LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW

Transkrypt

1 Wydział Elektryczy Zespół Automatyki (ZTMAiPC) ZERiA LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI Ćwiczeie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW I. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z opisem modeli układów w środowisku Matlab. II. Wprowadzeie - Modele systemów dyamiczych badaych w programie ćwiczeia Rówaie róŝiczkowe RozwaŜmy dwa systemy dyamicze opisae rówaiami róŝiczkowymi: dy(t ) dy(0 ) + a0 y(t ) = k0 u(t ), = y1, y(0 ) y, (1) a1 = 0 d y(t ) dy(t ) du(t ) d y(0 ) dy(0 ) + a1 + a0 y(t ) = k1 + k0 u(t ), = y, = y1, y(0 ) y, () a = 0 u(t) jest sygałem wejściowym systemów, y(t) jest sygałem odpowiedzi systemów a u(t), y 1...y są warukami początkowymi, czyli wartościami fukcji y(t) i jej pochodych od których startuje odpowiedź systemów. Współczyiki a 0...a k 0...k 1 określają parametry systemów i ich wartości podae zostaą w trakcie realizacji ćwiczeia. Trasmitacja operatorowa Trasmitacją Laplace a liiowego układu jest stosuek trasformat Laplace a sygału wyjściowego Y(s) do wejściowego U(s) przy zerowych warukach początkowych. m m 1 m 1s 1 1s Y ( s) bms + b b1s + b0 G( s) = = (3) U ( s) as + a a1s + a0 W pukcie (3) przedstawioa została zasada zapisu trasmitacji układu w postaci współczyików wielomiau liczika (um w polu struktury systemu) i miaowika (de w polu struktury systemu). Ią formą zapisu trasmitacji jest podaie pierwiastków wielomiaów liczika i miaowika trasmitacji. Pierwiastki zerujące wielomia liczika trasmitacji to zera (ag. zeros). Pierwiastki zerujące wielomia miaowika trasmitacji to bieguy (ag. poles). Bieguy to takŝe pierwiastki rówaia charakterystyczego rówaia róŝiczkowego, zatem widząc zapis zer i bieguów trasmitacji moŝa często bardzo szybko określić własości systemu dyamiczego. Jest to jede z powodów dlaczego zapis te jest waŝy. Y ( s) bm ( s z1)( s z )...( s zm ) G( s) = = (4) U ( s) a ( s p )( s p )...( s p ) 1 gdzie: z 1, z, z m - zera trasmitacji (pierwiastki wielomiau liczika) p 1, p, p - bieguy trasmitacji (pierwiastki wielomiau miaowika) Ćwiczeie 3 Modelowaie systemów dyamiczych. Metody opisu modeli układów -1-

