Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego

Transkrypt

1 3 FOTON 1, Wiosa 13 Rozwiązaie rówaia oscylatora harmoiczego Adrzej Odrzywołek Istytut Fizyki UJ 1 Wstęp Motywacją do zebraia różych sposobów rozwiązaia rówaia oscylatora harmoiczego: d x() t m k x() t (1) dt jest często zadawae przez studetów (i ie tylko) pytaie: jak rozwiązać (1)? Rówaie to pojawia się wielokrotie w wielu działach fizyki i jest stadardowym przykładem stosowaia różych metod matematyczych fizyki (MMF) Zapisywae jest w kilku postaciach rówoważych rówaiu (1), p: x x, k () m Niewiadomą jest fukcja x(t), przy czym często pomija się jej argumet t, który ie występuje jawie w rówaiu () Fakt te jest okoliczością pozwalającą a obiżeie rzędu rówaia 1, o czym apiszę dalej Problem rozwiązaia (1) moża sformułować słowie w astępujący sposób: jaka fukcja po dwukrotym zróżiczkowaiu da samą siebie ze zakiem mius, dodatkowo pomożoą przez pewą stała? Odpowiedź a takie pytaie jest wiadoma każdemu studetowi, który potrafi różiczkować: taką własość mają fukcje si (sius) i cos (kosius) Parafrazując Lema, moża powiedzieć, że taka odpowiedź zadowoli, być może, laika, ale ie jest wystarczająca dla umysłu ścisłego Dla dociekliwych, przedstawiam dziewięć a pewie sposób różych metod rozwiązaia rówaia () Pierwsza z ich, określoa jako Asatz (pkt ), polega a zapostulowaiu pewego wzoru zawierającego kilka symboli, wstawieiu go do (1), a astępie rozwiązaiu otrzymaego rówaia algebraiczego Koleja metoda (pkt 3) jest bardziej sformalizowaą wersją poprzediej Następie przejdziemy do wyprowadzeia zasady zachowaia eergii (pkt 4) i blisko spokrewioej metody rozwiązaia poprzez obiżeie rzędu rówaia (pkt 5) Następie pokażę ciekawą metodę pochodzącą z podręczika Ladaua i Lifszyca (pkt 6) Rówaie moża rozwiązać korzystając z rozwiięcia w szereg potęgowy (pkt 7) oraz wykorzystując ekspoetę macierzy (pkt 8) Mechaika teoretycza dostarcza 1 Rzędem rówaia różiczkowego zwyczajego azyway stopień ajwyższej pochodej w rówaiu Dla (1) rząd wyosi dwa

2 FOTON 1, Wiosa jeszcze dwóch metod: przekształceie kaoicze (pkt 9) oraz rówaie Hamiltoa-Jacobiego (pkt 1) Asatz Rówaie () jest a tyle waże, że jego rozwiązaie każdy szaujący się fizyk powiie umieć podać z pamięci Gdyby ogłoszoo plebiscyt a 1 ajważiejszych rówań fizyki, rówaie () wraz z jego rozwiązaiem z pewością zalazłoby się a tej liście Trzy podstawowe postacie rozwiązaia ogólego to: x( t) acost bcost (3a) x( t) Asi( t ) lub rzadziej: x( t) Acos( t ) (3b) Rówaie () może być traktowae jako rówaie o iewiadomej zespoloej fukcji argumetu rzeczywistego Fakt te wykorzystuje się w fizyce i elektrotechice celem ułatwieia obliczeń Oto postać zespoloa rozwiązaia: it it x( t) e e (3c) Aby postać (3c) dawała rozwiązaie rzeczywiste, liczby zespoloe α i β muszą być sprzężoe: Dla przykładu, sprawdzimy postać (3b) Obliczamy pierwszą pochodą po t: x Asi( t ) ' A(si t ) Acos( t ) ( t ) Acos( t ) oraz drugą pochodą (tj pochodą pierwszej pochodej): Po wstawieiu do () otrzymujemy: x A cos( t ) ' A si( t ) A t A t si( ) si( ), bo obydwa wyrazy upraszczają się Aalogiczie moża sprawdzić prawdziwość postaci (3a), która jest rówoważa (3b) Moża to sprawdzić rozwijając si( t ) ze wzoru a sius sumy: Asi( t ) Asi cos t Acos si t acos t bcos t, gdzie a Asi, b Acos Użycie postaci zespoloej (3c) wymaga kometarza Rówaie () jest liiowe, czyli każda kombiacja liiowa rozwiązań x 1 () t i x () t też jest rozwiązaiem: 1 1 x( t) x ( t) x ( t), (4)

