szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,

Transkrypt

1 .. si Poiewa» si < 1; 1 >, wi c zbadajmy szereg zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu: () si = si, ale si < 0; 1 > Zatem si 1 () Po prawej stroie powy»szej ierówo±ci mamy szereg geometryczy, w którym q = 1 < 1 a zatem szereg () jest zbie»y. Na mocy kryterium porówawczego szereg () rówie» jest zbie»y. A a mocy kryterium bezwzgl dej zbie»o±ci szereg day w zadaiu jest bezwzgl die zbe»y..4. si π Zauwa»my,»e π dla N > 0 jest k tem z pierwszej wiartki (bo 0 < π < π ), wi c baday szereg jest szeregiem o wyrazach ieujemych. Poadto dla α (0; π ) zachodzi ierówo± siα < α, wi c: si π < π = π ( ) Po prawej stroie mamy szereg geometryczy, w którym q = < 1. Zatem jest o zbie»y. Na tej podstawie i a podstawie twierdzeia.1. oraz kryterium porówawczego zbie»o±ci szeregów wioskujemy,»e szereg day w zadaiu jest zbie»y..5. =0! 100 Jest to szereg o wyrazach ieujemych. Obliczmy graic : u +1 u = ( (+1)! ! ) = = A zatem a podstawie wiosku..6 do kryterium d'alemberta baday szereg jest rozbie»y..6. e! Jest to szerego o wyrazach ieujemych. Poiewa» e, 718, wi c dla > zachodzi > e. 1

2 Zatem: e! = e1 1! + e! + e! 1 1 = > e + 1e + e! = e = e + =! A poiewa» jest to szereg rozbie»y, wi c a mocy kryterium porówawczego baday szereg jest rozbie»y..7. =0 ( ) 1 Jest to szereg o wyrazach ieujemych. Zbadajmy graic : ( +1) 1 = lim +1 ( +1) 1 +1 = lim +1 = +1 = < 1 +1 = + lim 1 +1 = + 1 Zatem a podstawie wiosku..10 do kryterium Cauchy'ego baday szereg jest zbie»y ( 5 ) Jest to szereg o wyrazach ieujemych. Zbadajmy graic : 1 ( 5 ) = ( 1 5 ) = 1 5 lim = 1 = < Zatem a podstawie wiosku..10 do kryterium Cauchy'ego baday szereg jest zbie»y..9. ( b a ), a = a, a, b, a > 0 Z deicji szeregu oraz waruków podaych w zadaiu widzimy,»e jest to szereg o wyrazach ieujemych. Zbadajmy graic : ( b a ) b = a = lim b a = b a Zatem a podstawie wiosków..10 i..11 do kryterium Cauchy'ego otrzymujemy,»e szereg day w zadaiu jest: 1) zbie»y gdy b a < 1 b < a, ) rozbie»y gdy b a > 1 b > a. Natomiast dla b = a mamy: ( b a ) = ( a a ) ()

3 Gdy ci g a jest od pewego miejsca ros cy, to jego koleje wyrazy zbli»aj si do graicy a z lewej stroy. A to ozacza,»e wszystkie wszystkie wyrazy szeregu () s wi ksze od 1, czyli szereg () jest rozbie»y do i tym samym szereg jest rozbie»y. Je±li atomiast a jest od pewego miejsca malej cy, to jego koleje wyrazy zbli»aj si do graicy a z prawej stroy. Ozacza, to»e wszystkie wyrazy szeregu () s miejsze od 1, jedak z ka»dym ros cym ros oe do graicy 1. Zatem ich suma tak»e ro±ie ieograiczeie. A zatem w tym przypadku szereg jest tak»e rozbie»y. Je±li atomiast szereg a ma wyrazy po lewej i prawej stroie graicy a, to musi o mie ich po jedej ze stro iesko«czeie wiele i wystarczy odwoªa si do odpowiediego przypadku przeaalizowaego wy»ej,»eby stwierdzi,»e szereg jest rozbie»y. Podsumowuj c: dla b = a szereg day w zadaiu jest rozbie»y..40. ( 1) ( ) Jest to szereg przemiey. We¹my pod uwag szereg bezwzgl dych warto±ci powy»szego szeregu: ( 1) ( ) = ( ) () Zbadajmy graic : ( ) +1 = = lim = = 4 < 1 Zatem a podstawie wiosku..10 do kryterium Cauchy'ego () jest zbie»y. A dalej a podstwawie kryterium bezwzgl dej zbie»o±ci twierdzimy,»e szereg day w zadaiu jest bezwgl die zbie»y..41. =0 (+1)5 +1 Jest to szereg o wyrazach ieujemych. Przeksztaª my go do ast puj cej postaci: =0 [( 5 ) 1 1 ( + 1)] = =0 [( 5 6 ) +1] Zbadajmy graic :

4 ( lim 5 (+1)+1 )+1 6 ( 5 6 ) +1 = ( 5 + ) = lim 6 +1 ( 5 +) = 5 lim = = 5 6 < 1 A zatem a podstawie wiosku..5 do kryterium d'alemberta baday w zadaiu szereg jest zbie»y..4. log Jest to szereg o wyrazach ieujemych. Poadto dla > 0 zachodzi ierówo± : log < Zatem prawdziwa jest ast puj ca ierówo± : log < () Zbadajmy graic : = ( 1 ) = 1 = 1 1 = 1 < 1 A zatem szereg () jest a podstawie wiosku..10 do kryterium Cauchy'ego zbie»y. Nast pie stosuj c kryterium porówawcze stwierdzamy,»e day w zadaiu szereg tak»e jest zbie»y (bo log < )..4. (arctg) Jest to szereg o wyrazach ieujemych. Zauwa»my,»e: (arctg) < ( π ) = ( π 1 ) = π = π () 4 Zbadajmy teraz graic : lim π u = lim π = lim 4 = π < Zatem korzystaj c z wiosku..10 do kryterium Cauchy'ego szereg () jest zbie»y. Natomiast korzystaj c z kryterium porówawczego stwierdzamy,»e szerego day w zadaiu tak»e jest zbie»y..44. ( 1) ( 1) Jest to szereg przemiey, którego wyraz ogóly d»y do 0, bo: 4

5 ( 1) = lim 1 = 1 1 = 0 czyli wyrazy tego szeregu zbli»aj si do 0 raz z lewej a raz z prawej stroy. Sprawd¹my teraz czy u +1 < u : +1 1 < < 1 +1 < / (+1) < +1 Powy»sza ierówo± jest prawdziwa dla ka»dego N. Zatem a mocy kryterium Leibiza szereg day w zadaiu jest zbie»y..45. ( 1)+1 ( 4 ) 1 Wypiszmy sum kilku pocz tkowych wyrazów tego szeregu: ( 1)+1 ( 4 ) 1 = ( 4 ) 4 ( 4 ) +... = Rozwa»my szereg bezwzgl dych warto±ci powy»szego szeregu: ( 1)+1 ( 4 ) 1 = ( 4 ) 1 Zbadajmy graic : u +1 u = = 4 < 1 (+1)( = lim 4 )(+1) 1 (+1)( = lim ( 4 ) = lim 4 ) 1 ( ( +1 ) = lim ) 1 4 lim 1 = 4 Zatem szereg warto±ci bezwzgl dych szeregu daego w zadaiu jest zbie»y a mocy wiosku..5 do kryterium d'alemberta. A tym samym a mocy kryterium bezwzgl dej zbie»o±ci, szereg day w zadaiu jest bezwzgl die zbie»y. 5