SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n

Transkrypt

1 SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a a = a k. k= k= a k = a + a = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly (iymi słowy jest zbieży). Gdy ciąg s, s 2,... jest rozbieży, to mówimy, że szereg k= a k jest iesumowaly (lub ie jest sumowaly lub jest rozbieży). Szereg geometryczy k=0 q jest sumowaly gdy q < ; zaś jest rozbieży dla q : bo dla q = zachodzi k=0 aq = q+ q oraz szeregi k=0 oraz k=0 ( ) są rozbieże co sprawdzamy przy pomocy defiicji graicy. Ciag s, s 2,... azywamy ciągiem sum częściowych. Gdy położymy r = a + + a = to ciąg r, r 2,... azywamy ciągiem reszt. k=+ Twierdzeie. Jeśli szereg k= a k jest sumowaly, to r = 0. Uzasadieie. Skoro r = a k = s + a k, k=+ k= a k, to r = k= a k s = 0. Szereg 2 k= ( tzw. szereg harmoiczy) jest iesumowaly bo 2 + k = > 2.

2 Waruek Cauchye go. Szereg jest sumowaly gdy dla dowolej liczby ε > 0 moża dobrać liczbę aturalą k tak, aby ierówości m > > k pociągały a + a a m < ε. Szeregi harmoicze: Szereg harmoiczy α jest sumowaly gdy α > oraz jest rozbieży gdy α. Twierdzeie. Jeśli szeregi a oraz b są sumowale, to (a + b m ) = a + b ; ca = c a ; (a b ) = a b. Szereg aprzemiey to szereg postaci a a 2 + a 3... ( ) a +..., gdzie liczby a są ieujeme. Twierdzeie. Gdy a a 2... oraz a = 0, ( ) + a jest sumowaly. Przykładowo = ( ) + = l2. Twierdzeie Abela. (N. H. Abel ). Jeśli a a 2 a 3... oraz a = 0 przy czym ciąg {b + b b : =, 2,...} jest ograiczoy, ( ) (a b ) jest sumowaly. Kryterium porówawcze. Gdy stale zachodzi 0 b a, to sumowalość szeregu a pociąga sumowalość szeregu b ; zaś rozbieżośc szeregu b pociąga rozbieżość szeregu a. Szereg (+) jest sumowaly, bo ( + ) = ( 2 ) + ( 2 3 ) ( ) =. 2

3 Skoro stale mamy < 2 ( ), to szereg 2 jest sumowaly moża pokazać, że π2 = 6. Szereg 2 si tg sumowaly, bo stale zachodzi jest 0 si tg 2. Kryterium d Alemberta ( ecyklopedysta). Niech a, a 2,... będzie ciągiem liczb. Gdy a + a <, a jest sumowaly; zaś gdy a + a >, a jest iesumowaly. Kryterium Cauche go. Niech a, a 2,... będzie ciągiem liczb. Gdy a jest sumowaly; zaś gdy a <, a >, a jest iesumowaly. Uwaga: Kryteria d Alemberta lub Cauchye go iczego ie mówią gdy licze w ich graice wyoszą. Szereg c! jest sumowaly, bo c +! ( + )! c = c + = 0. Zaś szereg! jest iesumowaly. Także szereg! 00 bo ( + )! ( ) ( + ) +! = = + e. jest sumowaly, 3

4 Dla szeregu p c mamy ( + ) p c c + = p c. Wioskujemy, że gdy p jest liczbą całkowitą, to dla c > szereg jest sumowaly; zaś dla 0 < c < jest iesumowaly. Mamy Zbadajmy sumowalość szeregu 2 ( ) x 2. x 2+ ( ) + (2 ) x 2 ( ) (2 + ) = x2. Wioskujemy stąd, że jest to szereg sumowaly, o ile x < ; gdy x >, to szereg te jest iesumowaly. Gdy x =, to dostajemy dwa szeregi aprzemiee ( ) 2 ( ) + 2, które są sumowale. Gdy rozważymy szereg (x ) +, to mamy 2 (x ) + 2 ( + ) 2 (x ) = x, Wioskujemy, że dla < x < jest to szereg sumowaly. Jedocześie sprawdzamy, że dla x = dostajemy szereg porówywaly z szeregiem harmoiczym 2, a więc szereg te jest sumowaly dla x. Kryterium Kummera. Szereg a jest sumowaly gdy istieje ciąg liczb dodatich b, b 2,... taki, że Kryterium Raabego. Gdy (b a jest sumowaly. Gdy a a + b +) > 0. ( a ) >, a + ( a ) <, a + 4