3 34 FOTON 1, Wiosa 13 co łatwo sprawdzić wstawiając (4) do (): ( ) ( ) ( ) ( ) x t x t " x t x t x x x x x x x x, bo fukcje x 1 i x z założeia spełiają () Jeżeli teraz wybierzemy zespoloe 1 i (p: 1 1 oraz i ), to możemy z dwóch rozwiązań rzeczywistych utworzyć zespoloe rozwiązaie () Część rzeczywista (a także urojoa) rozwiązaia zespoloego jest więc rozwiązaiem rzeczywistym Jeżeli potraktujemy liczby α i β w (3c) jako zespoloe: to otrzymamy: i, i, 1 1 it it Re ( 1 i ) e ( 1 i) e ( 1 1)cos t ( )si t, gdzie wykorzystao fudametalą tożsamość Eulera: i e cos isi (5) Fakt powyższy ma duże zaczeie praktycze, gdyż posługując się zespoloą amplitudą drań, możemy do iej zaabsorbować fazę Ozaczmy przez ˆ i A Ae, gdzie  zespoloa amplituda, A rzeczywista amplituda drgań, faza: Re Ae ˆ Re Ae e ARe e A t i ( ) [ t i ] [ i t i t ] [ ] cos( ) Dzięki użyciu liczb zespoloych, rachuki są czysto algebraicze, i ie zawierają fukcji trygoometryczych 3 Rówaie charakterystycze dla problemu liiowego Ogóla metoda rozwiązywaia rówań i układów liiowych rówań różiczkowych zwyczajych opiera się a podstawieiu: x( t) e t (6) Podstawieie (6) sprowadza rówaie różiczkowe do rówaia algebraiczego, które daje tyle różych wartości λ, ile wyosi rząd rówaia Rówaia Przypadek, gdy wartości λ powtarzają się, wymaga dokładiejszego zbadaia Zob p IN Brosztej, KA Siemiediajew, Matematyka Poradik ecyklopedyczy, dowole wydaie, cz IV, rozdz 5 Układy rówań różiczkowych liiowych o stałych współczyikach

4 FOTON 1, Wiosa odpowiadające różym wartościom λ są liiowo iezależe, a rozwiązaie ogóle będzie miało postać: x t Ae A e (7) 1t t ( ) 1 Dla rówaia () procedura wygląda astępująco Obliczamy pierwszą i drugą pochodą: Przypomiam, że różiczkowaie fukcji λ Wstawiając (8) do () otrzymujemy: x e t, x e (8) t e e e t e sprowadza się do możeia przez t t t Z powyższego otrzymujemy rówaie charakterystycze o iewiadomej λ: Jest to rówaie kwadratowe z Δ <, posiadające dwa rozwiązaia urojoe: 1 i, i (9) Wstawiając (9) do (7) otrzymujemy rozwiązaie ogóle, idetycze z (3c) 4 Zasada zachowaia eergii Rówaie () ie zawiera czasu t w sposób jawy Ozacza to możliwość obiżeia rzędu rówaia o jede Z fizyczego puktu widzeia w układzie () jest zachowaa eergia Możymy () przez x : xx xx Całkujemy obustroie po czasie ( dt) : xx dt x xdt E / m (1) gdzie wszystkie stałe całkowaia zostały przeiesioe a prawą stroę i ozaczoe literą E Całki (1) są łatwe do obliczeia, pomimo że zawierają iezaą (dowolą) fukcję czasu x(t) W pierwszej stosujemy podstawieie u x() t, a w drugiej w x() t : czyli: x( t) u, xdt du, x( t) w, xdt dw, u du wdw E / m, u w E / m

