W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch

Transkrypt

1 Wykład 5 PŁASKI ZADANI TORII SPRĘŻYSTOŚCI Płaski sta arężeia W wielu rzyadkach zadaie teorii srężystości daje się zredukować do dwóch wymiarów Przykładem może być cieka tarcza obciążoa siłami działającymi w jej łaszczyźie (or rys) Na owierzchiach i ± 0 gdyż te owierzchie są wole od obciążeń Wobec małej grubości możemy rzyjąć że są omalie małe wewątrz tarczy W dowolym ukcie tarczy mamy zatem astęujący sta arężeia 0 0 i ( ) ie zależą więc od Jest to rzyadek łaskiego stau arężeia Różiczkowe rówaia rówowagi (rówaia Naviera) rzyjmą tu ostać taką albo o rozisaiu ' ' ' ' i j 0 ' ' ' ' ' ' 0 0 0

2 Trzecie rówaie jest sełioe tożsamościowo gdyż X 0 (ie ma żadych obciążeń w tym kieruku) Z dwóch ierwszych rówań dostaiemy ' ' ' ' Zaiszmy arężeiowe waruki brzegowe j i które o rozisaiu rzyjmują ostać 0 0 Tu także trzecie rówaie jest sełioe tożsamościowo gdyż 0 (ie ma żadych obciążeń w tym kieruku) a z dwóch ierwszych otrzymujemy Zaiszmy jeszcze związki geometrycze rówaia Cauchy ego z których o rozisaiu otrzymujemy ( u i' j + u j' i ) u ' u' ' u' ( u' + ' ) u Pozostałe 0 a wyika to ze związków fizyczych [( + δ ] ) W dowolym ukcie tarczy mamy zatem astęujący sta odkształceia 0 0 i ( ) 0 0 kk

3 Warto zwrócić uwagę że łaskiemu staowi arężeia towarzyszy rzestrzey sta odkształceia (tu ojawia się także ) Koleją gruą rówań są waruki ierozdzielości Sośród sześciu waruków ozostaje tu tylko jede dla ji e ikm e jl kl ' m 0 ' + ' ' Mamy jeszcze do dysozycji związki fizycze w ostaci uogólioego rawa Hooke a Roziszmy je + Zauważmy jeszcze że [( + δ ] ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) kk ( ) a korzystając z wyrażeia a sumę arężeń wyrowadzoego wyżej otrzymamy +

4 albo ( + ) Taką zależością związae są odkształceia z odkształceiami i Odwróćmy jeszcze związki fizycze otrzymae wyżej ( ) ( ) Po rozwiązaiu względem składowych stau arężeia otrzymamy oraz ( + ) ( + ) + Płaski sta odkształceia Przykładem ciała w którym wystęuje łaski sta odkształceia może być tuel rurociąg ia kostrukcja której wymiar wzdłuży zaczie rzewyższa ozostałe wymiary (or rys) Wszystkie obciążeia owiy działać rostoadle do osi wzdłużej i owiy być stałe a długości obiektu Waruki odarcia ie owiy się zmieiać w kieruku osi stąd u zależą tylko od Mamy zatem a u u 0 u( ) u u( ) u u Z rówań Cauchy ego 0

5 otrzymamy ( u i' j + u j' i ) u ' u' ' u' 0 ' ' ( u + u ) 0 5 W każdym ukcie takiego obiektu wystęuje astęujący sta odkształceia i wszystkie ( ) 0 Jest to rzyadek łaskiego stau odkształceia Ze związków fizyczych otrzymujemy [( + δ ] ) + [ ( )] 0 ( ) kk skąd [ ( ) ] [ [ + ( )] ]

6 i ostateczie Aalogiczie [ ( ) ( + )] Z ozostałych związków fizyczych otrzymamy + 0 Wrowadźmy owe stałe materiałowe Wyrowadzoe owyżej związki fizycze rzyjmą ostać gdyż zachodzi zależość którą moża łatwo srawdzić + ( ) ( ) + + Są to związki idetycze ze związkami fizyczymi dla łaskiego stau arężeia Różica tkwi tylko w stałych materiałowych Tam wystęowały i a tu i Odwróćmy otrzymae związki Otrzymamy 0 6

