FAQ ANALIZA R c ZADANIA
|
|
- Bogna Zielińska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 FAQ ANALIZA R c ZADANIA Caªki wersja wst pa uwaga a bª dy!!! Fukcje pierwote Zadaie. Rozgrzewka. Obliczy caªki ieozaczoe, tz zale¹ fukcje pierwote. W awiasach wymieioe s arz dzia jakie mog by potrzebe przy rozwi zywaiu (a) ( + 3)e (caªkowaie przez cz ±ci lub zgadywaie); (b) si 3 (podstawieie); (c) si cos 4 (suma Fouriera); ( ) (d) arcsi (caªkowaie przez cz ±ci, podstawieie); + (e) 3 log( + ) (caªkowaie przez cz ±ci, podstawieie, albo podstawieie i po drodze uªamki proste...) Zadaie. Caªkowaie fukcji wymierych: rozkªadamy a uªamki proste postaci A ( a) k, A + B ( + a ) k. Trudiejsze jest tylko caªkowaie wyra»e«z wielomiaem kwadratowym w wy»szej pot dze w miaowiku 4 + (a) ; 3 ( ) (b) ( + ) 3 ( 4) ; (c) 4 ; (d) ; ( + ) (e) ( + ) ; Zadaie 3. Fukcje wymiere od trygoometryczych: + si (a) si ( + cos ) ; (b) si si ; ta + 3 (c) si + cos ; Zadaie 4. podstawieia trygoometrycze i hiperbolicze dla caªek z pierwiastkami. Gdy fukcja podcaªkowa ma posta f() = R(, a + b + c) mo»a spróbowa pozby si pierwiastka stosuj c podstawieia trygoometrycze Data: 8 wrze±ia 6 r.
2 FAQ ANALIZA R c ZADANIA lub hiperbolicze. Obliczcie poi»sze caªki u»ywaj c wskazaych podstawie«i zastaówcie si w jaki sposób powio si decydowa, którego z podstawie«moza i warto u»y w kokretym przypadku: ( + a ) + b = b ta t, dwa przypadki < a < b, < b < a;, = ta t; caªka jak wy»ej, + = sih t; 5 + 3, = si t. Jako zadaie dodatkowe prosz zapisa fukcje odwrote do sih i cosh z u»yciem logarytmów. Zadaie 5. Obliczy caªki ieozaczoe: () (4) (7) () (3) (6) (9) () (5) (8) ( + 3)e () arcsi + (5) si 3 (3) (log ) 3 log log( + ) (6) 4 ( arcta ) (8) + (9) ( + ) () 4 + ta () arcsi (4) 3 (5) (7) + 4 (8) cos () cos + cos (3) 3 + (6) + (9) si(log ) () si cos 3 + si e + e + 4 (4) (7) + ( ) 4 + ( + ) ( + + )( ) ta 3 cos e! + Caªki ozaczoe
3 FAQ ANALIZA R c ZADANIA 3 Zadaie 6. Obliczy poi»sze caªki ozaczoe () (3) (5) (7) π π arcta π/ ( + ) () + (4) 3 + cos (6) log 3 si si, N (8) 4 + ta p dla p R 3 + e ( + ) + (9) () (3) b a π ( a) m (b ), m, N, a < b () + 4 () + si (si + cos ) (4) π π π ( ), N + si cos cos Zadaie 7. Podstawieie Eulera sªu» do zajdowaia fukcji pierwotych do fukcji postaci f() = R(, a + b + c), gdzie R jest wymier fukcj dwóch zmieych. Chodzi o to,»eby fukcj zawieraj c pierwiastek sprowadzi do fukcji wymierej. Je±li ozaczymy y := a + b + c sprowadza si to do sparametryzowaia fragmetu krzywej (, a + b + c) R dla y > parametrem t w taki sposób, aby (t) i y(t) byªy wymiere. () Pierwsze podstawieie Eulera dziaªa gdy a >, podstawiamy y = a + t. Wyzaczamy (t), y(t) i = (t)dt; () Drugie podstawieie Eulera dziaªa gdy c >, podstawiamy y = t + c; (3) Trzecie podstawieie Eulera dziaªa gdy ªatwo jest wybra pukt (, y ) a krzywej, y = a + b + c, podstawiamy y y = t( ). Prowadz c rachuki warto zapisa y w pot gach zamiast. Zadaie polega a obliczeiu trzema sposobami caªki ieozaczoej + + Zadaie 8. Wyrazi F + () przez F (), je±li: (a) F () := ( +) ; (b) F () := ( +) (c) F () := p log, p R; (wyliczy F 4 ()); oraz jej wersji ozaczoej (d) F () := p e, p [, [ ; (e) F () := (+) (wyprowadzi wzór a F ()). Zadaie 9. Zale¹ wzór rekurecyjy, wyra»aj cy F + () przez F (), je±li: (a) F () := cos ; (b) F () := si ; (c) F () := ( +) (zale¹ wzory a F k() i F k+ ()); (d) F () := ; + (e) F () := cos. + +.