5 36 FOTON 1, Wiosa 13 Ostateczie otrzymujemy: 1 1 x x E / m (11) Rówaie (11) moża wyprowadzić jako sumę eergii kietyczej i potecjalej Wychodząc od (11) moża rozwiązać (1) Przepisujemy (11) podstawiając x dx / dt : dx dt E / m x Powyższe jest rówaiem o zmieych rozdzieloych Przeosimy wszystkie wyrazy zawierające x (w tym dx) a lewą stroę, atomiast t a prawą: Całkujemy obustroie: dx E / m x dt dx dt E / m x Aby obliczyć całkę po prawej stroie przekształcamy: Podstawiamy: dx m dx / E 1 E / m E m x x co daje: E/ m x u, dx E/ m du, 1 du 1 arc si u 1 u Rozwiązaie ma postać (stała całkowaia została ozaczoa przez ): arc si ut Podstawiając u x / ( E / m), dostajemy ostateczie: x( t) E si ( t ) m (1)

6 FOTON 1, Wiosa Ze wzoru (1) moża odczytać zależość amplitudy A we wzorze (3b) od eergii: 1 E ka 5 Obiżeie rzędu rówaia Przepisujemy rówaie () wprowadzając prędkość d dt x x : W powyższym rówaiu dokoujemy zamiay zmieej iezależej, z t a x: ale: i ostateczie: d d dx dt dx dt dx dt d x dx Otrzymaliśmy rówaie pierwszego rzędu o zmieych rozdzieloych: d xdx, d xdx, x cost Poieważ dx / dt otrzymujemy rówaie: dx x 1 cost, dt prawie idetycze z (11) Dalszy sposób postępowaia w celu zalezieia fukcji x(t) został opisay poiżej rówaia (11) w poprzedim rozdziale 6 Metoda Ladaua i Lifszyca Opisay sposób pochodzi od Ladaua i Lifszyca Przekształcamy (): x x d x ix ix x d x ix i x ix dt dt,, Podstawiamy za wyrażeia w awiasach: co daje: x ix, i (13)

7 38 FOTON 1, Wiosa 13 Rówaie (13) jest rówaiem pierwszego rzędu o zmieych rozdzieloych Jego rozwiązaie jest proste do uzyskaia: Całkując obustroie otrzymujemy: czyli: d d i, idt dt d l it cost, ( t) Ae it Teraz musimy rozwiązać rówaie iejedorode: i t x ix Ae (14) Rozwiązaie rówaia (14) składa się z dwóch człoów: rozwiązaia rówaia jedorodego: x ix (15) i dowolego (jakiegokolwiek) rozwiązaia rówaia iejedorodego (14) Rozwiązaie (15) moża uzyskać idetyczie jak (13), co daje: x( t) Be it (16) Rozwiązaie rówaia iejedorodego otrzymamy metodą uzmieiaia stałych Zakładamy, że B w (16) jest fukcją czasu B B( t), i wstawiamy do (14): i t i t i t i t Be Bi e i Be Ae, po uproszczeiu: Be Ae B Ae it it it, Całkując obustroie ostatie rówaie po czasie dostajemy: B t A Ae dt e cost i it it ( ) Stałą bierzemy rówą zero, bo iteresuje as jakiekolwiek rozwiązaie Ostateczie dostajemy: x() t Be A e e e e gdzie podstawiłem B, A / ( i) it it it it it i,

8 FOTON 1, Wiosa Metoda szeregów potęgowych W tej części, aby ie zaciemiać procedury, rozważymy postać () z 1: x x, z warukami początkowymi: x() 1, x() Rozwiązaia poszukujemy w postaci szeregu potęgowego: x( t) ax, gdzie a to iezae liczby Obliczamy pochode: Przeumerowujemy pierwszą sumę: 1 x a x, x ( 1) a x ( 1) ( )( 1) x a x a x Wstawiając do rówaia otrzymujemy: a x a x a a x ( )( 1) ( )( 1) Aby wyrażeie po lewej stroie było rówe zero tożsamościowo, wszystkie współczyiki w awiasach muszą być rówe zeru: ( )( 1) a a (17) Otrzymaliśmy rówaie rekurecyje, które otabee wcale ie jest specjalie łatwiejsze do rozwiązaia iż różiczkowe W tym przypadku jest to dosyć łatwe Aby rozpocząć iterację (17) potrzebujemy podać dwa pierwsze wyrazy ciągu: a i a 1 Korzystając z waruków początkowych dostajemy: Koleje wyrazy ciągu (17) to: x() a 1, x() a 1 a a 1, a 1 1 1, a, a3, a4, Widać, że ieparzyste wyrazy ciągu są rówe zeru, a parzyste: a ( 1) ( )!