2 Opis układu w przestrzei staów Sposoby opisu układów dyamiczych przedstawioe poprzedio mają iestety wadę. Aby je zastosować aleŝy przyjąć waruki początkowe rówań (1) i () rówe zero. Stwarza to ograiczeie, p. przy modelowaiu działaia silika, gdzie aleŝy załoŝyć, Ŝe w chwili początkowej prędkość obrotowa wału jest rówa zero. Tego ograiczeia ie ma zapis modelu systemu dyamiczego w postaci układu rówań róŝiczkowych: dx(t ) = A x(t ) + B u(t ) - rówaie stau y(t ) = C x(t ) + D u(t ) - rówaie wyjścia Pogrubieie symboli ozacza, Ŝe mamy do czyieia z wektorami. Zmiea x(t) jest tzw. wektorem zmieych stau. NaleŜy zauwaŝyć, Ŝe w rówaiu (5) występuje tylko pochoda pierwszego rzędu, zatem rozwiązaie takiego rówaia sprowadza się do rozwiązaia rówaia pierwszego rzędu przy zadaych warukach początkowych. Dla systemów wyŝszych rzędów trzeba rozwiązać układ kilku rówań pierwszego rzędu z warukami początkowymi odpowiedio dla kaŝdej zmieej stau x(t). Na przykład: aby uzyskać zapis rówaia 6 rzędu w postaci zmieych stau, aleŝy tak je przekształcić, aby uzyskać 6 rówań róŝiczkowych pierwszego rzędu. Przy rozwiązaiu kaŝdego z ich uwzględia się odpowiedie waruki początkowe. (5) Charakterystyki czasowe Charakterystyką czasową układu azywa się przebieg w czasie odpowiedzi (wyjścia) układu a określoy stadardowy sygał wejściowy, poday a wejście układu będącego w staie rówowagi. W zaleŝości od rodzaju zastosowaego sygału wejściowego x(t) wśród charakterystyk czasowych moŝa rozróŝić astępujące: - Charakterystyka skokowa h(t) - Charakterystyka impulsowa g(t) - Charakterystyka liiowo-czasowa v(t) Charakterystyki częstotliwościowe (charakterystyki Bode go) Charakterystyka częstotliwościowa opisuje odpowiedź układu a wymuszeie harmoicze (siusoidale) o częstotliwości zmieiającej się w określoym zakresie. JeŜeli zmiay amplitudy i fazy zostaą zarejestrowae dla wejściowego sygału harmoiczego o częstotliwości astawiaej w szerokim zakresie (teoretyczie w zakresie 0 ω ), to uzyska się charakterystyki częstotliwościowe układu: - charakterystykę amplitudową A(ω) - charakterystykę fazową ϕ(ω) III. Program ćwiczeia: 1. Metody opisu systemów dyamiczych 1.1. Zapis w formie trasmitacji 1. Dla wartości a 0 =1, a 1 =4, k 0 =5 wyprowadzić trasmitację rówaia (1). Zwrócić uwagę a zerowe waruki początkowe. Wprowadzić skrypt sysdef1.m %metody defiiowaia systemów dyamiczych %skrypt sysdef1.m clc %czyszczeie ekrau %system_r_1_tras k0=5 a0=1 a1=4 liczik_system_r_1=[k0]; % liczik trasmitacji systemu r 1 miaowik_system_r_1=[a1 a0]; % miaowik trasmitacji systemu r 1 (a1*s+a0) system_r_1_tras=tf(liczik_system_r_1,miaowik_system_r_1); %trasmitacja disp('to jest system dyamiczy o trasmitacji:') system_r_1_tras Ćwiczeie 3 Modelowaie systemów dyamiczych. Metody opisu modeli układów --

3 Uruchomić skrypt i zapisać wyiki.. Sprawdzić strukturę zbudowaego systemu z oka Commad Widow programu MATLAB: get(system_r_1_tras) %pokazuje strukturę systemu [liczik,miaowik]=tfdata(system_r_1_tras, v ) % pokazuje współczyiki % wielomiaów trasmitacji 3. Dla wartości a 0 =1, a 1 =4, a =8, k 0 =5, k 1 =6, wyprowadzić trasmitację rówaia (). Zwrócić uwagę a zerowe waruki początkowe. Wprowadzić skrypt sysdef.m %metody defiiowaia systemów dyamiczych %skrypt sysdef.m clc %czyszczeie ekrau %system_r tras k0=5 k1=6 a0=1 a1=4 a=8 liczik_system_r_=[k1 k0]; % liczik trasmitacji systemu r miaowik_system_r_=[a a1 a0]; % miaowik trasmitacji systemu r (a1*s+a0) system_r tras=tf(liczik_system_r_,miaowik_system_r_); %trasmitacja system_r tras Uruchomić skrypt i zapisać wyiki. 4. Sprawdzić strukturę zbudowaego systemu z oka Commad Widow programu MATLAB: get(system_r tras) % pokazuje strukturę systemu [liczik,miaowik]=tfdata(system_r tras, v ) % pokazuje współczyiki % wielomiaów trasmitacji 1.. Postać zer i bieguów 1. Dla trasmitacji systemów (1) i () wyliczyć pierwiastki liczika i miaowika współczyik wzmocieia. Zamieić trasmitację systemu z postaci wielomiaowej a postać zero-bieguową korzystając z istrukcji programu MATLAB wprowadzając w okie poleceń astępujące istrukcje: system_r_1_zpk =zpk(system_r_1_tras) % zamiaa zapisu struktury systemu z % wielomiaowego a zero-bieguowy get(system_r_1_zpk) % pokazuje strukturę systemu system_r_1_zpk.z{:} % pokazuje zera system_r_1_zpk.p{:} % pokazuje bieguy system_r_1_zpk.k % pokazuje wzmocieie [zera,bieguy,wzmocieie]=zpkdata(system_r_1_zpk,'v') system_r zpk =zpk(system_r tras) get(system_r zpk) %pokazuje strukturę systemu system_r zpk.z{:} % pokazuje zera system_r zpk.p{:} % pokazuje bieguy system_r zpk.k % pokazuje wzmocieie [zera,bieguy,wzmocieie]=zpkdata(system_r zpk,'v') Ćwiczeie 3 Modelowaie systemów dyamiczych. Metody opisu modeli układów -3-

