> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)"

Alicja Piotrowska
4 lat temu
Przeglądów:

1 .65. si() W szeregu tym wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Zbadajmy wi c szereg: si() zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu. Poiewa» si(), wi c si() = Po prawej stroie mamy szereg harmoiczy rz du, który jest zbie»y (bo > ), wi c a mocy kryterium porówawczego szereg si() jest bezwzgl die zbie»y. jest zbie»y. Tym samym szereg day w zadaiu.66. sia W szeregu tym wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Zauwa»my,»e: ). Dla a = szereg przyjmuje posta : sia = si = si + si + si +... Ale si dla zmieia si okresowo od do i ci g {u }, gdzie u = si jest rozbie»y. Tym samym szereg day w zadaiu jest rozbie»y. ). Dla a = szereg przyjmuje posta : si( ) = si( ) + si + si( ) + si + si( 5) +... W tym przypadku ci g {u } wygl da ast puj co: si dla = k u = gdzie k N k > 0 si( ) dla = k Ci g te jest tak»e rozbie»y, bo six zmieia sie okresowo od do. Zatem szereg day w zadaiu jest rozbie»y. ). Dla a > szereg przyjmuje posta : sia = sia + sia + sia + sia + si5a Tutaj tak»e warto±ci, z których obliczamy sius d» do + a w tym przedziale six

2 zmieia sie okresowo od do. Zatem szereg day w zadaiu jest rozbie»y. ). Dla a < szereg przyjmuje posta : sia = si( a ) + si( a ) + si( a ) + si( a ) + si( 5 a 5 ) +... W tym przypadku warto±ci, z których obliczamy sius d» do dla ieparzystych wyrazów szeregu oraz do + dla wyrazów parzystych. A poiewa» six, dla tych warto±ci zmieia si okresowo od do, wi c ci g u jest rozbie»y i szereg day w zadaiu te» jest rozbie»y. 5). Dla a ( ; ) a 0 jako szereg geometryczy, w którym q < Zbadajmy ci g v = a, gdzie a < : lim v + v = lim (+)a+ = lim a + a = a lim + = a = a () A wi c zgodie z twierdzeiem udowodioym w zadaiu. lim v = lim a = 0 i dalej a podstawie ci gªo±ci fukcji sius lim u = lim sia = si(lim a ) = si0 = 0 Czyli waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy. Rozwa»my teraz trzy przypadki: a). a = 0 Wtedy si( 0 ) = si0 = 0 Czyli szereg jest zbie»y. b). a (0; ) Skorzystajmy z wzoru six < x dla x (0; π ) sia < a Po prawej stroie mamy szereg zbie»y a podstawie oblicze«() i wiosku..5 do kryterium d'alemeberta. Zatem a podstawie kryterium porówawczego szereg day w zadaiu jest zbie»y. c). a ( ; 0) W tym przypadku w szeregu sia wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Dla parzystych szereg zachowuje si tak jak w pukcie b (bo a jest dodatie). Dla ieparzystych mamy:

3 k= si[(k ) ak = (fukcja six jest ieparzysta) = k= si[(k ) a k ] = = k= si[(k ) a k ] Korzystaj c teraz z wzoru six < x dla x (0; π ) mamy: = k= si[(k ) a k ] < k= (k ) a k () Obliczmy graic : lim k w k+ w k = a = a < = lim k [(k )+] a (k )+ (k ) a k = lim k k a k (k ) a k = lim k k a k = a lim k k Zatem korzystaj c z wiosku..5 do kryterium d'alemberta szereg po prawej stroie ierówo±ci () jest zbie»y. A skoro tak, to a podstawie kryterium porówawczego i twierdzeia.. zbie»y jest te» szereg day w zadaiu (dla a ( ; 0)). = Czyli podsumowuj c, szereg day w zadaiu jest zbie»y dla a ( ; ) i rozbie»y dla a..67. si tg Jest to szereg o wyrazach dodatich. Poiewa» zachodzi wzór x < tgx dla x (0; π ), wi c < = si si tg si Szereg po prawej stroie jest zbie»y, co zostaªo pokazae w zadaiu.6. Zatem a podstawie kryterium porówawczego zbie»y jest te» szereg day w zadaiu..68. si(α) (l0) Je»eli α = 0, to szereg przyjmuje posta : si( 0) (l0) = 0 (l0) Czyli szereg jest zbie»y. = 0 = 0 Dla α 0 w szeregu tym wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Rozwa»my wi c szereg zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych podaego szeregu: si(α) = si(α) (l0) (l0) (l0) Poiewa» < l0 <, wi c po prawej stroie mamy szereg geometryczy, w którym q = l0 <.