9 4 FOTON 1, Wiosa 13 Suma: ( 1) x t x x ( ) cos ( )! 8 Metoda macierzowa Rozwiązaie zagadieia początkowego rówaia oscylatora harmoiczego moża uzyskać sprowadzając problem do wektorowego rówaia liiowego pierwszego rzędu Zapisujemy () (używając podstawieia x, tj prędkości) jako układ rówań liiowych I rzędu: x x lub rówoważie, w postaci macierzowej: Poieważ rozwiązaiem rówaia: d x x 1 x dt y A y, z warukiem początkowym y() y jest: y( t) y e At, aalogiczie możemy poprawie apisać rozwiązaie dowolego układu rówań liiowych I rzędu: x1 () t x () t X A X, X x () t Rozwiązaie zagadieia początkowego X() X to: Dla oscylatora harmoiczego macierz A to: At X( t) e X (19) 1 A

10 FOTON 1, Wiosa i główym problemem staje się obliczeie wyrażeia: t e Obliczeie ekspoety macierzy jest możliwe z defiicji: e A t 1 A! lub poprzez diagoalizację Więcej szczegółów moża zaleźć pod adresem: Wyik końcowy to: cos( t) si( t) / A t e, si( t) cos( t) a rozwiązaie rówaia oscylatora harmoiczego: xt () x x cos( t) si( t) exp( t) () t A cos( t) x si( t) 9 Przekształceie kaoicze Hamiltoia [3], [4] oscylatora harmoiczego moża zapisać w postaci: 1 ( p, q) m q Rówaia kaoicze Hamiltoa [1] mają postać: czyli: p () m p, q, q p p p m q, q m (1) Zajdziemy trasformację kaoiczą [] (czyli iezmieiającą postaci układu (1)) orygialego Hamiltoiau, prowadzącą do jego bardzo prostej postaci, a kokretie takiej, w której owe będzie zależało tylko od jedej zmieej [5] Korzystając z jedyki trygoometryczej, postulujemy trasformację postaci: p f ( P)cos Q, q f ( P)si Q

11 4 FOTON 1, Wiosa 13 Poieważ trasformacja ie zależy od czasu, owy Hamiltoia ma postać: f ( P) cos Q ( P, Q) ( p( P, Q), q( P, Q)) 1 m f ( P) si Q m 1 f ( P) cos Q m si Q m Aby skorzystać z jedyki trygoometryczej, musi zachodzić: 1, czyli m m m Aby trasformacja (p, q) (P,Q) była kaoicza musi zachodzić: { p, q} 1, PQ, gdzie po lewej stroie mamy awias Poissoa [] liczoy względem owych zmieych (P,Q) Obliczamy: p q p q { pq, } PQ, P Q Q P mf ( P)cos Q f ( P)cos Q ( mf ( P)cos Q) f ( P)siQ mf P f P Q Q m f P f P ( ) ( )(cos si ) ( ) ( ) Aby trasformacja była kaoicza, musi więc zachodzić: m f ( P) f ( P) 1 Rozwiązujemy rówaie różiczkowe a f(p): całkując obustroie dostajemy: df m f 1, fdf dp, dp m 1 f P cost, m przyjmujemy stałą całkowaia rówą zeru i dostajemy: Nowym Hamiltoiaem jest: f( P) P m ( P, Q) P

12 FOTON 1, Wiosa Rówaia kaoicze przyjmują prostą postać: a ich rozwiązaie to: P, Q P( t) P, Q( t) t Trasformując z powrotem do fukcji (p,q) otrzymujemy: P p t m P t q t t m ( ) cos( ), ( ) si( ) Warto zauważyć, że skoro ωp jest Hamiltoiaem, to P E jest zachowaą eergią, i wzór a q(t) jest idetyczy z wyprowadzoym wyżej wzorem (1) ( m k) 1 Rówaie Hamiltoa-Jacobiego Rozwiązaie rówań ruchu układu opisaego pewym hamiltoiaem, jest rówoważe szukaiu rozwiązań (cząstkowego) rówaia Hamiltoa-Jacobiego: S( t, x) S( t, x), x t x Dla oscylatora harmoiczego, hamiltoia ma postać (), i podstawiając do iego p S / x dostajemy: 1 S t x 1 m x S( t, x) (, ) t m x Rozwiązaia szczególego (całki zupełej) szukamy w postaci rozseparowaej: S( t, x) Et s( x) Wstawiając powyższe wyrażeie do (1) otrzymujemy: 1 ds( x) 1 m x E m dx (1) Powyższe jest rówaiem zwyczajym o zmieych rozdzieloych Jego rozwiązaie to: s me m x dx