4 3. Narysować mapę zer i bieguów dla systemów 1 i : pzmap(system_r_1_tras) title ('kolka to zera a krzyzyki to bieguy - klikij a ie myszką') pzmap(system_r tras) title ('kolka to zera a krzyzyki to bieguy - klikij a ie myszką') 1.3. Postać zmieych stau 1. Dla systemów (1) i () wyzaczyć rówaia zmieych stau przez przekształceie struktury trasmitacji układu a strukturę zapisu w postaci zmieych stau. system_r_1_zmst=ss(system_r_1_zpk) system_r zmst=ss(system_r tras) % z postaci zero-bieguowej % z postaci wielomiaowej 1.4. Charakterystyki czasowe systemów dyamiczych Odpowiedzi systemów dyamiczych a zadae sygały w dziedziie czasu. 1. Odpowiedzi a impuls Diraca, skok jedostkowy przebieg siusoidaly. impulse(system_r_1_tras) % odpowiedź impulsowa systemu(1) impulse(system_r_1_tras,system_r tras) % odpowiedź impulsowa systemów (1)i() impulse(system_r_1_tras+system_r tras) % odpowiedź impulsowa systemów (1) i % () połączoych rówolegle impulse(system_r_1_tras*system_r tras) % odpowiedź impulsowa systemów (1) i % () połączoych szeregowo. Odpowiedzi a skok jedostkowy step(system_r_1_tras) % odpowiedź skokowa systemu(1) step(system_r_1_tras,system_r tras) % odpowiedź skokowa systemów (1) i () step(system_r_1_tras+system_r tras) % odpowiedź skokowa systemów (1) i () % połączoych rówolegle step(system_r_1_tras*system_r tras) % odpowiedź impulsowa systemów (1) i % () połączoych szeregowo 3. Symulacja działaia układu a zadae wymuszeie, p. liiowo arastające t=0:0.01:40; u=0.*t; [y1,t1]=lsim(system_r_1_tras,u,t); plot(t1,y1, k,t,u, b: ) % skopiuj wykres [y,t]=lsim(system_r tras,u,t); plot(t,y, k,t,u, b: ) % skopiuj wykres [y1,t]=lsim(system_r_1_zmst,u,t); plot(t1,y1, k,t,u, b: ) % skopiuj wykres [y,t]=lsim(system_r zmst,u,t); plot(t,y, k,t,u, b: ) % skopiuj wykres Ćwiczeie 3 Modelowaie systemów dyamiczych. Metody opisu modeli układów -4-

5 1.5. Charakterystyki częstotliwościowe systemów dyamiczych 1. Dla systemów (1) i () wyzaczyć charakterystyki Bode go grid o bode(system_r_1_tras) grid o bode(system_r tras) % charakterystyka Bodego systemu(1) % charakterystyka Bodego systemu() grid o bode(system_r_1_tras,system_r tras) % charakterystyka Bodego systemów (1)i() grid o bode(system_r_1_tras+system_r tras) % charakterystyka Bodego systemów (1)i() % połączoych rówolegle grid o bode(system_r_1_tras*system_r tras) % charakterystyka Bodego systemów (1)i() % połączoych szeregowo Literatura 1. B. Mrozek, Z. Mrozek: MATLAB i Simulik: poradik uŝytkowika. Helio, Gliwice, A. Zalewski, R. Cegieła: Matlab - obliczeia umerycze i ich zastosowaia.wydawictwo Nakom, Pozań, J. Brzózka, L. Dorobczyński: Programowaie w Matlab. Wydawictwo Mikom,Warszawa, Ćwiczeie 3 Modelowaie systemów dyamiczych. Metody opisu modeli układów -5-