4 4 FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zadaia ró»e Zadaie. Dla k Z + ozaczmy c k := a k cos, gdzie a := π. Wykaza,»e: (a) c = ( ) ()! ( ) k a k k= (k)! ; ( ) (b) c + = ( ) ( ) ( + )! k a k+ k= (k+)! ; a (c) (k+)(k+) c k k!a3 a k+ (k+4)! ; k (d) lim k c a k+ k = a = π. Zadaie. Dowie±,»e je±li fukcja f : R R jest ci gªa oraz speªia waruek R : + f(t)dt =, to jest okresowa. Zadaie. Niech f : [, [ R b dzie fukcj ci gª. Wykaza,»e fukcja ˆf : [, [ R, zadaa wzorami ˆf() := f(), ˆf() := f(t)dt dla >, te» jest ci gªa, przy czym je±li f jest iemalej ca, to ˆf jest tak»e iemalej ca. Zadaie 3. Wykaza,»e je±li f : [a, b] R jest ró»iczkowala, to ξ ]a, b[ : b a f() = (b a)f(a) + (b a) f (ξ). Zadaie 4. Niech dae f : [a, b] R i N. (a) Poda iterpretacj (pole wielok ta ograiczoego ªama... ) wielko±ci [ S (f) := b a f(a) + f (a + k ) ] (b a) + f(b). (b) Dowie±,»e dla f C [a, b]. Wywioskowa st d,»e k= lim S (f) b a f() = ( log + + ( π ) 4, ) 4. Zadaie 5. Rozwa»aj c sumy Riemaa odpowiedio dobraej caªki wykaza,»e: (a) lim k= +k = ( π 4 ; ) (b) lim k = log k dla k N; (c) lim k= k + k = log. Zadaie 6. Dla ustaloych < a < b iech H i G ozaczaj, odpowiedio, ±redi harmoicz i geometrycz z + liczb a + k (b a), k,. Wykaza,»e ab lim H b a = log b log a lim G = ( ) b b b a e a a a + b Zadaie 7. Dowie±,»e je±li fukcja f : [a, b] R jest (sªabo) ros ca, to jest caªkowala w sesie Riemaa a [a, b]. Zadaie 8. Dowie±,»e je±li fukcja f : [a, b] R jest ci gªa i ieujema, to lim b a (f()) = sup f([a, b]).