13 44 FOTON 1, Wiosa 13 Całka jest typu: 1 1 x dx x 1 x arc si x, co ładie wyprowadza Wolfram Alpha: iput/?i=it+sqrt(1-x^) Po całkowaiu i uporządkowaiu wyrazów mamy: 1 E m E s( x) x me m x arc si x atomiast całka zupeła rówaia () to: 1 E m S t x Et s x Et x me m x x E (, ) ( ) arc si Zależość położeia od czasu jest wyzaczoa w sposób uwikłay pochodą czasową całki zupełej względem eergii E: S( t, x) t E Obliczeie pochodej cząstkowej po E jest uciążliwe, ale ostateczie wyrazy ie zawierające arc si upraszczają się: otrzymując: sx ( ) 1 arc si m x, E E arc si m x ( t t ) E Działając obustroie fukcją si dostajemy: czyli: m x si ( t t ), E x 1 E si ( t t ) m Końcowy wyik jest idetyczy z (1), bo k / m Pochoda S( t, x) / x z kolei daje pęd: p S me m x x

14 FOTON 1, Wiosa Warto zauważyć, że stała t określa traslację w czasie, zgodie z sesem zasady zachowaia eergii; po eergii E różiczkujemy całkę zupełą 11 Podsumowaie Przedstawiłem dziewięć możliwych metod rozwiązaia rówaia oscylatora harmoiczego () Niektóre są do siebie ewidetie podobe rachukowo (p pkt i 3), ale dostrzeżeie związków pomiędzy pozostałymi wymaga sporej wiedzy z metod matematyczych fizyki i fizyki teoretyczej Na przykład, obiżeie rzędu rówaia różiczkowego (pkt 5) jest możliwe, gdy ie zawiera oo jawie czasu Jest to rówoważe istieiu symetrii traslacyjej w czasie, a zatem zachowaiu eergii (pkt 4) Rozwiązaie rówaia rekurecyjego (17) często wymaga użycia macierzy, a z drugiej stroy ekspoeta macierzy (19) obliczaa może być poprzez rozwiięcie e A w szereg potęgowy Metoda Hamiltoa-Jacobiego dostarcza systematyczej procedury zajdywaia przekształceia kaoiczego, odgadiętego w rozdziale 9 Szczegółowa eksploracja wszystkich relacji to już temat a iy artykuł Przedstawioe rachuki są porozrzucae po liczych podręczikach i wykoywae a ćwiczeiach do rozmaitych przedmiotów Moża powiedzieć, że każda dziedzia ma swoją preferowaą metodę Elektrotechika masowo posługuje się liczbami zespoloymi, a mechaice omawiamy zasadę zachowaia eergii, a metodach matematyczych fizyki rozwiązujemy rówaia metodą szeregów, a algebrze diagoalizujemy macierz i obliczamy e A, mechaika klasycza omawia przekształceia kaoicze i rówaie Hamiltoa-Jacobiego Przedstawioa kompilacja skłaia do refleksji ad subtelą siecią powiązań, istiejącą w świecie matematyki i fizyki Literatura [1] LD Ladau, EM Lifszyc, Krótki kurs fizyki teoretyczej, t 1, Mechaika, PWN, 1976 [] LD Ladau, EM Lifszyc, Mechaika, PWN (licze wydaia) [3] D Stauffer, HE Staley, Od Newtoa do Madelbrota, WNT, 1996 [4] R Perose, Droga do rzeczywistości, rozdz, Lagrażjay i hamiltoiay, Prószyński i S-ka, 6 [5] GL Kotki, WG Serbo, Zbiór zadań z mechaiki klasyczej, rozdz 1 1, WNT, 197