rówe apięciu a oporze, czyli RI: Przypomijmy, że VC RI. (8) Q I. (9) t Zak mius bierze się stąd, że atężeie prądu w obwodzie jest dodatie, kiedy Q a kodesatorze maleje. Z wzorów (7) (9) wyika rówaie: czyli Q Q R, (0) C t Q Q. () RC Przykład 3 Rozpad promieiotwórczy. Prawdopodobieństwo rozpadu jądra ietrwałego pierwiastka jest stałe. Ozaczmy liczbę jąder symbolem N. ciągu krótkiego czasu liczba jąder zmieia się o ielkość λ azywamy stałą rozpadu. Z () wyika To tylko parę przykładów. N N t. () N N. Rys.. Obwód RC (3) Dla rozpadu promieiotwórczego wprowadza się jeszcze jedą stałą charakterystyczą: okres połowiczego zaiku T /. Jest to czas, w którym liczba jąder N maleje dwukrotie. Rozwiązaie ścisłe Jeżeli zamy rachuek różiczkowy, rozumujemy astępująco: przechodzimy we wzorze () do graicy dla 0. tedy po lewej pojawi się pochoda (t), wzięta w chwili t, a po prawej samo (t), wzięte w chwili t: d () t a () t (4) dt

3 FOTON 8, iosa 05 9 Mamy więc do czyieia z rówaiem różiczkowym, które omawia się w elemetarym kursie aalizy matematyczej. iadomo, że rozwiązaie tego rówaia ma postać (co łatwo sprawdzić przez podstawieie): ct t e (5) 0, gdzie 0 określa początkową wartość wielkości. Możemy więc azwać (4) rówaiem zaiku wykładiczego. Korzystając ze wzoru (5) moża od razu obliczyć czas T /, po którym wartość wielkości (t) maleje dwukrotie: T ( /) at/ l e e (6) rócimy do tej sprawy w końcowej części artykułu. 0 T / l 0,6935. (7) a a Opis umeryczy Co jedak zrobić, jeżeli asi ucziowie czy słuchacze ie zają aalizy matematyczej? tedy problem moża rozwiązać w sposób przybliżoy, posługując się prostym rachukiem umeryczym. opisie umeryczym rozumujemy astępująco: przyjmujemy a osi czasu siatkę puktów t odległych o. Ozacza to: t t, (8) t t. (9) Przedział czasu powiie być dostateczie krótki, aby w trakcie jego trwaia astąpiła mała zmiaa wielkości : To wyrażeie podstawimy po lewej stroie wzoru ().. (0) Co jedak podstawić po stroie prawej? Najprościej powiedzieć: w czasie wielkość mało się zmieia. miejsce podstawmy więc jego wielkość z początku przedziału, czyli. Dostaiemy wtedy rówaie: Obliczmy stąd + : c. () c t ()

4 30 FOTON 8, iosa 05 ( c t). (3) yrażeie to może być podstawą rachuku umeryczego: 0 ( c t) (4) ( c t) ( c t)( c t) 0 ( c t) (5) ( c t). (6) yiki obliczeń dla c = i = 0, przedstawioo a rys. 3. Nasze obliczeia umerycze za pomocą programu Ecel (Rozpad * ) dają spadek ieco zbyt szybki. Nie powio as to dziwić, bo we wzorze () wzięliśmy wielkość z początku przedziału, czyli ieco za dużą. 0 Rys. 3. yik obliczeń umeryczych Dyskusja Przedyskutujmy uzyskay wyik.. Po pierwsze wykazaliśmy, że (t) jest zależością wykładiczą. Jest to fukcja malejąca, bo dla małych wartości iloczyu c zawartość awiasu we wzorze (6) jest liczbą dodatią, miejszą od jedości. Jest to wiosek jakościowy, zgody ze wzorem (5).. Możemy także zastaowić się, jak dobry jest ilościowy opis aszego problemu. Ścisłe wyrażeie (5) dla czasów t = przyjmuje wartości: 0 0 c( t) c t e ( e ). (7) * wersji iteretowej.

5 FOTON 8, iosa 05 3 Porówując wzory (6) i (7), możemy więc zapytać, kiedy c dobrze przybliża ścisłą wartość e c? Moża to wywioskować z poiższej tabeli i rys. 4. Przy okazji zauważmy, że rozkład fukcji e a szereg Taylora ma postać 3 e... (8) 6 Przybliżeia fukcji e / / e 0 0, 0,9 0, , , 0,8 0,888 0,8873 0,3 0,7 0,7393 0,7408 0,4 0,6 0, ,6703 0,5 0,5 0,6 0, ,6 0,4 0, ,5488 0,7 0,3 0,4848 0, ,8 0, 0,4857 0, ,9 0, 0,3793 0, , ,36788 Rys. 4. Porówaie fukcji: e, i Zatem asze obliczeia są rówoważe przybliżeiu e z dokładością do pierwszego wyrazu rozwiięcia. yika stąd dalej, że jeżeli chce się uzyskać dobry opis ilościowy, ależy tak dobrać, aby c było małe.

6 3 FOTON 8, iosa 05 Opis umeryczy Zaczie lepszą dokładość obliczeń moża uzyskać, jeżeli użyje się pewego triku: za po prawej stroie rówaia () wstawiamy średią arytmetyczą i w zasadzie jeszcze iezae + : Rówaie () przybiera wtedy postać: Przekształćmy je:. (9) c. (30) c t c t (3) c c t (3) c c t. (33) Rozumując podobie jak w poprzedim paragrafie zajdziemy wyrażeie a : c 0 c. (34) Dyskusja Przedyskutujmy uzyskay wyik.. Po pierwsze poowie stwierdzamy, że (t) jest zależością wykładiczą. Jest to fukcja malejąca, bo dla małych wartości iloczyu c wartość awiasu we wzorze (34) jest liczbą dodatią, miejszą od jedości.. Po drugie stosując wzór (34) moża łatwiej uzyskać dobry ilościowy opis zjawisk, iż za pomocą wzoru (6). Fukcja f( ) (35) jest lepszym przybliżeiem e iż. Przedstawia to tabela i rys. 4. Przybliżeie to staje się zrozumiałe, jeżeli bierze się pod uwagę rozkłady fukcji a szeregi potęgowe: 3 e... (36) 6 f ( ) (37)

7 FOTON 8, iosa Trzy pierwsze wyrazy szeregów są jedakowe, różica pojawia się dopiero przy człoie 3. Przykład Zastosujmy powyższe rozważaia do rozpadu promieiotwórczego, opisaego wzorem (5). zór (3) ma dla drugiego opisu umeryczego postać (zmodyfikoway wzór (30)): Odpowiada mu rozwiązaie (wzór 36): N N N N. (38) N N 0. (39) Rysuek 5 przedstawia wyiki obliczeń dla dowolie wybraego = 0, s i trzech wartości stałej rozpadu λ rówych 0,5, i. Rys. 5. Zależość liczby jąder od czasu dla trzech wartości stałej rozpadu λ. fizyce jądrowej okresem połowiczego zaiku T / azywamy czas, po którym liczba rozpadających się jąder N spada do połowy. a. Zauważamy, że dla λ rówych 0,5, i czasy połowiczego zaiku w przybliżeiu są rówe odpowiedio,4 s; 0,7 s i 0,35 s. Obliczeia umerycze zawarte są w ecelowskim pliku Rozpad.

8 34 FOTON 8, iosa 05 b. Na tej podstawie wioskujemy, że okres połowiczego zaiku jest odwrotie proporcjoaly do stałej rozpadu λ. Zachodzi przybliżoa zależość (porówaj wzór (7); c trzeba zmieić a λ): T 0,7 / s. (40). Aby dokładiej wyzaczyć wartość liczika we wzorze (5) warto w obliczeiach dziesięciokrotie zmiejszyć do 0,0 s i sporządzić dla λ = wykres zależości N/N 0 od czasu dla takich t, dla których N/N 0 jest bliskie 0,5. Przedstawia to rys. 6. Dla λ = wartość T / 0,693 (porówaj wzór 7). idać, że asze proste obliczeia umerycze pozwoliły uzyskać zupełie dobrą dokładość ilościową. Rys. 6. Dokładiejsze wyzaczaie okresu połowiczego zaiku