5 FAQ ANALIZA R c ZADANIA 5 Zadaie 9. Niech f() := e e t dt dla R. Dowie±,»e: (a) Dla N zachodzi wzór f() = k= k (k )!! + r (), gdzie r () := e (b) lim r () = dla R, sk d wyika wzór f() = k= k (k )!!. Caªki iewªa±ciwe Zadaie. Zbada (w zale»o±ci od p, q R) zbie»o± caªki iewªa±ciwej: (a) (d) (g) (j) (m) ( ) p e log (b) / (cos π )p+q e si ( e ) p si + si (e) (h) (k) p log q arcta(si ) e si si( p ) + (c) (f) (i) (l) π ( )!! t e t dt; log( ) p log q ( + p cos ) (5 + 4 cos ) + p si si( p ) Zadaie. Wykaza zbie»o± i wyliczy caªk iewªa±ciw : (a) (d) (g) (j) (m) (p) ( + ) ( + ) 3// (b) ( + log ) ( + ) ( ) log (e) log ( + p ) + (h) e (k) () ( e ) + log + p (c) (f) log (i) 4 + (l) (o) e // log + e// log ( + ) ( + ) + Zadaie. Dowie±,»e je±li fukcja f : [, [ [, [ jest (sªabo) malej ca, to caªka [f(e()) f()] jest zbie»a. () () e ( 4 + 7); () 3 ( + si ) cos ; (3) 7 3/ (9 log log + 8); (4) ( + ) arcsi + ; (5) log ( + ) log( + ); Rozwi zaia
6 6 FAQ ANALIZA R c ZADANIA (6) [( ) log log + k ]; k (7) arcta + arcta ; k= (8) arcta ; (9) 4 log + + +, podstawi t = + ; () arcta, podstawi t = ; () ta ; () 7 arcta ( ) arcta( + ); (3) arcsi + log ; (4) 3 arcsi(3/ ); (5) log + + ; (6) / arccos( / ); (7) log( ); ( ) (8) arcta log( + ) log( + ); 3 (9) ta + log cos ; () (si log cos log ); (8) () 4 log ta ; () arcsi( si ); 3 (3) 3 log( + si ) si ; (4) e k= k k! ; (5) 5 3 ( ) + ; (6) + + log( ); (7) log( + ) arcsi( ); 4 (8) arcta + 3 arcta (zast. 3. podst. E.); 3 (9) q + log(q e 4) + log(q + e + ), gdzie q := e + e + 4. (a) F + () = + ( +) + + (b) F + () = ( +) (c) F + () = p+ log + p+ F (); (d) F + () = p (F () p ); F (); + F (), F 4 () = log ( +) 3 ; (e) F + () = F (), F () = ( ) log + + k= (9) (a) F + () = + cos+ si F (); cos (b) F + () = (+) si F (); (c) F + () = (+) + k ( ) k l l= ; l l ( ) k k k. F (), F k () = ( ) k arcta k l= ( (d) F + () = ( + )F () ) ; ( ) k l (l ) l, F k+ () = ( ) k log +
7 FAQ ANALIZA R c ZADANIA 7 (e) F + () = + ( si + ( + ) cos ) ( + )( + )F (). (3) Wyrazi wzorem Taylora F (b) F (a) dla F () := a f(ξ)dξ. (5) (c) Sprawdzi,»e k + k > k dla k. (6) H i log G s sumami Riemaa dla caªek log b log a a+(b a) = b a i log (a + (b a)) = + b log b a log a b a. (7) Je±li S (f, P) i S (f, P) ozaczaj gór i dol sum Riemaa odpow. podziaªowi P = {a = < < < = b}, to S (f, P) S (f, P) = k= ( k k )(f( k ) f( k )) δ(p) k= (f( k) f( k )) = δ(p)(f(b) f(a)), co d»y do przy δ(p) := sup k ( k k ). (8) Dla dowolego < K < M := sup f([a, b]) zbiór f ( ]K, [ ) jest i otwarty w [a, b], wi c f() > K a pewym przedziale P [a, b]; zatem (b a)m b a f P K, sk d... (9) (a) Idukcja, (b) r () e / ( )!! t dt = + (+)!! e /. () Wskazówki: (a) log[( )f()] = log [(p + ) log( ) log ]; (b) podst. = e t ; (c) lim + log( ) (d) lim (e) kr. Dirichleta; (f) g p := 5p 4 6 g() log =, lim f() f() ( ) =, lim p+q + (+) = ; p q = ; skorzysta z (b); +p cos 5+4 cos jest okresowa i π g p () = π 3 ( p), wi c π + p 6 ; g () jest zb. (kr. Dirichleta), za± gp() (g) a := π ( )π f() π e π si = π/ π/4 π/4 e = ( e π/ ), bo si π a [, π 4 ]; (h) a := (+)π f() π// π π (i) ϕ(r) := π e π si π +r si = π +r, wtedy (+)π f() (j) p > lim p (k) p > podst. t = p daje p bezwzgl. zb. () Rozwi zaia e 4 /π = C 3/, gdzie C := π e t dt; = f() [c π +, c ], gdzie c = ϕ((π) p ) C p// dla p > ; =, p < podst. t = p daje ( p ) si t t dt; f(t) f() t dt; p < lim = ; (m) spr.»e si (f() p ) jest (a) rozb. p R (b) zb. (p < ) lub (p =, q > ) (c) zb. p <, q < (d) zb. q < + p (e) zb. (f) zb. p = (g) rozb. (h) zb. (i) zb. p > (j) zb. < p < (k) zb. p (l) zb. p (m) zb. () Wskazówki: (b) lim f() =, lim ( + )f() =, lim ( + )f() =, sk d wyika zbie»o± ; podst. = y daje I = ( e e ) +, wi c... (c) podst. t = log log (zal. ros ca, = ( + t )dt) daje sum dwoch zb. caªek, z których jeda jest = ; (e) podstawi = t i porówa z wyj±ciow postaci I; t +4 (f) podst. = p t ; (g) spr. wzór 4f () ( )f () = d + ( +) ; (h) podst. = p t daje I = I +... ; (i) podst. = t ; (j). podst. E.; (l) 4 + = ( + ) ( ) ; d (m) ( 4 +) =... ; (). podst. E.: + + = t, ast pie u = t daje I = I = (+ ) 4 + 4, wi c mo»a podst. = u; (u+)du (3u )(u u+3) ; (o) podst. = t daje (!)
8 8 FAQ ANALIZA R c ZADANIA (p) podst. t = () Rozwi zaia (a) ; (b) I = π ; (c) π 4 ; (e) ; (f) π p log p ; +. k k! (g) I k+ = (k+)!!, I k = k π (k )!! (h) p I log p, gdzie I jest z (g); (i) ; (j) log( + ); (k)!; (l) π ; (m) 3 6 π; () ( 5 4 π + log 9 ); (o) π 4 ; (p) π ; (q) π 3 3. (k)!! ; () + [f() f()] f() f( + ).
Informacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech a k >, (k =,, ) b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a )( + a ) ( + a ) + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e
Bardziej szczegółowoWykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym
Bardziej szczegółowoPrace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska
Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle'a i twierdzenie Lagrange'a.