7 oraz związek otrzymay orzedio + ( + ) ( + ) ( ) + W każdym ukcie obiektu mamy do czyieia z astęującym staem arężeia 0 0 i ( ) 0 0 Warto zwrócić uwagę że łaskiemu staowi odkształceia towarzyszy rzestrzey 7 sta arężeia (tu ojawia się także ) Mamy do dysozycji rówaia rówowagi (rówaia Naviera) albo o rozisaiu ' ' ' ' i j 0 ' ' ' ' ' ' Trzecie rówaie jest sełioe tożsamościowo gdyż X 0 (ie ma żadych obciążeń w tym kieruku) a ie zależy od Z dwóch ierwszych rówań dostaiemy ' ' Narężeiowe waruki brzegowe: albo o rozisaiu ' ' j i 0 0

8 Tu także trzecie rówaie jest sełioe tożsamościowo gdyż 0 (ie ma żadych obciążeń w tym kieruku) i 0 Z dwóch ierwszych otrzymujemy W tym rzyadku także mamy do dysozycji jede waruek ierozdzielości ' + ' ' Aalizując wszystkie rówaia dla łaskiego stau arężeia i łaskiego stau odkształceia moża zauważyć że są oe idetycze Różica w stałych (w związkach fizyczych i w łaskim staie arężeia i i w łaskim staie odkształceia) jest bez zaczeia jeśli chodzi o matematyczą stroę roblemu Z tego owodu szczegóły rozwiązaia zagadieia łaskiego aalizować będziemy dalej tylko w odiesieiu do łaskiego stau arężeia 8 Zestawmy wszystkie rówaia dotyczące łaskiego stau arężeia ' ' ' ' 0 0 () () ' + ' ' () + ( ) ( ) Rozwiązaie otrzymamy w sosób astęujący Policzmy ochode wystęujące w () ()

9 i odstawmy to do () ' ' ' + ( ) ' ( ) ' ' ' ' ( ) ' ' ' ' ' + (6) Rówaia () i (6) staowią układ trzech rówań z trzema iewiadomymi Zróżiczkujmy () o i () o ' ' ' ' i dodajmy te rówaia stroami Otrzymamy ' ' 0 0 ' ' ' ' ' 0 (8) Weźmy stąd ' i odstawmy do (6) Otrzymamy (5) (7) ( + )( + ) ' ' ' ' ' ' ' X ' Możemy to dalej rzekształcić tak albo ( ) + ( ) ( + )( X + ) ' ' ' X ' gdzie () ( ) ( + )( X ) ' ' (9) to lalasja ( ) ( ) + Rówaie (9) osi azwę waruku Morisa Levy ego Mamy teraz układ trzech rówań w ostaci ' ' 0 0 ( ) ( + )( X ) ' ' + X Wrowadźmy fukcję Airy ego zdefiiowaą w sosób astęujący ' ' (0) ' ' ' X X () 9

10 0 Załóżmy że tarcza wykoaa jest z materiału jedorodego tz X cost X cost Podstawmy () do (0) Rówaia (0) i (0) będą sełioe tożsamościowo Z (0) otrzymamy ( + ) ' 0 0 ' 0 () ( ) ( ) ( ) + + to bilalasja gdzie () Rówaie () to rówaie tarczy Wyika z iego że oszukiwaa fukcja Airy ego musi być fukcją biharmoiczą (bilalasja takiej fukcji jest rówy zeru) Wyraźmy jeszcze waruki brzegowe rzez fukcję Airy ego ( ' ) ( ) ' () ' ' W te sosób roblem rozwiązaia tarczy w łaskim staie arężeia srowadziliśmy do rówaia różiczkowego () z warukami () Jeżeli uda się zaleźć fukcję Airy ego dla daego roblemu to arężeia w każdym ukcie tarczy obliczymy z zależości () Przykład Dla jakich wartości arametrów a i c odaa fukcja może być fukcją Airy ego? a c ( ) + ukcja Airyego musi być fukcją biharmoiczą musi sełiać rówaie albo o rozisaiu oeratora ' + ' + ' Policzmy koleje ochode wystęujące w rówaiu 0

11 skąd ' ' ' ' ' a a a 0 a c + + c Podstawmy to do rówaia tarczy a + c ' ' ( ) a c c c Taki waruek owiy sełiać arametry a i c