5 a jest iesumowaly. Szereg ( ) jest sumowaly, bo ( ( ) = 99 00, to szereg ) = 2 3. Skoro jest sumowaly. Podobie sprawdzamy, że szereg (arctg ) jest sumowaly: 2 zachodzi (arctg ) = π 2 4 <. Szereg a azywamy bezwzgledie zbieżym gdy sumowaly jest szereg o wyrazach ieujemych a. Twierdzeie. Jeśli szereg a jest bezwzgledie zbieży, to jest o także sumowaly oraz a a. Twierdzeie. Jeśli szereg a jest bezwzgledie zbieży, to graica a ie zależy od kolejości wyrazów a. Twierdzeie (Riemaa ). Jeśli szereg a jest sumowaly oraz szereg a jest rozbieży, to zmieiając kolejość wyrazów a, a 2,... możemy dostać szereg zbieży do dowolej z góry ustaloej liczby. Możeie szeregów. Jeśli szeregi a oraz b są bezwzgledie zbieże, to a b = (a b + a 2 b +... a b ) = a k b k+. k= Policzmy x! y (! = k=0 x k k! y k ) = ( k)! Skoro zawsze zachodzi e x = x, to udowodiliśmy wzór! Iloczyy ieskończoe. Kładziemy! e x e y = e x+y. (a a 2... a ) = 5 k=0 x k k! a. y k ( k)!! =! (x+y).

6 Gdy graica a jest liczbą różą od zera, to mówimy, że iloczy ieskończoy a jest zbieży: w przeciwym przypadku jest o rozbieży. Uwaga: a = 0 zaczy iloczy ieskończoy a jest rozbieży. Twierdzeie. Gdy iloczy a jest zbieży, to a =. Twierdzeie. Szereg a jest sumowaly gdy iloczy (+ b ) jest zbieży (gdy iloczy ( b ) jest zbieży). Iloczyy są rozbieże, bo ( + ) oraz ( =2 ) (+ ) = 2(+ k 2 )(+ 3 )... (+ k ) = 23 4 k k + k = k (k+) = + ; ( =2 ) = ( k 2 )( 3 )... ( k ) = 2 3 k k k = k k = 0. Iloczyy ( + s ) oraz =2 ( s ) są zbieże, o ile < s oraz rozbieże gdy s. Szereg postaci a 0 + a x + a 2 x a x +... = a x azywamy szeregiem potęgowym. Kres góry zbioru wszystkich wartości x-ów, dla których szereg a x jest sumowaly azywamy promieiem zbieżości tego szeregu. Jeśli r jest promieiem zbieżości szeregu a x, to przedział ( r, r) azywamy przedziałem zbieżości tego szeregu. Twierdzeie. Jeśli ( r, r) jest przedziałem zbieżości szeregu a x, to dla dowolej liczby c ( r, r) szereg a c jest bezwzględie zbieży. Uzasadieie. Przyjmijmy, że szereg a b jest sumowaly oraz, że c < b. Wtedy ciąg a b, a 2 b 2,... jest ograiczoy: p. przez liczbę M. Mamy a c = a b c ( ) c M. b b Skoro szereg geometryczy M ( ) c b jest sumowaly: bo c <, to szereg b a c jest bezwzględie zbieży. 6

7 Z kryteriów d Alemberta lub Cauchye go wioskujemy, że Jeśli a + = g albo a = g, a to promień zbieżości szereg u a x wyosi r =. Uwaga: szereg potęgowy g a krańcach swego przedziału zbieżości może być sumowaly lub ie. Szereg potęgowy l( + x) = x ( ) ma przedział zbieżości [, ): dla x = przedstawia o l 2; zaś dla x = szereg rozbieży. Wzory wykorzystujące szeregi potęgowe: e x = + x! + x2 2! x! +... = cos x = x2 2! + x4 4!... + x2 (2)! ( ) +... = x! ; si x = x! x3 3! + x5 (5)!... = x 2+ (2 + )! ( ) ; x = Z ostatiego wzoru wiosku x, o ile x <. x 2 (2)! ( ) ; ( x) = 2 x x = x x = x k x k = ( + )x. k=0 Mamy także, zawsze przy założeiu x < : arcsi x = arctg x = ( ) x ; x 2 = (2 ) x (2)(2 + ) ; (2 ) x (2) Przy pomocy szeregów potęgowych moża uzasadić wzór e i x = cos x + i si x. 7

8 Zapisay szeregami potęgowymi wyraża się o tak i! x = ( ) (2)! x2 + i ( ) (2 + )! x2+. Dla jego uzasadieia wystarczy zauważyć, że i 0 =, i = i, i 2 = oraz i 3 = i itd. Czyli e ix = + ix x2 2! ix3 3! + x4 4! + ix5 5! Co drugi składik tej sumy zaczyając od daje cos x = x2 2! + x4 4!... + x2 (2)! ( ) +... = pozostałe składiki dają x 2 (2)! ( ) ; i si x = i x! ix3 3! + i x5 (5)!... = i x 2+ (2 + )! ( ). Skoro l( + x) = ( ) x, to podstawiając za x wartość x dostaiemy l( x) = x x2 2 x = x ; dodatkowo ze wzoru a możeie iloczyów ieskończoych dostaiemy l( + x) l( x) = l + x x = 2(x + x3 3 + x ) = 2( x ). 8