SKRYPT A Jarosªaw Wróblewski. Pochoda fukcji. Twierdzeie Rolle'a i twierdzeie Lagrage'a. Kolokwium r : do zad. 473 Kolokwium r : do zad. 53 Kolokwium r 3: do zad. 538 Kolokwium r 4: do zad. 579 445. Niech
Bardziej szczegółowowi c warunek konieczny zbie»no±ci szeregu jest speªniony. 12 = 9 12 = 3 4 k(k+1) k=1 ( k+1 k(k+1) n+1 = 1 1 n+1 = 1 0 = 1 36 = =
32 (+) Jest to szereg o wyrazach dodatich Poadto wyraz ogóly tego szeregu jest zbie»y do 0, wi c waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy s (+) 2 s 2 s + 2 (2+) 2 + 2 3 2 + 6 3 6 + 6 4 6 2 3 s 3 s
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Bardziej szczegółowoZbiory. Zadanie 5. Wykaza to»samo±ci (a) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C), (b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) [(A C) \ D],
x FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zbiory Zadaie 1. Opisa zbiory A B, A B, A \ B, B \ A je±li A = {x R : x 3x < 0, }; B = {x R : x 3x + 4 0} Zadaie. Niech A, B, C, D b d podzbiorami przestrzei X. Udowodi,»e A \
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoIII seria zadań domowych - Analiza I
III seria zadań domowych - Aaliza I Różiczkowalość fukcji Zadaie Dla jakich wartości parametrów abc R fukcje a + gdy π si + b gdy > π a + b gdy 0 gdy > c a + b gdy c są różiczkowale. a + b gdy a 0 / arcsi
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5
Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione
Aaliza matematycza Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 7 Sumy i iloczyy uogólioe Dla dowolych liczb a k, a k+, a k+,..., a l okre±lamy sum uogólio i iloczy uogólioy: a k + a k+ + a k+ +... + a l, l a k
Bardziej szczegółowo15. CAŁKA NIEOZNACZONA cz. I
5. CAŁKA NIEOZNACZONA cz. I Fukcj pirwot fukcji f w pwym przdzial (właciwym lub iwłaciwym) azywamy tak fukcj F, którj pochoda rówa si fukcji f w tym przdzial. Zbiór wszystkich fukcji pirwotych fukcji f
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowo10. arccos 3 + 4x, 11. tg sin cos x, 12. arcctg x ctg 2x, arcsin(2x 1) arcsin 2x 1, 21. sin2 x 2 1,
. Nawiasy Dopisz nawiasy jak w przykªadzie: ln cos 4 + = ln((cos(4)) ) +. sin,. ln 3 +, 3. tg ctg, 4. sin, 5. log 3 4, 6. arcsin sin, 7. tg 4 3, 8. log, 9. cos +3, 0. arccos 3 + 4,. tg sin cos,. arcctg
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Bardziej szczegółowo> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)
.65. si() W szeregu tym wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Zbadajmy wi c szereg: si() zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu. Poiewa» si(), wi c si() = Po prawej
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/3 Zadaie Niech a k >, (k =,, b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a ( + a ( + a + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e liczby
Bardziej szczegółowoFAQ ANALIZA R c ZADANIA
FAQ ANALIZA R c ZADANIA Rachunek ró»niczkowy wersja wst na uwaga na bª dy!!! Zadania oznaczone R maj wskazówki lub rozwi zania na ko«cu liku. Zadania rozwi zywali: Grzegorz Cieciura, Katarzyna Grabowska,
Bardziej szczegółowoTw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.
Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoZadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)
Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()
Bardziej szczegółowoWykład 2: Szeregi Fouriera
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład : Szeregi Fouriera Definicja. Niech f(t) będzie funkcją określoną na R, okresową
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x.
