RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

Transkrypt

1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD

2 Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest klasy C dla każdego N. Twierdzeie Jeżeli fukcja y = f () jest klasy C w pewym otoczeiu U(, h) puktu, to dla każdego z tego otoczeia zachodzi wzór Taylora gdzie f ( ) ''' f '( ) f ''( ) f ( ) 3 f ( ) ( ) ( ) ( )... R ( )!! 3!. ( ) f ( c) R ( ) ( )! azywamy resztą w postaci Lagrage a, c U(, h).

3 Szeregi potęgowe Defiicja Jeżeli fukcja y = f () jest klasy C w pewym otoczeiu U(, h) puktu, to szereg potęgowy f ( )! ''' ( ) ) ) f ) 3 ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f '(! f ''(! ( 3!... azywamy szeregiem Taylora tej fukcji o środku w pukcie. Jeżeli =, to szereg te azywamy szeregiem Maclauria. Uwaga Ze zbieżości szeregu ie wyika, że jego suma jest rówa tej fukcji. Np. dla fukcji f ( ) e dla dla f () () =, więc suma szeregu Maclauria jest fukcją zerową. 3

4 Szeregi potęgowe Wykres fukcji f ( ) e dla dla

5 Szeregi potęgowe Twierdzeie Jeżeli fukcja y = f () jest klasy C w pewym otoczeiu U(, h) puktu, ( ) i dla każdego U(, h) lim R ( ) f ( c) (gdzie R ozacza -tą resztę ( ) ( )! we wzorze Taylora), to Uwaga Waruek lim R ograiczoe tz. ( ) f ( ) f ( ) ( ) dla U (, h)! ( ) jest spełioy jeśli wszystkie pochode fukcji f są wspólie ( ) M N {} U(, h) f ( ) M. 5

6 Szeregi potęgowe Twierdzeie (o jedozaczości rozwiięcia w szereg potęgowy) Jeżeli fukcja y = f () jest w pewym otoczeiu U(, h) puktu, sumą szeregu potęgowego to f a ( ) a ( ) ( ) f ( ),,,,...! 6

7 Szeregi potęgowe Rozwiięcia fukcji w szeregi potęgowe wyzacza się: Przez zalezieie wzoru a pochodą dowolego rzędu rozwijaej fukcji, Przez wykorzystaie zaych rozwiięć fukcji i wykorzystaie stosowych twierdzeń o szeregach potęgowych. Przykłady rozwijaia fukcji w szeregi potęgowe w załączoym pliku: Szereg_potegowy_przyklady.doc

8 Szeregi potęgowe Rozwiięcia do zapamiętaia 3!...!... 3!!! e

9 Defiicja Wielomiaem trygoometryczym azywamy fukcję postaci gdzie a, a T, b N ( ) R. N a si a cos b Dziedzią wielomiau trygoometryczego jest zbiór liczb rzeczywistych. Jest o fukcją klasy C, a R. Jest fukcją okresową o okresie podstawowym. Uwaga Niejawymi przykładami wielomiaów trygoometryczych są fukcje C ( ) cos cos oraz S( ) si cos si 9

10 Defiicja Szeregiem trygoometryczym azywamy szereg fukcyjy postaci gdzie a, a, b a a cos b si są stałymi rzeczywistymi. Poieważ jest to szereg fukcyjy mają do iego zastosowaie pozae twierdzeia dotyczące szeregów fukcyjych p. jeśli szereg jest zbieży jedostajie, to jego suma jest fukcją ciągłą (wyrazy szeregu są fukcjami ciągłymi!). Jeżeli szereg jest zbieży, to jego suma jest fukcją okresową o okresie podstawowym. Twierdzeie Jeżeli szereg liczbowy, a b jest zbieży, to szereg trygoometryczy S() jest zbieży jedostajie a R. f ( ) a cos b si a Dowód wyika z tw. Weierstrassa ( b ).

11 Lemat Zachodzą rówości: ( N) si d ( N) cos d ( m, N) si m cos d ( m, N) ( m, N) dla m si m si d dla m dla m cosm cosd dla m (Udowodić powyższe rówości)

12 Twierdzeie Jeżeli fukcja f() jest sumą jedostajie zbieżego szeregu trygoometryczego a b si f ( ) a cos to jego współczyiki wyrażają się wzorami,, 3... a a b f ( ) d f ( )cosd f ( )si d Powyższe związki między fukcją graiczą i współczyikami szeregu otrzymujemy całkując szeregi odpowiadające fukcjom f(), f()cos oraz f()si, N wyraz po wyrazie i wykorzystując lemat.

13 Niech f będzie dowolą fukcją całkowalą w przedziale [-,]. Defiicja Szeregiem Fouriera fukcji f, całkowalej w przedziale [-,] azywamy szereg trygoometryczy, którego współczyiki, zwae współczyikami Fouriera, zostały wyzaczoe wg wzorów Eulera-Fouriera: a a b f ( ) d f ( )cos d f ( )si d Jea Baptiste Joseph Fourier (768-83) Leohard Euler (77-783) 3

14 Szereg Fouriera może być skostruoway dla każdej fukcji f, dla której istieją całki występujące we wzorach defiiujących współczyiki Fouriera. Zapisujemy to wzorem Uwaga f ( ) ~ a a cos b si Wyzaczoy w te sposób szereg ie musi być zbieży. W przypadku zbieżości jego suma ie musi być rówa fukcji f. Waruki wystarczające a to by suma szeregu Fouriera była rówa fukcji, a podstawie której szereg został skostruoway, azywae są warukami Dirichleta. 4

15 Niech f() będzie fukcją ograiczoą a przedziale (a, b). Defiicja Fukcja f() jest przedziałami mootoicza a (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy przedział te moża podzielić a skończoą liczbę podprzedziałów, wewątrz których fukcja jest mootoicza. Defiicja Fukcja f() spełia w przedziale [-, ] waruki Dirichleta wtedy i tylko wtedy, gdy:. jest ograiczoa i przedziałami mootoicza a (-, ),. ma co ajwyżej skończoą liczbę puktów ieciągłości i w każdym pukcie, w którym fukcja ie jest ciągła spełioy jest waruek f ( ) ( f ( ) f ( )) gdzie f ( +) i f ( +) ozaczają odpowiedio graicę prawo i lewostroą fukcji f w pukcie. 3. a końcach przedziału spełioy jest waruek f ( ) f ( ) ( f ( ) f ( )) 5

16 Przykład Wykres fukcji spełiającej waruki Dirichleta f () - O Twierdzeie (Dirichleta) Jeżeli fukcja f() spełia w przedziale [-, ] waruki Dirichleta, to w każdym pukcie tego przedziału jest sumą swojego szeregu Fouriera. 7

17 Przykład Rozwiąć w szereg Fouriera fukcję f () = Wyzaczamy współczyiki szeregu Fouriera. Fukcja jest ieparzysta, zatem a = i a m = dla m N. a przedziale (-, ). Szereg Fouriera fukcji f () = a przedziale (-, ) jest day wzorem Uwaga Z kryterium Dirichleta wyika, że te szereg jest zbieży do f a całym przedziale otwartym (-, ) Na końcach przedziału suma szeregu wyosi zgodie z kryterium Dirichleta zero (!). 8

18 Przykład (c. d.) S ( ) ( ) k si k k

19 Przykład (c. d.) S ( ) ( ) k si k k

20 Przykład (c. d.) S 5 5 ( ) ( ) k si k k

21 Przykład Aproksymacja sygału prostokątego za pomocą pierwszych 4 wyrazów szeregu Fouriera = = = 3 = 4

22 Trygoometryczy szereg Fouriera - aimacja

23 Uwagi praktycze związae z wyzaczaiem szeregów Fouriera. Całki występujące we wzorach a współczyiki Fouriera zazwyczaj oblicza się metodą całkowaia przez części.. Warto zapamiętać si, cos ( ) N, N 3. W trakcie obliczeń wykorzystać ieparzystość, bądź parzystość fukcji (o ile występuje) dla fukcji ieparzystej a a b f ( ) si d dla fukcji parzystej a f ( )cos d b 4. Należy pamiętać o warukach Dirichleta przy wyzaczaiu sumy szeregu. 4

24 Wyzaczaie współczyików Fouriera fukcji ieparzystej f () a a f ( ) d (ieparzysta) (ieparzysta) f ( t)cos d (parzysta) b f ( )si d (ieparzysta) (ieparzysta) (parzysta) f ( )si d (ieparzysta)

25 Wyzaczaie współczyików Fouriera fukcji parzystej f () a f ( )cos d (parzysta) (parzysta) f ( )cos d b f ( )si d (parzysta) (ieparzysta) (parzysta) (ieparzysta)

26 Przykłady rozwijaia fukcji w szeregi Fouriera w załączoym pliku: Szereg_Fouriera_przyklady.doc

27 8 Jeżeli f jest fukcją okresową o okresie l, to jej współczyiki Fouriera wyzaczamy z wzorów l l l l l l d l f l b d l f l a d f l a )si ( )cos ( ) ( Wzory te otrzymujemy w wyiku liiowej trasformacji zmieych wg wzoru l y przekształcającej przedział [-l, l] w przedział [-, ].

28 Szereg Fouriera ma wówczas postać f ( ) ~ a a cos b si 9

29 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

30 Szeregi potęgowe