4 Zatem szereg te jest zbie»y. Korzystaj c atomiast z kryterium porówawczego oraz kryterium bezwzgl dej zbie»o±ci szeregów wioskujemy,»e szereg day w zadaiu jest zbie»y..69. ( )+ tg Jest to szereg przemiey. Zbadajmy szereg warto±ci bezwzgl dych z wyrazów powy»szego szeregu: ( )+ tg = tg We¹my pod uwag wzór: lim x 0 tgx x = Podstawiaj c x = mamy: tg lim = Korzystaj c z deicji graicy ci gu, dla dowolego ɛ > 0 mo»a zale¹ takie N,»e: tg < ɛ dla > N ɛ < tg < + ɛ dla > N Przyjmuj c ɛ = dla > N mamy: tg < + / tg < tg < Poiewa» szereg ( ) jest zbie»y jako iloczy staªej przez szereg harmoiczy rz du >, wi c a mocy twierdzeia.. i kryterium porówawczego szereg tg jest rówie» zbie»y. Korzystaj c teraz z kryterium bezwzgl dej zbie»o±ci szeregów wioskujemy,»e szereg day w zadaiu jest bezwzgl die zbie»y..70. (+)(+) Jest to szereg o wyrazach ieujemych. Poiewa» zachodzi: ( + )( + ) > wi c mamy: < (+)(+) =

5 Widzimy,»e po prawej stroie mamy szereg harmoiczy rz du >, który jest zbie»y. Zatem a mocy kryterium porówawczego szereg day w zadaiu jest zbie»y..7. ( + ) Jest to szereg o wyrazach ieujemych (bo + > ). Przeksztaª my szereg korzystaj c z wzoru: a b = a b a +ab+b ( + ) = = = + ( ) ( +) + + +( > ) ( +) = ( ) ( +) ( ) ( +) + + +( ) = ( = + ) ( +) ( = +) ( = ) = Po prawej stroie mamy szereg rozbie»y (jako iloczy staªej przez rozbie»y szereg harmoiczy rz du ). Zatem a mocy twierdzeia.. i kryterium porówawczego szereg day w zadaiu jest rozbie»y..7. ( + ) Jest to szereg o wyrazach ieujemych (bo + > ). Przeksztaª my szereg korzystaj c z wzoru: a b = a b a +ab+b ( + ) = = ( +) + < ++ ( +) ( +) +( +) + = + ( +) + ++ = Poiewa» szereg po prawej stroie jest zbie»y (jako iloczy staªej przez zbie»y szereg harmoiczy rz du ), wi c a podstawie twierdzeia.. i kryterium porówawczego zbie»y jest te» szereg day w zadaiu..7. ( + ) Jest to szereg o wyrazach ieujemych. 5

6 ( = + ) = + + = ( + )( ++) = > ++ [( = (+ )+ +) ] = ( + ) Poiewa» po prawej stroie mamy szereg harmoiczy rz du, który jest rozbie»y, wi c a mocy kryterium porówawczego szereg day w zadaiu jest rozbie»y..7. ( + ) Jest to szereg o wyrazach ieujemych. + = ) ( = ( + + ( + = ) ++ + )( ) = ++ (bo + + [( + = ) ] ) = + Poiewa» po prawej stroie mamy iloczy staªej + przez szereg harmoiczy rz du, który jest zbie»y, wi c a mocy twierdzeia.. i kryterium porówawczego szereg day w zadaiu jest zbie»y..75. (( 8 + )si ) Jest to szereg o wyrazach ieujemych (bo 8 + >, oraz si d»y do zera z prawej stroy). Przeksztaª my szereg korzystaj c z wzoru: a b = a b a +ab+b (( 8 + )si ) = ( 8 +) () ( 8 +) + si = 8 + +() = = (8 +) 8 ( (8+ )) + si ( 8+ ) + (8+ )+ si = 8+ + = si ( = 8+ ) si ( 8+ ) < (korzystaj c z wzoru six < x dla x (0; π)) < = ( 8+ ) [( 8+ ) + Poiewa» po prawej stroie mamy iloczy staªej przez szereg harmoiczy rz du, który jest 8+ +] < zbie»y, wi c a mocy twierdzeia.. i kryterium porówawczego szereg day w zadaiu jest zbie»y. 6

7 = Przeksztaª my szereg korzystaj c z wzoru: = (+) udowodioego w zadaiu = (+) = (+) Poiewa» po prawej stroie mamy iloczy staªej = + = + > = przez szereg harmoiczy rz du, który jest rozbie»y, wi c a mocy twierdzeia.. i kryterium porówawczego szereg day w zadaiu jest rozbie»y 7

Podobne dokumenty

szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,

szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α, .. si Poiewa» si < 1; 1 >, wi c zbadajmy szereg zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu: () si = si, ale si < 0; 1 > Zatem si 1 () Po prawej stroie powy»szej ierówo±ci mamy szereg