Zadaie.. Obliczyć graice x 2 + 2x 3 (a) x x x2 + x2 + 25 5 (d) x 0. Graica i ciągłość fukcji x 2 5x + 6 (b) x x 2 x 6 4x (e) x 0si 2x (g) x 0 cos x x 2 (h) x 8 Zadaie.2. Obliczyć graice (a) (d) (g) x (x3
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoKLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zadaia Odpowiedzi Pukty Badae umiejtoci Obszar stadardu 1. B 0 1 plauje i wykouje obliczeia a liczbach
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium
Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia
Bardziej szczegółowo[wersja z 5 X 2010] Wojciech Broniowski
[wersja z 5 X ] Aaliza Matematycza część 3 Kospekt wykładu dla studetów fizyki/iformatyki Akademia Świętokrzyska / Wojciech Broiowski Różiczkowalość Pochoda fukcji jedej zmieej Pochoda f : ( a, b) R w
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18
dr Aa Barbaszewska-Wiśiowska ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 17/18 1 Elemety logiki matematyczej Zdaia i formy zdaiowe fuktory zdaiotwórcze Tautologie Wartości logicze
Bardziej szczegółowoszereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,
.. si Poiewa» si < 1; 1 >, wi c zbadajmy szereg zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu: () si = si, ale si < 0; 1 > Zatem si 1 () Po prawej stroie powy»szej ierówo±ci mamy szereg
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 3
[wersja z 9 I 9] Aaliza Matematycza część 3 Kospekt wykładu dla studetów fizyki/iformatyki Akademia Świętokrzyska 7/8 Wojciech Broiowski Różiczkowalość Pochoda fukcji jedej zmieej Pochoda f : ( a, b) R
Bardziej szczegółowoCzy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9
Bardziej szczegółowoWykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoRozmieszczenie liczb pierwszych
Rozmieszczeie liczb pierwszych Euler Pierwszy owoczesy wyik pochodzi od Eulera: TWIERDZENIE: Szereg p primes p est rozbieży. Szkic dowodu: Dla s > zachodzi rówość ( ) = s = i= ( + p s i ) + p 2s i +....
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 07/8 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trudiejsze. Wstęp. Logika, zbiory
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych
Wyk lad W lasości cia la liczb zespoloych 1 Modu l, sprz eżeie, cz eść rzeczywista i cz eść urojoa Niech a, b bed a liczbami rzeczywistymi i iech z = a bi. (1) Przypomijmy, że liczba sprzeżo a do z jest
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoAM /2010. Zadania z wicze«18 i 22 I 2010.
AM 2009/200 Zadaia z wicze«8 i 22 I 200 Omówieie zada«z kolokwium i zada«domowych Zadaie Niech f : [a, + ) R b dzie fukcj ci gª Okre±lamy fukcj f wzorem f(t) = sup{f(x) : x t} Wyka»,»e f jest iemalej ca
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowoZadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.
. Liczby wymiere zasada idukcji matematyczej przekroje Dedekida Zadaie.. Niech A Q. Wykazać że jeśli istieje mi A odp. max A) to istieje if A odp. sup A) oraz if A = mi A odp. sup A = max A). Zadaie..
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowo1 Caªki nieoznaczone: caªkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do ró»niczkowania
1 Caªki nieoznaczone: caªkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do ró»niczkowania 1.1 Podstawowe denicje Def. Funkcj F nazywamy funkcj pierwotn funkcji f, okre±lonej w przedziale otwartym P (sko«czonym
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA I UŠAMKI PIOTR NIADY
GEOMETRIA I UŠAMKI PIOTR NIADY Alicja raz czy dwa zajrzaªa do ksi»ki czytaej przez siostr, ale ie byªo tam ai ilustracji, ai kowersacji. A jaki mo»e by po»ytek z ksi»kipomy±laªa Alicjaw której ie ma ai
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoPRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA
PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)
Bardziej szczegółowoRachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Bardziej szczegółowob) 2n 4n 7 + 3n 1 c) n 3 n 2 n 20 2 k oblicz t sum, a nast pnie zamie«na 3. Zbadaj, czy speªniony jest warunek konieczny zbie»no±ci: cos n=2
Szeregi. (powtórka z Matematyki) Wyzacz graic ci gu: 3 3 + ( 4 + ) 4 7 + 3 3. Przeksztaª szeregi: d) e) 4 podstaw = l rozbij a wyrazy parzyste i ieparzyste a ast pie podstaw = k i = k + 5 = podstaw co±
Bardziej szczegółowosin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),
WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa
Bardziej szczegółowoZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowof(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 4 Rozwiązywanie równań nieliniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład 4 Rozwiązywaie rówań ieliiowych Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Pla wykładu Metoda bisekcji Algorytm Aaliza błędu Metoda Newtoa Algorytm Aaliza
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 208/9 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trudiejsze. Wstęp. Logika, zbiory
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowo