O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

Transkrypt

1 O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję D = f M, Z azywamy fukcją produkcji Pochoda cząstkowa M określa tzw krańcową wydajość produkcyjego majątku trwałego Z przybliżoej rówości z różiczką wyika, że jest oa w przybliżeiu rówa przyrostowi dochodu arodowego, gdy akłady produkcyjego majątku trwałego wzrastają o jedostkę, przy czym akłady pracy żywej ie ulegają zmiaie Istotie f M + 1, Z f M, Z df M, Z; 1 = M, Z 1 + M, Z 0 = M, Z M Z M Aalogiczie, pochoda cząstkowa Z określa tzw krańcową wydajość akładów pracy żywej i w przybliżeiu jest rówa przyrostowi dochodu arodowego spowodowaemu przyrostem akładów pracy żywej o jedostkę przy iezmieioych akładach produkcyjego majątku trwałego W wielu badaiach ekoomiczych stosowaa jest fukcja produkcji postaci D = f M, Z = am α Z β, gdzie a, α, β są stałymi takimi, że a > 0, 0 < α < 1, 0 < β < 1 W tym wypadku krańcowa wydajość produkcyjego majątku trwałego wyosi M = aαm α 1 Z β, a krańcowa wydajość pracy żywej Z = aβm α Z β 1 2 Podobie, jak elastyczość fukcji jedej zmieej, określa się elastyczości cząstkowe fukcji wielu zmieych Jeżeli istieje pochoda cząstkowa x i, i = 1,, f jest fukcją zmieych, to elastyczością cząstkową fukcji f względem zmieej x i azywamy wyrażeie x i f x 1,, x x 1,, x, i = 1,, 1 x i Określa oa w przybliżeiu procetowy przyrost wartości fukcji, gdy zmiea x i wzrasta o 1% przy ustaloych wartościach pozostałych zmieych Istotie wyrażeie 1 jest a mocy defiicji pochodej cząstkowej graicą: lim x i 0 f x1,, x i + x i,, x f x 1,, x 100% : f x 1,, x 1 xi x i 100%

2 Jeżeli popyt q a jakieś dobro zależy od cey tego dobra oraz ce pozostałych dóbr tego samego rodzaju, to możemy zapisać, że popyt jest fukcją zmieych ce q = f c 1,, c Wówczas c i f c 1,, c c 1,, c c i jest elastyczością cząstkową popytu względem cey i-tego dobra i określa przybliżoą procetową zmiaę popytu a to dobro, gdy cea i-tego dobra wzrasta o 1% 3 Przypuśćmy, że przedsiębiorstwo wytwarza dwa wyroby Zysk osiągięty ze sprzedaży produkcji jest zależy od wielkości produkcji obu wytwarzaych produktów Załóżmy, że pomiędzy zyskiem a wielkością produkcji zachodzi zależość Z x 1, x 2 = 4x 1 + 5x 2 + x 1 x 2 x 2 1 x 2 2, gdzie x 1 ozacza wielkość produkcji pierwszego wyrobu, a x 2 drugiego wyrobu Należy określić optymaly pla produkcji przedsiębiorstwa, przyjmując za kryterium optymalości zysk Poieważ oczywiście musi być x 1 0 i x 2 0, więc zbiór D = { x 1, x 2 R 2 : x 1 0 x 2 0 } jest zbiorem decyzji dopuszczalych Mamy wyzaczyć maksimum fukcji Z w zbiorze D Stosowe rachuki pokazują, że fukcja Z ma maksimum w pukcie 13 3, 14 3 Zatem optymaly pla produkcji akazuje wyprodukować 13 3 jedostek pierwszego produktu i 14 3 jedostek drugiego produktu 4 W wielu zagadieiach ekoomiczych występuje koieczość wyzaczeia wzoru, który określałby zależość pomiędzy dwiema wielkościami, p zależość między popytem a jakieś dobro a jego ceą, dochodem arodowym a iwestycjami itp Dyspoując odpowiedimi daymi statystyczymi jesteśmy w staie wyzaczyć wzór opisujący te zależości Pozwala am a to tzw metoda ajmiejszych kwadratów Niech X, Y ozaczają dwie wielkości ekoomicze oraz iech x 1,, x oraz y 1,, y będą wartościami odpowiedio zmieej X i Y otrzymaymi z badań statystyczych Metoda ajmiejszych kwadratów polega a wyzaczeiu parametrów fukcji f tak, by wyrażeie S = y i f x i 2 przyjmowało wartość ajmiejszą Zaim przystąpimy do rozwiązywaia tego zagadieia ależy zaobserwować pewą tedecję do układaia się puktów x i, y i wzdłuż jakiejś krzywej p prostej, krzywej wykłądiczej, potęgowej itp W te sposób określimy typ fukcji, której parametry chcemy wyzaczyć 2

3 Przypuśćmy, że do wyików obserwacji x i, y i chcemy dopasować fukcję liiową Y = ax + b Musimy więc wyzaczyć parametry a, b Zatem zgodie z metodą ajmiejszych kwadratów wyzaczamy parametry a, b tak, by fukcja dwóch zmieych S a, b = y i ax i b 2 przyjmowała wartość ajmiejszą Obliczając pochode cząstkowe tej fukcji mamy: S a = 2 y i ax i b x i i Przyrówując je do zera, otrzymujemy układ rówań: 2 x i y i ax i b = 0 2 y i ax i b = 0 Po przekształceiach otrzymujemy: a x 2 i + b x i a x i + b S b = 2 y i ax i b = x i y i = y i Obliczając a z wzoru Cramera, a astępie b z drugiego rówaia dostajemy a = x i y i x i yi x 2 i x i 2, 2 yi a x i b = Mamy więc wyzaczoe współrzęde puktu krytyczego fukcji S Obliczmy pochode cząstkowe rzędu drugiego fukcji S: a 2 = 2 a b = 2 b 2 = 2 x i x i = 2 x 2 i, x i 1 = 2 x i, 1 = 2 Stąd hesja fukcji S wyraża się wzorem 2 H a, b = 4 x 2 i 4 x i 3

4 Pokażemy, że H a, b > 0 W tym celu udowodimy astępujący LEMAT ierówość Schwarza Dla dowolych ciągów -wyrazowych a 1,, a, b 1,, b liczb rzeczywistych zachodzi ierówość 2 a i b i, 3 przy czym rówość w 3 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wyrazy jedego z ciągów są proporcjoale do wyrazów drugiego ciągu Dowód Zauważmy, że dla każdego x R zachodzi ierówość a i x + b i 2 0, bo lewa stroa jest sumą liczb ieujemych Stąd dla każdego x R trójmia x a i b i x + przyjmuje wartość ieujemą Zatem poieważ współczyik przy x 2 jest dodati, więc wyróżik tego trójmiau jest iedodati Stąd 2 4 a i b i 4 0, co po podzieleiu stroami przez 4 daje 3 Poadto rówość w 3 jest rówoważa warukowi = 0, a więc rówoważa jest temu, że istieje x 0 R takie, że a i x 0 + b i 2 = 0 Poieważ wszystkie składiki po lewej stroie są ieujeme, więc ostati waruek jest rówoważy warukowi a i x 0 + b i = 0 i w kosekwecji i b i = x 0 a i, i czyli a i i b i są proporcjoalymi układami liczb Przyjmując teraz w powyższym lemacie a i = 1 oraz b i = x i dla i = 1,, otrzymujemy a mocy ierówości Schwarza 2 x i x 2 i, 4 4

5 co daje H a, b 0 Poadto rówość zachodziłaby tylko wtedy, gdy liczby układu x i są proporcjoale do liczb układu złożoego z samych jedyek, zatem tylko wtedy, gdy x 1 = = x Sytuacja taka jest dla as ieiteresująca, bo z jedej stroy świadczy o błędie przeprowadzoych badaia statystyczych, a z drugiej stroy w takiej sytuacji wszystkie pukty x i, y i leżą a prostej pioowej, czyli ie ma sesu szukaie prostej postaci Y = ax + b, która leży możliwie blisko tych puktów Zatem w 4 zachodzi ierówość ostra, co daje H a, b > 0 Zatem a mocy waruku dostateczego istieia ekstremum fukcja S ma ekstremum w pukcie a, b daym rówościami 2Poadto jest to miimum, bo a, b > 0 a2 Ostateczie wzory 2 dają am miimum fukcji S, czyli współczyiki opisujące szukaą prostą Przykład W pewym zakładzi przemysłowym dokoao pomiarów zużycia wody przy produkcji pewego wyrobu i otrzymao astępujące dae X wielkość produkcji w tysiącach sztuk, Y = Y zużycie wody w tysiącach metrów sześcieych wody: 1, 8, 2, 15, 3, 8, 4, 10, 5, 22, 6, 14, 7, 17, 8, 28, 9, 22, 10, 26 Rozkład tych puktów a płaszczyźie wskazuje, że leżą wzdłuż pewej prostej Podstawiając do wzorów 2 otrzymujemy a = 1, 96, b = 6, 22, czyli teoretyczie zużycie wody w zależości od wielkości produkcji wyraża się wzorem Y = 1, 96X + 6, 22 Moża więc przewidywać, że przy wielkości produkcji 5, 5 tysiąca sztuk zużycie wody wyiesie Y = 1, 96 5, 5 + 6, 22 = 17 5