Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.

Transkrypt

1 Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e dla a = a <, mamy c a = = a > 0 a Korzystaj c z tego rachuku, i z twierdzeia 43 dostajemy atychmiast,»e dla 0 < a < : a = 0 dla 0 < a < 5 Wreszcie, z wzoru powy»ej wyika,»e dla dowolego ε > 0 i dla dostateczie du»ych mamy a < ε wi c tak»e a = a = a < ε Ozacza to,»e dla 0 < a < tak»e a = 0 To»samo± prawdziwa dla wszystkich a z przedziaªu, a = 0 jest wi c Niech a > Obliczaj c pierwiastek + stopia z ierówo±ci a < a + dostajemy,»e + a < a, ci g a jest wi c ci giem malej cym Jest o tak»e ci giem ograiczoym dla ka»dego mamy a > sk d wioskujemy,»e ci g o wyrazie ogólym a jest zbie»y i a Przypu± my hipoteza robocza,»e graica tego ci gu jest liczb wi ksz od, czyli a = + h, h > 0 Dla dostateczie du»ych mamy wi c a > + h Podosz c t ierówo± do tej pot gi dostajemy,»e dla dostateczie du»ych : a > + h + h Nie jest to mo»liwe, gdy» liczba po prawej stroie ierówo±ci jest dla dostateczie du»ego wi ksza od dowolej liczby rzeczywistej, w szczególo±ci wi ksza od a ci g h jest rozbie»y do + Uzyskaa sprzeczo± dowodzi,»e asza hipoteza robocza byªa faªszywa a wi c h = 0 i a = 53

2 Przypu± my teraz,»e 0 < a < sk d a > Na mocy twierdzeia 33,pukt 4 i wªaso±ci pierwiastka: a = = = = Rówo± a a = zachodzi wi c dla dowolego a > 0 Bezpo±redim rachukiem mo» c koleje wyrazy sprawdzamy to»samo± sk d q + q + q + + q = q + a + q + q + + q = q+ q Pokazali±my powy»ej,»e dla q < mamy q = 0, a wi c tak»e St d, dla q < : q+ = q q = q q = 0 + q + q + + q = q + = q q Def 5 Mówimy,»e ci g a jest ci giem Cauchy'ego, gdy dla dowolego ε > 0 istieje taka liczba N,»e dla, > N mamy a a < ε Tw 5 Ci g a jest zbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy jest ci giem Cauchy'ego Dowód Wyka»emy jedyie,»e ka»dy ci g zbie»y jest ci giem Cauchy'ego dowód w drug stro, czyli dowód, i» ka»dy ci g Cauchy'ego jest zbie»y, pomiiemy Niech a = g Dla dowolego ε > 0 istieje wi c takie N,»e dla > N mamy a g < ε Niech teraz, > N, sk d a g < ε oraz a g < ε Poiewa» dla dowolych liczb rzeczywistych x, y mamy x y x + y, wi c a a = a g a g a g + a g < ε co dowodzi,»e a jest ci giem Cauchy'ego Kolejym przykªadem, który przedyskutujemy, b dzie wyzaczeie graicy ci gu o wyrazie ogólym + Korzystaj c z wzoru dwumieego Newtoa i jawego wyra»eia a symbol dwumiey

3 mamy + = = ! 3! 3! = ! 3!! i podobie + + = + + +! +! ! ! Koleje wyrazy sumy po prawej stroie wyra»eia a + s ie wi ksze od odpowiedich + wyrazów sumy po prawej stroie wyra»eia a + +,, <!! < 3! 3!! + <! co wi cej, prawa stroa wyra»eia a + +! Wioskujemy st d,»e dla > 0 zachodzi + + > +, +,, + ; zawiera dodatkowy, dodati wyraz + czyli ci g + jest ci giem ros cym Jest o tak»e ograiczoy od góry, mamy bowiem <, <, <, + sk d + < +! + 3! + +! Dalej! =, 3! = 3 > =,! >, 3

4 czyli! + 3! + +! < = = = + = + a st d + < + < 3 Na mocy twierdzeia 46 ci g + jest wi c ci giem zbie»ym Jego graic ozaczamy symbolem e : + = e Obliczmy a koiec: = = + = + = = + Poiewa» prosz to uzasadi! dla zbie»ego ci gu a mamy a = a, wi c + + = = = + + = e, + czyli = e 55 4

5 Przykªady obliczaia graic Šatwo jest pokaza,»e + = e Miaowicie, mo»emy wybra parzyste = m i apisa [ / ] [ m ] + = + = + m Je»eli d»y do iesko«czoo±ci to m tak»e, a wi c m m + = + + = e e = e m m m m Zauwa»my,»e ajbardziej ogóla wersja tej graicy dla x rzeczywistych to + x = e x 56 Z kolei poka»emy,»e Wyika to z rozpisaia wzoru a dwumia Newtoa: + = + + = 57 + ie dodatie wyrazy > + > Iymi sªowy a > czyli szuka graic jest plus iesko«czoo± gdy» pomociczy ci g o ogólym wyrazie te» d»y do plus iesko«czoo±ci Trzeci przykªad rówie» dotyczy obliczaia graicy z ciagu podobego do ci gu + / Miaowicie wyliczymy graic dla + Pomo»e am zów jak w przykªadzie powy»ej wzór a dwumia Newtoa: + = = + +! 4 + Widzimy od razu,»e drugi wyraz sumy jest rówy, trzeci wyraz jest ieco miejszy i», a pozostaªe s jeszcze miejsze dla du»ych -ów Je»eli zsumujemy powy»sze wyrazy od trzeciego a» do ko«ca razem - wyrazów a ka»dy jest miejszy i» to suma b dzie miejsza i» Je»eli tak to mo»emy apisa podwój ierówo± + + > + > + 5

6 Graica pomociczego szeregu z lewej stroy ierówo±ci o wyrazach + + to oczywi±cie jedyka Podobie graica pomociczego szeregu z prawej stroy ierówo±ci o wyrazach + to tak»e jedyka Na mocy twierdzeia 43 mamy ostateczie + = 58 6